【解析】重慶市九校聯(lián)盟2023-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試卷

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重慶市九校聯(lián)盟2023-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試卷

一、單選題

1．（2023高二上·重慶市月考）若直線與直線垂直，則()

A．1B．2C．-1D．-2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

【解析】【解答】由題意可知，即。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出實(shí)數(shù)m的值。

2．（2023高二上·重慶市月考）雙曲線的離心率為（）

A．B．2C．D．3

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】由雙曲線的方程可得，，，，

所以。

故答案為：C.

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出a，b的值，再結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，再結(jié)合雙曲線的離心率公式，進(jìn)而球雙曲線的離心率的值。

3．（2023高二上·重慶市月考）已知是空間的一個(gè)基底，下列不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理

【解析】【解答】由，，兩式相加可得，

即與共面，

故不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量基底的判斷方法，進(jìn)而找出不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的選項(xiàng)。

4．（2023高二上·重慶市月考）設(shè)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心和點(diǎn)，則的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式；直線的方向向量

【解析】【解答】因?yàn)閳A的圓心為，

則的斜率為，

故的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以為。

故答案為：D

【分析】利用圓的一般方程求出圓心的坐標(biāo)，再利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而求出直線l的斜率，再利用直線的方向向量的求解方法，進(jìn)而求出直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)。

5．（2023高二上·重慶市月考）下列四個(gè)橢圓中，形狀最扁的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】由，根據(jù)選項(xiàng)中的橢圓的方程，可得的值滿足，

因?yàn)闄E圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，

所以這四個(gè)橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁。

故答案為：A.

【分析】利用橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，從而求出a，b的值，再利用橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式和橢圓的離心率公式，進(jìn)而得出形狀最扁的橢圓。

6．（2023高二上·重慶市月考）若點(diǎn)是雙曲線：上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由題意可知，，，

若，則；解得（0舍去），

若；則，或，

故“”是“”的充分不必要條件。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，進(jìn)而推出“”是“”的充分不必要條件。

7．（2023高二上·重慶市月考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則的準(zhǔn)線方程為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，拋物線的準(zhǔn)線：，

又因?yàn)?，于是由得：，因此，，而，解得?/p>

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為。

故答案為：B

【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出準(zhǔn)線的方程，再利用已知條件結(jié)合拋物線的定義，從而得出，所以，再利用，從而求出p的值，進(jìn)而求出拋物線的準(zhǔn)線方程。

8．（2023高二上·重慶市月考）在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量研究二面角

【解析】【解答】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量數(shù)量積求夾角公式，從而求出平面與平面夾角的余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而求出平面與平面夾角的正弦值，進(jìn)而求出平面與平面夾角的正弦值。

二、多選題

9．（2023高二上·重慶市月考）已知，則（）

A．直線的傾斜角為B．點(diǎn)到直線的距離為1

C．點(diǎn)在直線上D．直線與直線平行

【答案】A,B

【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角；斜率的計(jì)算公式；兩條直線平行的判定；平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式

【解析】【解答】因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，A符合題意．

點(diǎn)到直線的距離為，B符合題意．

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)不滿足，C不符合題意．

直線MN的斜率為1，則方程為，即直線與直線重合，所以D不符合題意．

故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而求出直線的斜率，再利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的傾斜角，再利用已知條件結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系判斷方法結(jié)合代入法，從而得出點(diǎn)不在直線上，利用已知條件結(jié)合兩直線平行斜率相等，從而判斷出直線與直線重合，從而找出正確的選項(xiàng)。

10．（2023高二上·重慶市月考）已知，，平面，則（）

A．點(diǎn)A到平面的距離為

B．與平面所成角的正弦值為

C．點(diǎn)A到平面的距離為

D．與平面所成角的正弦值為

【答案】B,C

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【解答】因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，

所以點(diǎn)A到平面的距離為，A不符合題意，C符合題意；

與平面所成角的正弦值為，B符合題意，D不符合題意．

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件平面，所以是平面的一個(gè)法向量，再結(jié)合數(shù)量積求出點(diǎn)A到平面的距離，再利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦值，從而找出正確的選項(xiàng)。

11．（2023高二上·重慶市月考）若雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則的漸近線方程可能為（）

A．B．C．D．

【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，

則有雙曲線的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，于是有，從而得，

進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程為，

所以雙曲線的漸近線方程可能為A，B，D，不可能為C.

故答案為：ABD

【分析】雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則有雙曲線的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而得出的取值范圍，再結(jié)合雙曲線的漸近線方程求解方法，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程，從而找出雙曲線C的漸近線可能的選項(xiàng)。

12．（2023高二上·重慶市月考）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，．點(diǎn)為上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且，，，四條直線的斜率之積大于，則的離心率可以是（）

A．B．C．D．

【答案】A,C

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)，依題意可得，則，，

又因?yàn)椋?/p>

所以，，從而得出。

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結(jié)合代入法得出，進(jìn)而得出，再利用已知條件得出，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而結(jié)合已知條件，，，四條直線的斜率之積大于，從而得出的取值范圍，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式結(jié)合橢圓的離心率公式，進(jìn)而求出橢圓的離心率，從而求出橢圓的離心率可以的值。

三、填空題

13．（2023高二上·重慶市月考）已知某直線滿足以下兩個(gè)條件，寫出該直線的一個(gè)方程：．（用一般式方程表示）

①傾斜角為；②不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

【答案】（答案不唯一）.

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程

【解析】【解答】由題意得，斜率，

又因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即一般式方程中的常數(shù)項(xiàng)非零，

所以，直線的一個(gè)一般式方程為。

故答案為：（答案不唯一）。

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系式，從而求出直線的斜率，再利用已知條件直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，從而結(jié)合代入法，進(jìn)而寫出滿足要求的直線的一個(gè)方程。

14．（2023高二上·重慶市月考）已知橢圓的面積等于，其中是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的乘積，則橢圓的面積為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用

【解析】【解答】因?yàn)?，，所以，，所以橢圓的面積為。

故答案為：。

【分析】利用已知條件橢圓的面積等于，其中是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的乘積，再結(jié)合橢圓的面積公式和橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的定義，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a，b的值，進(jìn)而求出l與a，b的關(guān)系式，從而求出橢圓的面積。

15．（2023高二上·重慶市月考）在正四面體中，，若，則．

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量數(shù)量積定義與物理意義

【解析】【解答】。

故答案為：6。

【分析】利用已知條件結(jié)合平面向量基本定理和數(shù)量積的定義，從而利用數(shù)量積的運(yùn)算法則，進(jìn)而求出的值。

16．（2023高二上·重慶市月考）位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的一部分．該橋的高度為米，跨徑為米，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米．（結(jié)果用，表示）

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】如圖所示，

以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，

結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，故橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。

故答案為：。

【分析】以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再結(jié)合代入法得出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求出橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

四、解答題

17．（2023高二上·重慶市月考）

（1）求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求兩條平行直線與間的距離．

【答案】（1）聯(lián)立得

故所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）兩條平行直線與間的距離．

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；平面內(nèi)兩條平行直線間的距離

【解析】【分析】（1）利用已知條件聯(lián)立二者方程求出兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）利用已知條件結(jié)合平行直線的距離求解公式，進(jìn)而求出兩條平行直線與間的距離。

18．（2023高二上·順德期中）如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M，N和P分別是，BC和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求異面直線AN與PM所成角的余弦值.

【答案】（1）證明：取AC的中點(diǎn)D，連接ND，.

因?yàn)镹和P分別是BC和的中點(diǎn)，所以，，，

因?yàn)?，，所以，?/p>

所以四邊形為平行四邊形，則.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平?/p>

（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，，AB所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則，，，，

，，

設(shè)AN與PM所成角為，

所以，

AN與PM所成角的余弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；用空間向量求直線間的夾角、距離

【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接ND，，利用N和P分別是BC和的中點(diǎn)，再結(jié)合中點(diǎn)作中位線的方法結(jié)合中位線的性質(zhì)，所以，，，再利用，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則，再結(jié)合線線平行證出線面平行，從而證出平面。

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，，AB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，再結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積求向量夾角公式，從而求出AN與PM所成角的余弦值。

19．（2023高二上·重慶市月考）已知為拋物線：的焦點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線的方程．

【答案】（1）因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，

所以，解得，

故的方程為．

（2）設(shè)，則

兩式相減得，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以．

故直線l的方程為：y-=（x-1），即y=x-.

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合拋物線焦點(diǎn)求解方法，進(jìn)而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合作差法，再利用兩點(diǎn)求斜率公式和韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從而求出直線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程。

20．（2023·四川月考）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，且為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的大小.

【答案】（1）證明：因?yàn)槠矫?，所?

又，所以.

因?yàn)?，所以平面，則.

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.

又，所以平面.

（2）由題知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

.

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，得.

由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，

則，

由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】(1)由已知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，然后由平行的傳遞性即可得出，同理再結(jié)合三角形中的幾何關(guān)系即可得出，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到二面角的大小。

21．（2023高二上·重慶市月考）已知圓經(jīng)過(guò)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)分別為，，，

根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，

由，可得，解得，則，

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）解：設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為圓，則圓的方程為．

設(shè)，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，

且的最小值為，

此時(shí)可得，即，解得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

【知識(shí)點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合賦值法，得出函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)，再

根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，再由結(jié)合兩點(diǎn)求距離公式，進(jìn)而求出b的值，從而求出圓的半徑長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為圓，再利用圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱求解方法，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，再結(jié)合對(duì)稱性求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再結(jié)合勾股定理求出的最小值，進(jìn)而得出此時(shí)，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

22．（2023高二上·重慶市月考）已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，．動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為．

（1）求的方程．

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）因?yàn)椋?/p>

且，所以的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支．

由，，得，，，

所以的方程為．

（2）設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，即，

聯(lián)立得，

則，

且，，

所以．

假設(shè)存在點(diǎn)滿足，則，

整理得，但，所以假設(shè)不成立，故不存在滿足題意的點(diǎn)．

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求距離公式，得出，且，再結(jié)合雙曲線的定義得出點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，再利用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的求解公式和焦距的定義，進(jìn)而求出a，c的值，再利用雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出b的值，從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)，，，設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程結(jié)合韋達(dá)定理和判別式法，得出且，，進(jìn)而結(jié)合弦長(zhǎng)公式得出，假設(shè)存在點(diǎn)滿足，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，整理得，但，所以假設(shè)不成立，故不存在滿足題意的點(diǎn)。

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重慶市九校聯(lián)盟2023-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)12月聯(lián)考試卷

一、單選題

1．（2023高二上·重慶市月考）若直線與直線垂直，則()

A．1B．2C．-1D．-2

2．（2023高二上·重慶市月考）雙曲線的離心率為（）

A．B．2C．D．3

3．（2023高二上·重慶市月考）已知是空間的一個(gè)基底，下列不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）

A．B．C．D．

4．（2023高二上·重慶市月考）設(shè)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心和點(diǎn)，則的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以為（）

A．B．C．D．

5．（2023高二上·重慶市月考）下列四個(gè)橢圓中，形狀最扁的是（）

A．B．C．D．

6．（2023高二上·重慶市月考）若點(diǎn)是雙曲線：上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

7．（2023高二上·重慶市月考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則的準(zhǔn)線方程為（）

A．B．C．D．

8．（2023高二上·重慶市月考）在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023高二上·重慶市月考）已知，則（）

A．直線的傾斜角為B．點(diǎn)到直線的距離為1

C．點(diǎn)在直線上D．直線與直線平行

10．（2023高二上·重慶市月考）已知，，平面，則（）

A．點(diǎn)A到平面的距離為

B．與平面所成角的正弦值為

C．點(diǎn)A到平面的距離為

D．與平面所成角的正弦值為

11．（2023高二上·重慶市月考）若雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則的漸近線方程可能為（）

A．B．C．D．

12．（2023高二上·重慶市月考）已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，．點(diǎn)為上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且，，，四條直線的斜率之積大于，則的離心率可以是（）

A．B．C．D．

三、填空題

13．（2023高二上·重慶市月考）已知某直線滿足以下兩個(gè)條件，寫出該直線的一個(gè)方程：．（用一般式方程表示）

①傾斜角為；②不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

14．（2023高二上·重慶市月考）已知橢圓的面積等于，其中是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的乘積，則橢圓的面積為．

15．（2023高二上·重慶市月考）在正四面體中，，若，則．

16．（2023高二上·重慶市月考）位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線的一部分．該橋的高度為米，跨徑為米，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米．（結(jié)果用，表示）

四、解答題

17．（2023高二上·重慶市月考）

（1）求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求兩條平行直線與間的距離．

18．（2023高二上·順德期中）如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M，N和P分別是，BC和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求異面直線AN與PM所成角的余弦值.

19．（2023高二上·重慶市月考）已知為拋物線：的焦點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線的方程．

20．（2023·四川月考）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，且為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的大小.

21．（2023高二上·重慶市月考）已知圓經(jīng)過(guò)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

22．（2023高二上·重慶市月考）已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，．動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為．

（1）求的方程．

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

【解析】【解答】由題意可知，即。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，從而求出實(shí)數(shù)m的值。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】由雙曲線的方程可得，，，，

所以。

故答案為：C.

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出a，b的值，再結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，再結(jié)合雙曲線的離心率公式，進(jìn)而球雙曲線的離心率的值。

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理

【解析】【解答】由，，兩式相加可得，

即與共面，

故不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量基底的判斷方法，進(jìn)而找出不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的選項(xiàng)。

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式；直線的方向向量

【解析】【解答】因?yàn)閳A的圓心為，

則的斜率為，

故的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以為。

故答案為：D

【分析】利用圓的一般方程求出圓心的坐標(biāo)，再利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而求出直線l的斜率，再利用直線的方向向量的求解方法，進(jìn)而求出直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)。

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】由，根據(jù)選項(xiàng)中的橢圓的方程，可得的值滿足，

因?yàn)闄E圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，

所以這四個(gè)橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁。

故答案為：A.

【分析】利用橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，從而求出a，b的值，再利用橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式和橢圓的離心率公式，進(jìn)而得出形狀最扁的橢圓。

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由題意可知，，，

若，則；解得（0舍去），

若；則，或，

故“”是“”的充分不必要條件。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，進(jìn)而推出“”是“”的充分不必要條件。

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，拋物線的準(zhǔn)線：，

又因?yàn)?，于是由得：，因此，，而，解得?/p>

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為。

故答案為：B

【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出準(zhǔn)線的方程，再利用已知條件結(jié)合拋物線的定義，從而得出，所以，再利用，從而求出p的值，進(jìn)而求出拋物線的準(zhǔn)線方程。

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量研究二面角

【解析】【解答】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量數(shù)量積求夾角公式，從而求出平面與平面夾角的余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而求出平面與平面夾角的正弦值，進(jìn)而求出平面與平面夾角的正弦值。

9．【答案】A,B

【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角；斜率的計(jì)算公式；兩條直線平行的判定；平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式

【解析】【解答】因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，A符合題意．

點(diǎn)到直線的距離為，B符合題意．

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)不滿足，C不符合題意．

直線MN的斜率為1，則方程為，即直線與直線重合，所以D不符合題意．

故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而求出直線的斜率，再利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式，從而求出直線的傾斜角，再利用已知條件結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系判斷方法結(jié)合代入法，從而得出點(diǎn)不在直線上，利用已知條件結(jié)合兩直線平行斜率相等，從而判斷出直線與直線重合，從而找出正確的選項(xiàng)。

10．【答案】B,C

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【解答】因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，

所以點(diǎn)A到平面的距離為，A不符合題意，C符合題意；

與平面所成角的正弦值為，B符合題意，D不符合題意．

故答案為：BC.

【分析】利用已知條件平面，所以是平面的一個(gè)法向量，再結(jié)合數(shù)量積求出點(diǎn)A到平面的距離，再利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦值，從而找出正確的選項(xiàng)。

11．【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，

則有雙曲線的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，于是有，從而得，

進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程為，

所以雙曲線的漸近線方程可能為A，B，D，不可能為C.

故答案為：ABD

【分析】雙曲線：與圓：有4個(gè)交點(diǎn)，則有雙曲線的頂點(diǎn)在圓內(nèi)，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而得出的取值范圍，再結(jié)合雙曲線的漸近線方程求解方法，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程，從而找出雙曲線C的漸近線可能的選項(xiàng)。

12．【答案】A,C

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)，依題意可得，則，，

又因?yàn)椋?/p>

所以，，從而得出。

故答案為：AC.

【分析】利用已知條件結(jié)合代入法得出，進(jìn)而得出，再利用已知條件得出，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而結(jié)合已知條件，，，四條直線的斜率之積大于，從而得出的取值范圍，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式結(jié)合橢圓的離心率公式，進(jìn)而求出橢圓的離心率，從而求出橢圓的離心率可以的值。

13．【答案】（答案不唯一）.

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程

【解析】【解答】由題意得，斜率，

又因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即一般式方程中的常數(shù)項(xiàng)非零，

所以，直線的一個(gè)一般式方程為。

故答案為：（答案不唯一）。

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系式，從而求出直線的斜率，再利用已知條件直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，從而結(jié)合代入法，進(jìn)而寫出滿足要求的直線的一個(gè)方程。

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用

【解析】【解答】因?yàn)?，，所以，，所以橢圓的面積為。

故答案為：。

【分析】利用已知條件橢圓的面積等于，其中是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的乘積，再結(jié)合橢圓的面積公式和橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的定義，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a，b的值，進(jìn)而求出l與a，b的關(guān)系式，從而求出橢圓的面積。

15．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量數(shù)量積定義與物理意義

【解析】【解答】。

故答案為：6。

【分析】利用已知條件結(jié)合平面向量基本定理和數(shù)量積的定義，從而利用數(shù)量積的運(yùn)算法則，進(jìn)而求出的值。

16．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】如圖所示，

以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，

結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，故橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。

故答案為：。

【分析】以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可知，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再結(jié)合代入法得出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求出橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

17．【答案】（1）聯(lián)立得

故所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）兩條平行直線與間的距離．

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；平面內(nèi)兩條平行直線間的距離

【解析】【分析】（1）利用已知條件聯(lián)立二者方程求出兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）利用已知條件結(jié)合平行直線的距離求解公式，進(jìn)而求出兩條平行直線與間的距離。

18．【答案】（1）證明：取AC的中點(diǎn)D，連接ND，.

因?yàn)镹和P分別是BC和的中點(diǎn)，所以，，，

因?yàn)?，，所以，?/p>

所以四邊形為平行四邊形，則.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平?/p>

（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，，AB所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則，，，，

，，

設(shè)AN與PM所成角為，

所以，

AN與PM所成角的余弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；用空間向量求直線間的夾角、距離

【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接ND，，利用N和P分別是BC和的中點(diǎn)，再結(jié)合中點(diǎn)作中位線的方法結(jié)合中位線的性質(zhì)，所以，，，再利用，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則，再結(jié)合線線平行證出線面平行，從而證出平面。

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，，AB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，再結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積求向量夾角公式，從而求出AN與PM所成角的余弦值。

19．【答案】（1）因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，

所以，解得，

故的方程為．

（2）設(shè)，則

兩式相減得，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以．

故直線l的方程為：y-=（x-1），即y=x-.

【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合拋物線焦點(diǎn)求解方法，進(jìn)而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用直