2021屆高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計劃模擬題16附答案解析

2021屆高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計劃模擬題16

一、單空題(本大題共8小題，共40.0分)

1.在平面內(nèi)，RtAABC中，BA1CA,=AC2+AB2,空間中，在四面體V-BCD中，

VB,VC,UD兩兩互相垂直，且側(cè)面的3個三角形面積分別記為工，52,S3，底面ABCD的面積

記為S,類比平面可得到空間四面體的一個結(jié)論是.

2.將正整數(shù)排成如圖，則在表中第45行第83個數(shù)是.

1

234

56789

10111213141516

3.觀察下列等式:

(1+X+X2)1=1+X+X2,

(1+x+x2)2=1+2久+3x2+2x3+x4,

(1+x+x2)3=1+3%+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,

(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16xs+10x6+4x7+x8,...

由以上等式推測：對于neN*,若(1+x+/)"=劭+a/++—Fa2nx之"則=

4.觀察如圖所示的三角形數(shù)陣，據(jù)規(guī)律可得該數(shù)陣第6行第3個數(shù)為,1

第7行各個數(shù)之和為.12

357

481632

911131517

5.表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第/列的數(shù)為%.則

表中的數(shù)52共出現(xiàn)次.

234567

35791113

4710131619

5913172125???

61116212631???

71319253137—

—————???.??

6.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,

甲說：我去過的城市比乙多，但沒有去過C城市；

乙說：我沒有去過4城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.

由此可以判斷乙去過的城市是.

7.觀察下列數(shù)表，

1234……78910

357??????151719

812???…3236

20?68

如此繼續(xù)下去，則此表最后一行的數(shù)為.（用數(shù)字作答）

8.大家知道：在平面幾何中，三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫

三角形的重心，并且重心分中線之比為2：1（從頂點(diǎn)到中點(diǎn)）.據(jù)此，我

們拓展到空間：把空間四面體的頂點(diǎn)與對面三角形的重心的連線叫空

間四面體的中軸線，則四條中軸線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫此四面體的重

心.類比上述命題，請寫出四面體重心的一條性質(zhì)：.

二、解答題（本大題共3小題，共36.0分）

9.列三角形數(shù)表

1..................第一行

22-----------第二行

343-----------第三行

4774-----------第四行

51114115

假設(shè)第n行的第二個數(shù)為a/n>2,neN*)

(1)依次寫出第六行的所有數(shù)字；

(2)歸納出a“+i與斯的關(guān)系式并求出即的通項公式;

設(shè)求證：(

(3)0n8n=1,2+b3T------i-bn<2.

10.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，是。。的直徑，弦BD、C4的延長線相交于點(diǎn)E,F為84延長線上一點(diǎn)，且

SZ)■55=?麗?求證:

⑴樂i即:

(2)/麗/網(wǎng)=蜉

11.下面(4)(B)(C)(D)為四個平面圖形：

(1)數(shù)出每個平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)，并將下表補(bǔ)充完整:

交點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)

452

⑻58

⑹125

⑼15

(2)觀察表格，若記一個平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為E、F、G,試猜想E、F、G之

間的數(shù)量關(guān)系(不要求證明).

⑷(5)(0)(D)

參考答案及解析

1.答案：S：BCD=S如BC+S/VCD+S如DB=+,^2^^3

解析：解：由邊對應(yīng)著面，邊長對應(yīng)著面積，

由類比可得S^BCD=S&BC+S如CD+^IVDBS2=+S2+-

故答案為:S^BCD=S^VBC+S如CD+S^VDB=52=s￡+S/+S/.

斜邊的平方等于兩個直角邊的平方和，邊對應(yīng)面.可類比到空間就是斜面面積

的平方等于三個直角面的面積的平方和.

本題考查了從平面類比到空間，屬于基本類比推理.

2.答案:2019

解析：解：根據(jù)題意，由因?yàn)槊啃械淖詈笠粋€數(shù)分別為1,4,9,16，…，所以由此歸納出第n行的

最后一個數(shù)為足，

則第44行的最后數(shù)為442=1936,

則第45行第1個數(shù)為1937,

故第45行第83個數(shù)為2019；

故答案為：2019

根據(jù)題意，分析可得每一行最后一個數(shù)的規(guī)律得到第n行的最后一個數(shù)為小,即可得第44行的最后

數(shù)，據(jù)此分析可得答案.

本題考查歸納推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析各行的變化規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

3答案.ri*（n+i）

J?口?2

解析：解：由已知中的式了，我們觀察后分析:

等式右邊展開式中的第三項分別為：1,3,6,10,

即：1,1+2.1+2+3,1+2+3+4,...

根據(jù)已知可以推斷:

第71(z1EN*)個等式中為:

九*（九+1）

1+2+3+4+…+九=-------

故答案為：至等

本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，我們可以根據(jù)已知條件中的等式，分析等式兩邊的系數(shù)及指數(shù)部分

與式子編號之間的關(guān)系，易得等式右邊展開式中的第三項分別為：1,3,6,10,…，歸納后即可推

斷出的等式.

歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一

個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.

4.答案：256175

解析：解：根據(jù)題意，三角形數(shù)陣，第n行有n個數(shù)，

奇數(shù)行為公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)行為公比為2的等比數(shù)列，

故第6行的6個數(shù)為64、128、256、512、1024、2018,故該數(shù)陣第6行第3個數(shù)為256；

第7行共7個數(shù)，第一個數(shù)為19,是公差為2的等差數(shù)列，故第7行各個數(shù)之和為19x7+竽x2=175；

故答案為:256,175.

根據(jù)題意，分析三角形數(shù)陣的規(guī)律，得到第6行和第7行的數(shù)字規(guī)律，據(jù)此分析可得答案.

本題考查歸納推理的應(yīng)用，注意分析三角形數(shù)陣的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：4

解析：解：。所表示第n行第n列的數(shù)，

由題意知第n行是首項為n+1,公差為n的等差數(shù)列，

2

:，ann=（n+1）+（n—1）xn=n+1.

第i行第/列的數(shù)記為4,.那么每一組i與1的解就是表中一個數(shù).

因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列4/0=12）是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，

所以4“=2+0—l）xl=/+l,

所以第7列數(shù)組成的數(shù)列=12）是以j+1為首項，公差為/的等差數(shù)列，

所以旬=j+1+（_1）Xj=ij+1.

令4爐=ij+1=52,

即“=51=1x51=17x3=3x17=51x1,

故表中52共出現(xiàn)4次.

故答案為：4.

表示第n行第n列的數(shù)，由題意知第n行是首項為n+1,公差為n的等差數(shù)列，由此能求出即4；

利用觀察法及定義可知第1行數(shù)組成的數(shù)列4/0=1,2,）是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)一步

分析得知第/列數(shù)組成的數(shù)列&/(i=12)是以1+1為首項，公差為/的等差數(shù)列，同時分別求出通項

公式，從而得知結(jié)果.

此題考查行列模型的等差數(shù)列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì).

6.答案：B

解析：

本題主要考查簡單的合情推理，屬于基礎(chǔ)題.解題時，要抓住關(guān)鍵，逐步推斷.

可先由乙推出，乙可能去過B城市或C城市，而由甲推出只能是B,C中的一個，再由丙即可推出結(jié)論.

解：由乙說：我沒去過4城市，則乙可能去過B城市或C城市，

但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過C城市，則乙只能是去過B,C兩城市中的任一個，

再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，

則由此可判斷乙去過的城市是B.

故答案為B.

7.答案：2816

解析：解：由圖表可知，第n行的第一個數(shù)等于第n-l行的第一個與第二個數(shù)之和，

且第n行為公差為2"一1的等差數(shù)列，

設(shè)第n行的第一個數(shù)為即，

rl

則斯+1=2an4-2t,

則(15=40+23=48,

4

a6=96+2=112?

5

a7=224+2=256,

6

a8=512+2=576,

7

a9=11524-2=1280,

8

aw=2560+2=2816,

即此表最后一行的數(shù)為2816,

故答案為：2816.

由數(shù)列的遞推關(guān)系及歸納推理得：第n行的第一個數(shù)等于第n-1行的第一個與第二個數(shù)之和，且第兀

行為公差為2所1的等差數(shù)列，

8

設(shè)第ri行的第一個數(shù)為斯，則斯+1=2an+2"T,則a］。=2560+2=2816,得解.

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系及歸納推理，屬中檔題.

8.答案:3：1

解析：解：如圖所示，AE,BP為四面體的中軸線，P,E分別為△ACD,八

△8CD的重心，/；\\

連結(jié)皿

因?yàn)?P：PF=2：1,BE：EF=2,1,

所以4P：PF=BE：EF,PE//AB,

所以AG：GE=BG-.GP=AB-.PE=3：1.

故答案為：3：1.

本題考查的知識點(diǎn)是類比推理，由平面圖形的性質(zhì)類比猜想空間幾何體的性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)

到線，線到面，或是二維變?nèi)S；由題目中三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等

于它到對邊中點(diǎn)距離的2倍的結(jié)論是二維線段長與線段長的關(guān)系，類比后的結(jié)論應(yīng)該為三維的邊與邊

的比例關(guān)系.

本題主要考查類比推理的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是由平面圖形的性質(zhì)類比猜想空間幾何體的性

質(zhì).類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推

測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.

9.答案：（I）解：第六行的所有6個數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6；

（口）解：依題意an+i=即+n（n22）,a2=2,

an=a2+（?3—a2）+（a4-a3）4---F（an—an_i）

=2+2+3+…+（n-l）=2+心產(chǎn)

121.1

**?CL——n--71+1;

n22

（皿）證明：;即垢=1,.?"?=/9/<&=2（￡一》，

?1?b2+b3+-+bn=2［（1-1+|-1+-+-；）］=2（1-；）<2.

解析：（/）根據(jù)三角形數(shù)表，兩側(cè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它

兩肩上的數(shù)之和的規(guī)律寫出來.

（〃）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)

與第二個數(shù)的和，即有即+i=冊+?1（M22）,再由累加法求解.

（〃/）由即垢=1，解得數(shù)列的通項，利用裂項法求和，即可證得結(jié)論.

本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，考查裂項法的運(yùn)用，屬于

中檔題.

10.答案：證明：(1)連接力D,貝代48是。。的直徑，4ADB=90。,

ADBF

在A/lOB和AEFB中，???BDBE=BA-BF--=—,

RARR

又乙DBA=Z^EBF,sADB—4EFB,

貝此EFB=/LADB=90°,EF1FB；

(2)在△4CB中，^ADB=/.ADE=90°

又4EFB=90。E、F,4、。四點(diǎn)共圓，

4