【數(shù)學】充要條件學案 2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

高一數(shù)學《精品教學案》班級，姓名?！毒方虒W案》章節(jié)1.4.2課題充要條件教學目標1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，以及理解數(shù)學定義與充要條件的關系．2．通過具體情景，使學生理解充要條件的概念，以及充要條件的證明與應用，從而培養(yǎng)他們的抽象概括能力和邏輯推理的核心素養(yǎng)．教學重點充要條件的判斷；利用充分、必要條件求參數(shù)．教學難點充要條件的證明與探究．【新知探究】充要條件的定義1．下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題?(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等;(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩邊和其中一邊所對的角分別相等;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，則-ac>0;(4)若AUB是空集，則A與B均是空集.2．一般地，如果“若p，則q”和它的逆命題“”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．二、數(shù)學定義與充要條件的關系3.我們知道平行四邊形的定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，顯然“四邊形的兩組對邊分別平行”是“四邊形是平行四邊形”的一個。由此可得到一個結論：數(shù)學中的每一個定義都給出了相應數(shù)學結論成立的一個充要條件．4．根據上節(jié)課的學習，請給出平行四邊形的其他定義形式：，，，。類似地，請同學們利用“兩個三角形全等”的充要條件，給出“三角形全等”的其他定義形式。請同學們利用“兩個三角形相似”的充要條件，給出“相似三角形”的其他定義形式。三、條件p與結論q的關系與充分、必要條件條件p與結論q的關系結論p?q，但qpp是q的充分不必要條件q?p，但pqp是q的條件p?q且q?p，即p?qp與q互為充要條件pq，且qpp是q的條件【典型例題】例1.下列各題中，判斷p是q的什么條件?(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)(1)p:四邊形是正方形，q:四邊形的)對角線互相垂直且平分;(2)p:xy>0，q:x>0，y>0;(3)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q:a+b+c=0(a≠0);(4)p:xy為無理數(shù)，q:x，y均為無理數(shù).變式訓練：下列各題中，判斷p是q的什么條件?(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角角形是等邊三角形;(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，q:b2-4ac≥0(a≠0);(3)p:a∈P∩Q(4)p:a∈P∪Q(5)p:x>y，q:x2>y2.例2.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.(1)當a為何值時，p是q的充分不必要條件？(2)當a為何值時，p是q的必要不充分條件？(3)當a為何值時，p是q的充要條件？變式訓練：請在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．探究：若x∈A是x∈B成立的________條件，判斷實數(shù)m是否存在？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．高一數(shù)學《精品教學案》專心聽講，勤于思考?！毒方虒W案》及時復習，認真完成。例3.求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.eq\a\vs4\al([方法技巧])充要條件的證明思路根據充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明．一般地，證明“p成立的充要條件為q”：①充分性：把q當作已知條件，結合命題的前提條件，推出p；②必要性：把p當作已知條件，結合命題的前提條件，推出q.變式訓練：設a，b，c∈R.證明:a2+b2+c2=ab+bc+ac的充要條件是a=b=c.【達標檢測】A組1.命題p：x≤1，命題q：eq\f(1,x)≥1，則q是p的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2.已知實數(shù)a，b滿足ab＞0，則“eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立”是“a＞b成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3.設全集為U，在①A∪B＝A，②(?UA)∩B＝?，③?UA??UB，④A∪?UB＝U這四個條件中，是B?A的充要條件的有()A．1個B．2個C．3個D．4個4.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，則A∩B＝?的充要條件是________．5.下列各題中，判斷p是q的什么條件．(1)p：a＜b，q：eq\f(a,b)＜1；(2)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：x＞1，q：x2＞1.B組6.(多選)下列結論中正確的是()A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分條件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件D．“x2為無理數(shù)”是“x為無理數(shù)”的充分不必要條件7.若A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件,則C是A的條件，D是A的條件。8.若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，試寫出：(1)A∪B＝R的一個充要條件；(2)A∪B＝R的一個必要不充分條件；(3)A∪B＝R的一個充分不必要條件．9.判斷下列命題的真假:(1)點P到