自動(dòng)控制原理資料

1請(qǐng)解釋下列名字術(shù)語(yǔ)：自動(dòng)控制系統(tǒng)、受控對(duì)象、擾動(dòng)、給定值、參考輸入、反饋。解：自動(dòng)控制系統(tǒng)：能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)控制任務(wù)的系統(tǒng)，由控制裝置與被控對(duì)象組成；受控對(duì)象：要求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過(guò)程擾動(dòng)：擾動(dòng)是一種對(duì)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號(hào)。如果擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部稱(chēng)為內(nèi)擾；擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)外部，則稱(chēng)為外擾。外擾是系統(tǒng)的輸入量。給定值：受控對(duì)象的物理量在控制系統(tǒng)中應(yīng)保持的期望值參考輸入即為給定值。反饋：將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端，并與參考輸入進(jìn)行比較的過(guò)程。請(qǐng)說(shuō)明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成部分。解：作為一個(gè)完整的控制系統(tǒng)，應(yīng)該由如下幾個(gè)部分組成：被控對(duì)象：所謂被控對(duì)象就是整個(gè)控制系統(tǒng)的控制對(duì)象；執(zhí)行部件：根據(jù)所接收到的相關(guān)信號(hào)，使得被控對(duì)象產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)作；常用的執(zhí)行元件有閥、電動(dòng)機(jī)、液壓馬達(dá)等。給定元件：給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入量（即參考量）；比較元件：把測(cè)量元件檢測(cè)到的被控量的實(shí)際值與給定元件給出的參考值進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。常用的比較元件有差動(dòng)放大器、機(jī)械差動(dòng)裝置和電橋等。測(cè)量反饋元件：該元部件的職能就是測(cè)量被控制的物理量，如果這個(gè)物理量是非電量，一般需要將其轉(zhuǎn)換成為電量。常用的測(cè)量元部件有測(cè)速發(fā)電機(jī)、熱電偶、各種傳感器等；放大元件：將比較元件給出的偏差進(jìn)行放大，用來(lái)推動(dòng)執(zhí)行元件去控制被控對(duì)象。如電壓偏差信號(hào)，可用電子管、晶體管、集成電路、晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級(jí)加以放大。校正元件：亦稱(chēng)補(bǔ)償元件，它是結(jié)構(gòu)或參數(shù)便于調(diào)整的元件，用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中，用以改善系統(tǒng)的性能。常用的校正元件有電阻、電容組成的無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)，它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或與原系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)內(nèi)反饋系統(tǒng)。請(qǐng)說(shuō)出什么是反饋控制系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？解：反饋控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng)，在一個(gè)控制系統(tǒng)，將系統(tǒng)的輸出量通過(guò)某測(cè)量機(jī)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量，并將該測(cè)量值與輸入量進(jìn)行比較，形成一個(gè)反饋通道，從而形成一個(gè)封閉的控制系統(tǒng)；開(kāi)環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)：控制的精度較差；閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：控制精度高，缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)復(fù)雜、設(shè)計(jì)分析麻煩，制造成本高。請(qǐng)說(shuō)明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本性能要求。解：（1）穩(wěn)定性：對(duì)恒值系統(tǒng)而言，要求當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的調(diào)整能夠回到原來(lái)的期望值。而對(duì)隨動(dòng)系統(tǒng)而言，被控制量始終跟蹤參考量的變化。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定的，與外界因素?zé)o關(guān)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)預(yù)定任務(wù)。（2） 準(zhǔn)確性：控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表示。即系統(tǒng)在參考輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。（3） 快速性：對(duì)過(guò)渡過(guò)程的形式和快慢的要求，一般稱(chēng)為控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的變化而作出相應(yīng)的快慢程度，如穩(wěn)定高射炮射角隨動(dòng)系統(tǒng)，雖然炮身最終能跟蹤目標(biāo)，但如果目標(biāo)變動(dòng)迅速，而炮身行動(dòng)遲緩，仍然抓不住目標(biāo)。3已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為h（t）二10-12.5e-i.2tsin（1.61,53.1），試求系統(tǒng)的超調(diào)量a%，峰值時(shí)0

間t和調(diào)節(jié)時(shí)間t。ps解：h(t)=10-12a52 sin,l.653.1)=10[1—1.25e-1.21sin(1.61+53.1)]o由上式可知，此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是10,但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。1 由于標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為h(t)二1-e-4ntsin(?；1-C21+…)屮乂2 八C?=1.2n所以有 {1/J1-C2二1.25?■■J1-C2=1.6解上述方程組，得器弓26n所以，此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下超調(diào)量<%二e-兀C'?1-匚2x100%e-o沁1兀25 10?0% 9.5%峰值時(shí)間t二 二u1.96sp?J1-C2 2x0.8n3.5 3.5調(diào)節(jié)時(shí)間t=巳5二-3?=2.92sC?2x0.6n3-4設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=0.44+1，試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動(dòng)態(tài)性能。s(s+0.6)解題過(guò)程：由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) _0.4s+1_?2s+a(s)= = =―n--+G(s) s2+s+1as2+2C?s+?2其中TOC\o"1-5"\h\zdn n其中a=2,?=1,C=C+—n=0.5,z=2.5。這是一個(gè)比例一微分控制二階系統(tǒng)。nd2z比例－微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為h(t)=,re-Cd?nt sionnz2—2C?+?2 2故顯然有 r=dn 亠=故顯然有 r=zW 爲(wèi)耳 d

€小-Q2 J1一：2，…一兀+arctan(— 4)+arctan 4…一1.686Z-C€dnP…arctan蘭dd此系統(tǒng)得動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為…3.155超調(diào)量e…3.155超調(diào)量e-C/pT-C2”…16.2%11調(diào)節(jié)時(shí)間+ln(z2-2C€+€2)-lnz-ln(1一匚、.… 2 2 d…5134調(diào)節(jié)時(shí)間s C€ ?dn3-5已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為h(t)…1+0.2e-601-1.2e-10t，試確定系統(tǒng)的阻尼比C和自然頻率€。n解：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為k(t)…h(huán)(t)…-12e-601+12e-101…12(e-101-e-601)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為①(s)…L[k(t)]…12(-^- —)…s+10s+60 s2+10s+600自然頻率€……24.5n70阻尼比C… 70 …1.429x、/6003-6已知系統(tǒng)特征方程為3s4+10s3+5s2+s+2…0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，列出勞斯表如下s43s310s2s24710s1s115347s02顯然，由于表中第一列元素得符號(hào)有兩次改變，所以該系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。因此,該系統(tǒng)不穩(wěn)定。再用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，則€二aa一aa二10x5一3x1二47?02 12 03a2aa2a—14a3102x21二200?€2顯然，此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-7設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)= ，試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義(s+2)(s+4)(s2+6s+25)為多大值時(shí)，特使系統(tǒng)振蕩，并求出振蕩頻率。解：由題得，特征方程是s4+12s3+69s2+198s+200+K二0列勞斯表TOC\o"1-5"\h\zs4 1 69 200+Ks3 12 198s2 52.5 200+Ks1 7995-12Ks0 200+K由題意，令s1所在行為零得K=666.25由s2行得52.5s2+200+666.25二0解之得s=±4.062所以振蕩角頻率為 ①=4.0&ads3-8已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(3-8已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(0.5s+1)

s(s+1)(0.5s2+s+1)，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。解：由題可知系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s4+3s3+4s2+(2+K)s+2K=0列勞斯表如下s41 4s33 2+K10-Ks22K3(10-K)(2+K),6Ks1310-K3s02K精彩文檔

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得'10-K3[(10—K)(2?K)/3]—6K

(10—K)/3解上述方程組可得 0<K<1.7059系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-1所示，G(s)= ，定義誤差e(t)二r(t)—c(t),s(Ts?1)若希望圖a中，系統(tǒng)所有的特征根位于s平面上s=-2的左側(cè)，且阻尼比為0.5,求滿(mǎn)足條件的K,T的取值范圍。求圖a系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-1習(xí)題3-9示意圖解：(1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為e(解：(1)閉環(huán)傳遞函數(shù)為e(s)二Ts2?s?K1Ks2+s+TTK 1即<— ,2匚<—一,€匚—0.5n<n T nT nD(s)二Ts2?s?K,令s'二s?2，代入上式得,D'(s)—T(s'—2)2?s'—2?K—Ts'2—(4T—1)s'?4T?1/T—2—0列出勞斯表，s2 T 4T+1,'T—2s1 1-4Ts0 4T+1T—2T,0,1—4T,0,4T+1/T—2,0n0<T<1/4或T<0,1—4T<0,4T?1/T—2<0n無(wú)解

,0<T<1/4,4<K<€⑵ R(t)二t，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)???e二1/Kss(3)G'(3)G'(s)=(Kos?1)KKs?K0Ts2?s?K,E,E(s)=R(s)-C(s)=R(s)[1-G'(s)]=丄Ts；?(1…{)Ss2Ts2?s?KTs?1-KK0—s(Ts2?s?K)令ess=令ess=limsE(s)=limst0 st0Ts?1-KK0Ts2?s?K二1…KK0二0nK二1/KK0K并沒(méi)有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。03-10已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：100(0.1100(0.1s?1)(s?5)50s(0.1s?1)(s?5)試求輸入分別為r(t)=2t和r(t)二2?2t?12時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1)1001)100(0.1s?1)(s?5)20(0.1s?1)(0.2s?1)由上式可知，該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)且K=20。110型系統(tǒng)在1(t),t,t2信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為： ，€,€。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸2 1?K入為r(t)=2t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為e二2?€=€，該系統(tǒng)在輸入為r(t)二2?2t?t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為ss2e二2?—e=20+2 =€e=20+2 =€ss2 K+€ss2 1?K2)502)50s(0.1s+1)(s+5)10s(0.1s+1)(0.2s+1)由上式可知，該系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，且K=10。11I型系統(tǒng)在l(t),t,112信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：0,-,€。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為2K1r(t)二2t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為e二2?—二0.2該系統(tǒng)在輸入為r(t)=2+2+21時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為ss2 K3-11已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為G(s)?⑶1+G(s)H(s)bsm+bsm-1+

—m m-1 sn+a sn-1€..n-1bs+b 1 0as+a10誤差定義為e(t)，r(t)-c(t)。試證,1)系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為2)a—0 sn+asn-1++as+an-1 10系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下,穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為?(s)，as+a—1 0 sn+asn-1+ + as+an-1 1 O推導(dǎo)系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件3)(4)求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關(guān)系解：(1) €??(s)，a 0sn+asn-1+.

n-1€as€a10…E(s)，R(s)-C(s)，R(s)[1-?(s)]…+as 1——+as+a11sn+asn-…+as 1——+as+a1ssn+a sn-1+_n-1,????+a 1—+as+a10sn-,????+a 1—+as+a10 n1 sn+asn-1+ n-1滿(mǎn)足終值定理的條件,e(a)，limsE(s)，limsT0sn+a sn-1+ n1 sTOsn+a sn-1+...n-1…+as 1 +as+a10即證(2)€??(2)€??(s)， 1 O sn+a sn-1+ + as+an-1 1 O…E(s)，R(s)-C(s)，R(s)[1-?(s)]+as22s2sn+a sn-1+ + as+aTOC\o"1-5"\h\zn-1 1 0sn-1+asn-2+ +a n-1 2 sn+a sn-1+ + as+an-1 1 0滿(mǎn)足終值定理的條件,

TOC\o"1-5"\h\zsn+asn?i+ +ase(a)€limsE(s)=lim — 2 =0s…0 s…0sn+asn?i+ +as+an?1 1 0即證對(duì)于加速度輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為as2+as+a 2 1 0 sn+a sn?i+ + as+an?1 1 0同理可證系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大1次3-12已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1)G(s)€50(0.1s+1)(2s+1)Ks1)G(s)€50(0.1s+1)(2s+1)Ks(s2+4s+200)3)G(s)€10(2s+1)(4s+1)s2(s2+2s+10)試求位置誤差系數(shù)K,速度誤差系數(shù)K,加速度誤差系數(shù)K。p v a解：此系統(tǒng)是一個(gè)0型系統(tǒng)，且K€20。故查表可得K€K€10,K€0,K€0p v a根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得Kp€ItG(s)H(s)€ s(s2+4s+200)“€lims?G(s)H(s)s…0€lims?s…0 s(s2+4s+200)K200Ka€豐s2G(s)H(s)€豐s2s(s2+4s+200)€03)根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得疋i-r(^/()i-10(2s+1)(4s+1)K€limG(s)H(s)€lim =aP s…0 s…0s2(s2+2s+10)v ]? r(Wj()]? 10(2s+1)(4s+1)K€lims?G(s)H(s)=lims? =aV s…0 s…0 s2(s2+2s+10)K€lims2G(s)H(s)€lims210(2s+1)(4s+1)=1a s…0 s…0 s2(s2+2s+10)4-1已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-1所示，試?yán)L制相應(yīng)的根軌跡圖。解：根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m€3，漸近線的傾斜角為,€60。,,=180。,,=240。1 2 3()根軌跡的漸近線條數(shù)為?-m€0()根軌跡的漸近線條數(shù)為?-m€0()根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m€1,漸近線的傾斜角為,€180。2已知單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為：(1)G(s)€K((1)G(s)€K(s+1)

s2(s+2)(s+4)Ks(s+1)(s+2)(s+5)(3)G(s)€s(s+4)(s2+4s+20)K?0，畫(huà)出各系統(tǒng)的根軌跡圖解：(1)按下列步驟繪制根軌跡：(4)G(s)€K(s+1)

s(s一1)(s2+4s+16)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為Z€-1；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p€0,p€-2,p€-41 1,2 3 4實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為一卩-4]I一2,-1]③根軌跡的漸近線條數(shù)為1-m€3，漸近線的傾角為,€60。，,€180。，,€-60。1 2 3漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

2,p€^zii5CT =-i=1 i=1 =——an€m3系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p=0,p=—1,p=—2,p=—51 2 3 4實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為?—5,-2]?—1,0〕③根軌跡的漸近線條數(shù)為n—m=4，漸近線的傾角為e二e二45。，e二135。，12e=—135。，e=—45。34漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為Xp—乙ii漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為Xp—乙iiT=4=1 ——=—2an—m④分離點(diǎn)方程為1+++dd+1d+2d+5解得分離點(diǎn)d=—4.06,d=—0.4012閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-2b所示系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p，0,p，-4,p ，-2€j41 2 3,4實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為L(zhǎng)4,0?根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m，4，…，-2，Q，45。,135。,225。,315。aa90根軌跡的起始角：復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)p，-2€j4處，0，-90,0，903,4 p3 p4分離點(diǎn)方程為1111+++dd+4d+2+j4d+2—j4解得分離點(diǎn)d=-2,d=-2+j61 2,3檢查d，-2時(shí)，K*，641d，-2土j<6時(shí)，K*，1002,3d,d,d皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。123⑥確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)，s4+8s3+36s2+80s+K*，0列寫(xiě)勞斯表s4136K*s3880s226K*80x26—8K*s126s00當(dāng)K*，260時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為A(s)€26s2+260€0系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為Z€-1；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為P€0，p€1，p=—2，j2\[31 1 2 3,4實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為（-?-1],…）」]2根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m€3,Q€--,?€60。,180。,-60。a3a分離點(diǎn)方程為11111++^+€ dd—1d+2+j23d+2—j23d+1解得分離點(diǎn)d€-2.26,d€0.4512

3給定系統(tǒng)如圖4-2所示，K€0，試畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡，并分析增益對(duì)系統(tǒng)阻尼特性的影響。解：(1)作系統(tǒng)的根軌跡。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為g+2)—￡+3R⑨圖4-2習(xí)題4-3系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖G(s)F(s)，K(s+2)(s+3)s(s+1)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0和-1，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為-2和-3。所以實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為-3,-2］和［-1,0］。③分離點(diǎn)方程1111+,+dd+1d+2d+3得分離點(diǎn)d=—2.366,d，-0.63412檢查d，-2.366時(shí)，K*，- 一，0.0718i (s+2)(s+3)■s，-2.366d，-d，-0.634時(shí),2, s(s+1)(s+2)(s+3)，13.93s，-0.634(2)分析增益對(duì)阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出，對(duì)于任意K?0，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但阻尼狀況不同增益較小時(shí)(0…K…0.0718)系統(tǒng)過(guò)阻尼；增益很大時(shí)(K?13.93)，系統(tǒng)過(guò)阻尼；增益中等時(shí)(0.0718…K…13.93)，系統(tǒng)欠阻尼。

4-4給定控制系統(tǒng)如圖4-3所示，K€0，試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定，速度反饋增益K為何值時(shí)能使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)阻尼比等于0.7。解：(1)求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標(biāo)準(zhǔn)形式。通過(guò)方塊圖變換或代數(shù)運(yùn)算可以求得單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),10/(s+1) 1, 101+10k/(s+1)ss(s+1+10k)因?yàn)榭勺儏?shù)K不是分子多項(xiàng)式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程s(s+1+10k)+10，s2+s+10ks+10，0改寫(xiě)為10ks1+，0

s2+s+10即，上述閉環(huán)特征方程也相當(dāng)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)G(s)， ，0,K，10ks2+s+10的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。(2)根據(jù)G(s)作出根軌跡圖。G'(s)有兩個(gè)極點(diǎn)-0.5?j3.1225，一個(gè)零點(diǎn)0，所以負(fù)實(shí)軸是根軌跡，而且其上有分離點(diǎn)。將閉環(huán)特征方程改寫(xiě)為s2+s+10s由dK/ds=0可以求得s，±、：10，其中s，-/10在根軌跡上，對(duì)應(yīng)增益為K=5.3246…0，故s，-,10是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。根軌跡如圖4-4a所示。

(3)求反饋增益k。首先要確定閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)途中虛線代表€=0.7,則閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡和該虛線的交點(diǎn)，由€=0.7可得，=arccos€=45.57。設(shè)Oss=—€??j? 1—€21 n n=—0.7?? 0.51?n n列出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輻角條件argG'(s)=arg「0.51CO-3.1225(S?0.5?j3.1225)(s?0.5「0.51CO-3.1225V051 ?3.1225=arctan—arctan n —arctan ——0.7 —0.7??0.5 —0.7??0.5nn=—180P(2k?1)經(jīng)整理得J051?+3.1225 V0.51?—3.1225arctan n +arctan n =+18CF(2k+1)+arctan—0.7?+0.5 —0.7?+0.5 —0.7nn兩邊同取正切，整理得1.020刼2-10.2020=0n解得，?=3.1623。所以該閉環(huán)極點(diǎn)為s=—2.2136?j2.2583。再由n1=3.4272s=-2.2136?j=3.4272s=-2.2136?j2.2583K=— s得速度反饋增益為k=K/10=0.3427。4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G(4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=Ks(s?1)(0.5s?1)。要求系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其阻尼比為g=0.5。試確定開(kāi)環(huán)增益K，并近似分析系統(tǒng)的時(shí)域性能。解：根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的基本法則，作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖4-5a所示。欲確定K，需先確定共軛復(fù)極點(diǎn)。設(shè)復(fù)極點(diǎn)為s€x土jy1,2根據(jù)阻尼比的要求，應(yīng)保證y€xtg(180°-arccos?)=—1.732x在圖上作…二0.5的阻尼線，并得到初始試探點(diǎn)的橫坐標(biāo)x€—0.3，由此求得縱坐標(biāo)y€0.52。在s=_0.3土j0.5處檢查相角條件ZG(s)€—173.6。不滿(mǎn)足相角條件;修正x€_0.32，則y€(54，點(diǎn)s=，02也54 處的相角為，177.4；再取x=_0.33，則y€0.572，點(diǎn)s二—0.33土j0.572處的相角為，180。因此共軛復(fù)極點(diǎn)s=—0.33土j0.572。由模值條件1,2求得€0.513s€—0.33+j0.572運(yùn)用綜合除法求得另一閉環(huán)極點(diǎn)為s€-2.34。共軛復(fù)極點(diǎn)的實(shí)部與實(shí)極點(diǎn)的實(shí)部之比為0.14，因此可3視共軛復(fù)極點(diǎn)為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似表示為“⑸“⑸€s2+0.665s+0.436并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時(shí)域性能3.5t€ €10.6s3no%€e-噸/1-?2x100%€16.3%4-7已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

G(S)€s(s+1)(s+2)K的變化范圍是0T，，試畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為P€0,p€?1,p€?2123實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為[-，,?2],[?1,o]根軌跡的漸近線條數(shù)為n?m€3，漸近線的傾角為0€60。，0€180。，Q€—60。123漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為為p-瓦ziiC5" €-i=1 €—1an—m④分離點(diǎn)方程為解得分離點(diǎn)④分離點(diǎn)方程為解得分離點(diǎn)d€—0.42閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-7a所示4-8已知反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：KG(s) — ,H(s)€1,K>0,a>0s(s+a)試畫(huà)出—和a同時(shí)變化的根軌跡簇。解：(1)列寫(xiě)閉環(huán)特征方程。閉環(huán)特征方程為s2+as+—€0個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞(2)畫(huà)a€0,—從0到+,的根軌跡。a=0時(shí)閉環(huán)特征方程為s2+—=0。這相當(dāng)于個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)€—1 1 s2的系統(tǒng)。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見(jiàn)圖4-8a中由圓圈構(gòu)成的根軌跡。(3)畫(huà)K為常數(shù)，a從0到+^的根軌跡。給定K，則閉環(huán)特征方程為as1+，0s2+K它相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s),_^的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為土j丞，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為0。2 2 s2+K圖4-8a中不帶圓圈的根軌跡是K，1,4,9,16時(shí)的根軌跡。1(s+a)4-9已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)，s2(s+1)a的變化范圍是［0,+刈，試畫(huà)出系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為11D(s)，s3+s2+s+a，041a即有1+―4——，0s3+s2+s4K*等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)， K.1 s(s+)22K*,4a，變化范圍為?。,⑴按照繪制常規(guī)根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項(xiàng)參數(shù)等效系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為： p，0,p，p12

實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(7,0〕根軌跡有3條漸近線，且?=—…=60,180,300a 3a ° ° 14)根軌跡的分離點(diǎn)：由分離點(diǎn)方程4)根軌跡的分離點(diǎn)：由分離點(diǎn)方程軌⑶=—K*(3s2+2s+1)——=0s2(s+2)4解得d=-2,d2解得d=-2,d2=-65)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫(xiě)勞斯表如下s3s2s11a44當(dāng)a=1時(shí)，勞斯表的si行元素全為零，輔助方程為A(s)=s2+-=04解得s=±j—1,22繪制系統(tǒng)參數(shù)根軌跡如圖4-9a所示4-10已知反饋控制系統(tǒng)中，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)= K($ 繪制H(s)=s+1.05 繪制H(s)=s+1.05時(shí)的閉環(huán)根軌跡概略圖；s 比較開(kāi)環(huán)零點(diǎn)變化對(duì)根軌跡形狀的影響。解：(1)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)s(s+4)(s+6)(s2+1.4s+1)⑴繪制H(s)=土?xí)r的閉環(huán)根軌跡概略圖；sK(s2€2s€4)

s2(s€6)(s2€1.4s€1)按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為z=，1土jl.732；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p=0,p=—6,p=—0.7土j0.7141,2 1,2 3 4,5實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為（-?-6]根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m=3，漸近線的傾角為e=60€，e=180。，?=—60。1 2 3漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為》p—乞ziiC=I i=1—=_1.8an—mr()tt() K(s€1.05)(s2€2s€4)G(s)H(s)=一s2(s€4)(s€6)(s2€1.4s€1)按下列步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為z=—1.05，z=，1土j1.732；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p=0，p=-4，p=—6,1 2,3 1,2 3 4p=，0.7土j0.7145,6實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為（-8,—6…和[—4,—1.05…根軌跡的漸近線條數(shù)為n-m=3，漸近線的傾角為e=60€，e=180€，e=—60。1 2 3

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為工P-區(qū)zii€=-i=1 i=1 =—2.78an一mG(s)=S…",a?0s(2s-a)試作出以a為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分a取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：(1)求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并化成標(biāo)準(zhǔn)的形式。因?yàn)榭勺儏?shù)a不是分子多項(xiàng)式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程2s2一as+s+a=0可改寫(xiě)為則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G'(s)G'(s)=—a(s—1)

s(2s+1)K(s-1)

s(2s+1)K=-a<0(2)根據(jù)G'(s)作系統(tǒng)的根軌跡oG'(s)中的增益為負(fù)值，所以要作系統(tǒng)的補(bǔ)根軌跡開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為-0.5和0，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為1。按照補(bǔ)根軌跡的作圖規(guī)則，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為［-0.5,0］和11,…打。在［-0)］區(qū)間有會(huì)合點(diǎn)，在11,…w］有分離點(diǎn)。為求分離、會(huì)合點(diǎn)，將閉環(huán)特征方程改寫(xiě)為s(2s+1)(s-1)

由dK/ds€0,得S2-4s-1€0,解得s€2.2247,s=-0.2247,分別對(duì)應(yīng)的增益為K=—9.8990和12K€-0.1010,所以是分離、會(huì)合點(diǎn)?？梢宰C明，不在實(shí)軸上的根軌跡是一個(gè)圓，圓心在(1,0),半徑為1.2227。以K€-a為參變量的根軌跡如圖4-11a所示，圖中箭頭表示a從0到他的方向，也即K從0到-…的方向°()求a使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由閉環(huán)特征方程2s2+(1?K)s-K€0可知，K€-1時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這相當(dāng)于a€1，所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為0<a<1°4-12實(shí)系參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)為：A(s)€s3+5s2+(6+a)s+a欲使A(s)€0的根均為實(shí)數(shù)，試確定參數(shù)a的范圍。解：對(duì)A(s)€0作等效變換得a(s+1)s3+5s2+6s等效開(kāi)環(huán)函數(shù)為G1G1(s)H1(s)€a(s+1)

s(s+2)(s+3)當(dāng)a>0時(shí)，需繪制常規(guī)根軌跡：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為Z€-1；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為p€0，p€-2，p€-31 1 2 3實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為［-3,-2］和［-1,0］根軌跡有2條漸近線，且g€-2；<€90°,-90°aa

由分離點(diǎn)方程在實(shí)軸區(qū)間,?3,?2］內(nèi)用試探法求得d€-2.47。繪制根軌跡圖，如圖4-12a所示。由分離點(diǎn)方程在實(shí)軸區(qū)間,?3,?2］內(nèi)用試探法求得d€-2.47。繪制根軌跡圖，如圖4-12a所示。當(dāng)a…0時(shí)，需繪制零度根軌跡。實(shí)軸上，零度根軌跡區(qū)間為(4,-3］,［-2,-1］和［0,+^］。作零度根軌跡圖，如圖4-12b所示。當(dāng)多項(xiàng)式有根?2.47時(shí),根據(jù)模值條件得d+2d+3€0.419d+1］根據(jù)常規(guī)根軌跡圖，知當(dāng)0<a<0.419時(shí)，多項(xiàng)式的根皆為實(shí)數(shù)；根據(jù)零度根軌跡圖，知當(dāng)a…0時(shí),多項(xiàng)式的根亦全為實(shí)數(shù)。因此所求參數(shù)a的范圍為a<0.419。a€■K >D -3 -2 -1-1-2圖4-12b零度根軌跡4-13設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G(S)—s(s+1)(s+10)大致畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡圖；用文字說(shuō)明當(dāng)K…0時(shí)，如何求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量%，峰值時(shí)間t及調(diào)節(jié)時(shí)間t。ps解：(1)漸近線：分離點(diǎn)：繪根軌跡圖-1-10Q€——€-3.67;申=±60,180a 3 a由丄+-^+ - €0，得d€-0.487dd+1d+10相應(yīng)的根軌跡增益K€2.377d根軌跡與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程s3+11s2+10s+K€0列勞斯表s310s2s1s011110-K10K當(dāng)K€110時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，由輔助方程11S2+110€0得根軌跡與虛軸交點(diǎn)處為K€110,,€±3.16€0，閉環(huán)有兩個(gè)實(shí)主導(dǎo)極點(diǎn)…和…，且…1211<…，因此求得調(diào)節(jié)時(shí)2間如下：4.75€123-ln(1-t€_S ……H…121當(dāng)2.377?K?100時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，則(a<

<D丿3+In兀t€ ，…%€100e-…厶％,t€—pD s…1由于D二,€,J1一匚2,A€,,…€匚,,ln(一)€ln(. )d n n1 n因此…e%l'1100€t…一P①J—C2n%0.84-14設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：K(s+4)

s(s+2)試畫(huà)出系統(tǒng)根軌跡圖，并求出系統(tǒng)具有最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的增益K。解：系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域?yàn)椋?,?2］和［?4,?<)在這兩段區(qū)域內(nèi)，均存在分離點(diǎn)。為了求出分離點(diǎn)，令111+…dd+2d+4d…—4+2邁…—1.172求出1 一d…—4—2邁=—6.8282由根軌跡圖知，對(duì)于等腰直角三角形，必有由根軌跡圖知，對(duì)于等腰直角三角形，必有B…45，故最小阻尼比匚…cos卩…0.7070響應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)s…-2土j21,2由根軌跡模值條件，可求出相應(yīng)的增益為K…1-2+j2|?|-2+j2+2|…2|—2+j2+4—7繪制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線a.G(s)=(1€0.5s)(1€2s)b.G(s)二(1€°.5s)s2c.s—10s2€6s€10oo-I-oosososo_bo1-24-627221S1394-4-9ms-15z&直留€d．d．G(s)=30(s€8)

s(s€2)(s€4)5-8已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Ks(s5+l)(s200+1)試?yán)L制K=10的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，并算出截止頻率，。c解：由題可得G解：由題可得G(j,)=j,(j,5+1)(j,200+1)

TOC\o"1-5"\h\z. €21G(j€)?10€-1(1+^5)-2(1+€21200?)2€21200?)2?-一arctan一arctan—因此20ln|G(j€因此20ln|G(j€)?20―20ln€―10ln(1+€2詩(shī)-10ln(1…€2200?)計(jì)算可得€?J50rad/sc9已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：G(G(s)H(s)?50(s—2)s2+11s+10計(jì)算截止頻率€。c確定對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線的低頻漸進(jìn)線的斜率。繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。解：G(s)H(s)?50(s—2)s2+11s+1050(s—2)(s+1)(s+10)G(j€)H(j€)?50(j€—2)(7€+1)(7€+10),111G(€)H€j，) 50€4+)2(1 +)(€1200丄 _1 -1))201|nGXj)(H,j)20衛(wèi)喚5054(0-2)(5?)(100))，20ln55)10150(4-)104)10ln,100 )0計(jì)算可得€二49rad/sc當(dāng)€?1時(shí)，斜率為0；當(dāng)1?€?2時(shí)，斜率為-20dB/d€；當(dāng)2?€?10時(shí)，斜率為0；當(dāng)0>10時(shí)，斜率為-20dB/d0；繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。5-10利用奈氏判據(jù)分別判斷題5-4，5-5系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：⑴ 對(duì)于題5-4的系統(tǒng)，分t>T和T>1的兩種情況來(lái)討論系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當(dāng)t>T時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線不包圍(-1,j0)，根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可得N,0又由系統(tǒng)得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知P,0即Z，P-2N，0，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面無(wú)極點(diǎn)，t>T時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T>t時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，N，-1又由系統(tǒng)得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知P,0即Z，P-2N，2，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個(gè)極點(diǎn)，T>t時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)對(duì)于題5-5的系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖所示，由圖5-5a可知當(dāng)V，1時(shí)，N，0，又由系統(tǒng)得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知P，0即Z，P-2N，0，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面無(wú)極點(diǎn)，V，1時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)V，2,3,4時(shí)，N，-1，又由系統(tǒng)得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知P，0即Z，P-2N，2，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個(gè)極點(diǎn)，V，2,3,4時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-11用勞斯判斷據(jù)驗(yàn)證題5-10的結(jié)果。解：(1)對(duì)于題5-4的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

Ts3+s2+K€s+K，0列勞斯表s3 TK€s2 1Ks1 T€-KTs0 K則當(dāng)€>T時(shí)，K€?KT>0,即第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)€<T時(shí)，K€?KT…0，即第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)對(duì)于題5-5的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為sr(s+1)(s+2)+1，0，即Sr+2+3sr+1+2sr+1，0當(dāng)丫,1時(shí)，列勞斯表TOC\o"1-5"\h\zs3 1 2s2 3 1s1 4 0s0 1第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)r，2時(shí)，列勞斯表s4 1 2 1s3 3 0s2 2si -2s0 0第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)r，3,4時(shí)，情況與r，2相同，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-12已知三個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為K(Ts+1)2 s2(Ts+1)1K(Ts+1)2s2(Ts+1)1K(K(Ts+1)(Ts+1)G(s)， 2 4s3(Ts+1)(Ts+1)13(T>0,T>0,T>0,T>0)1234又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個(gè)傳遞函數(shù)分別對(duì)應(yīng)的奈奎斯特曲線，并判斷單位反饋下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性i1LIlL1iImGTO4/,L-1於T+CQ-4-KWa0 RpOf0He(a)(b)(c)圖5-2習(xí)題5-12控制系統(tǒng)乃奎斯特曲線圖解：三個(gè)傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的奈奎斯特曲線分別為b,c,a對(duì)G(s)=K(T2s€D式，P二0，N二0s2(Ts€1)1則Z=P-2N=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對(duì)G(s)=K(T2s€1)式,P二0，N二0s2(Ts€1)1則Z=P-2N=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對(duì)G(s)=式，K(Ts對(duì)G(s)=式，2 4—s3(Ts€1)(Ts€1)13則Z=P-2N=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定;5-13已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)= — ； K,T>0s(Ts€1)(s€1)試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定條件：T=2時(shí)，K值的范圍；—=10時(shí)，T值的范圍；—，T值的范圍。解：由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)曲線圖如圖5-13a所示由于P€0，故想要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必有N€0，即幅相曲線不包圍點(diǎn)(-1,j0)。系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式如下亠.、 K -K,2(T+1)+jK,(T,2-1)G(/，)€ €—j，(Tj，+1)(j，+1) (T+1)2,4+,2(T，2—1)2a、T€2時(shí)，對(duì)于開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有K,(T,2一1) K,(2,2一1) I0(T+1)2,4+,2(T，2一1)2 9,4+,2(2,2一1)2由上式可得，€耳，貝咬點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為一K,2(T+1) 一3K,2 4=?—1(T+1)2,4+,2(T，2—1)2 9，4+,2(2,2—1)23由上式可得 0…K…-2b、K€10時(shí)，對(duì)于開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有K,(T,2—1) _ 10,(T,2—1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2 (T+1)2,4+,2(T,2—1)2由上式可得,由上式可得,€，貝交點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為—K—K,2(T+1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2-10T(T+D(T+1)2 +1(畤-1)21由上式可得0…T…19c、對(duì)于開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有K,(T,2—1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2K,(T,2—1)€0(T+1)2,4+,2(T,2—1)2由上式可得,€，貝交點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為—K,2(T+1)(T+1)2,4+,2(T,2—1)2-K1(T+1)(T+1)2Tr+1(弓-1)2由上式可得0…K…T+1,0…T…1T K—15-14某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

K(Ts€1)2 s2(Ts€1)1要求畫(huà)出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：a．0,T,T；210,T=T；210,T,T。12解：a.當(dāng)Ta.當(dāng)T=0時(shí),2Q(s)=Ks2(Ts€1)1其開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-14a所示，P=0,N=-1則Z=P-2N=2，故在s平面右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定;b.當(dāng)0b.當(dāng)0,T,T時(shí),21Q(j?)=K(j72?+1)

-?2(1+jT?)K(1€TT?2)€K?(T-T)^-2 2 1—-?2(1€T2?2)1若?=0，則IQ(j0)i,…(0)=-180+++若?=燉，則|Q(j0)|=0,…(0)=-180TOC\o"1-5"\h\z+ + O其開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-14b所示，P=0，N=-1則Z=P-2N=2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；c.當(dāng)0,T=T時(shí)，Q(s)=—21 s2若?=0，則IQ(j0)i,…(0)=-180+ + + O若?=燉，則|Q(j0)|=0,…(0)=-180++01其開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-14c所示，P=0，N=--2則Z=P-2N=1，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；d.當(dāng)0d.當(dāng)0<T,T時(shí),12Q(j?)=K(jT2?+1)

-?2(1+jT?)K(1+TT?2)+K?(T-T)^-2 2 1—-?2(1+T2?2)1由0<T,T可得Re[Q(j?)],0,Im[Q(j?)],012故可得其開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-14d所示，P=0，N=