湖南省衡陽(yáng)市中國(guó)百?gòu)?qiáng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市中國(guó)百?gòu)?qiáng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算a*b，運(yùn)算原理如圖所示，則式子*lne2的值為(

)A．8 B．10 C．12 D．參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】先根據(jù)流程圖中即要分析出計(jì)算的類型，該題是考查了分段函數(shù)，再求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式求解函數(shù)值即可．【解答】解：該算法是一個(gè)分段函數(shù)y=，∵=4＞lne2=2，∴*lne2=4×（2+1）=12．故選：C【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖計(jì)算運(yùn)行結(jié)果是算法這一模塊的重要題型，處理的步驟一般為：分析流程圖，從流程圖中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模．2.函數(shù)的圖象大致形狀是（

）

參考答案：A3.要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像A．向右平移個(gè)單位

B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位

D．向左平移個(gè)單位參考答案：A略4.若圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在雙曲線上，且兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A．

B.

C.

D.參考答案：B5.設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x2+14x+15，數(shù)列{an}滿足an=f（n），n∈N+，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)，n=（）A．14 B．15 C．14或15 D．15或16參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意，﹣n2+14n+15≥0，得﹣1≤n≤15，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，﹣n2+14n+15≥0，∴﹣1≤n≤15，∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)，n=14或15．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生解不等式的能力，比較基礎(chǔ)．6.（5分）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f（1）的值為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】：余弦函數(shù)的奇偶性；余弦函數(shù)的圖象．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=Acosφ=0結(jié)合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得=A，結(jié)合圖象可得，函數(shù)的周期T=4，根據(jù)周期公式可得ω，從而可得f（x），代入可求f（1）．解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)∴f（0）=Acosφ=0

∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx

∵△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則=A又∵函數(shù)的周期T=2FG=4，根據(jù)周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asinx=﹣則f（1）=故選D【點(diǎn)評(píng)】：本題中的重要性質(zhì)要注意靈活運(yùn)用：若奇函數(shù)的定義域包括0，則f（0）=0；解決本題的另一關(guān)鍵是要由△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，及三角形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系得到=A，這也是本題的難點(diǎn)所在．7.某單位實(shí)行職工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名職工每星期一到星期五都要值一次夜班，且沒有兩人同時(shí)值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，從今天起B(yǎng)，C至少連續(xù)4天不值夜班，D星期四值夜班，則今天是星期幾A．二 B．三 C．四 D．五參考答案：C因?yàn)樽蛱熘狄拱啵越裉觳皇切瞧谝?，也不是星期日若今天為星期二，則星期一值夜班，星期四值夜班，則星期二與星期三至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾若今天為星期三，則星期二值夜班，星期四值夜班，則星期三與星期五至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾若今天為星期五，則星期四值夜班，與星期四值夜班矛盾若今天為星期六，則星期五值夜班，星期四值夜班，則下星期一與星期二至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾，綜上所述，今天是星期四，故選C.8.執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出S的值為A．9

B．10

C．45

D．55參考答案：D9.如圖，在△ABC中，，，，則△ABC的面積為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】過點(diǎn)分別作和的垂線，垂足分別為，結(jié)合題干條件得到為的平分線，根據(jù)角平分線定理得到，再由，結(jié)合余弦定理得到，在三角形中應(yīng)用余弦定理得到，最終求得面積.【詳解】過點(diǎn)分別作和的垂線，垂足分別為，由，得，則為的平分線，∴，又，即，解得;在中，，∴，∴.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.10.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若p∧q是假命題，則p，q都是假命題；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；③若p：x≤1，q：＜1，則￢p是q的充分不必要條件．④設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），則C=3．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】對(duì)于①，p∧q是假命題?p，q中至少有一個(gè)為假命題，可判斷①錯(cuò)誤；對(duì)于②，寫出命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定：“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，可判斷②正確；對(duì)于③，由p：x≤1，q：＜1知，￢p?q，反之，不可，可判斷③正確；對(duì)于④，依題意，由P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1）知隨機(jī)變量X的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=C對(duì)稱，由X～N（3，7）知故其圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，可判斷④正確．【解答】解：對(duì)于①，若p∧q是假命題，則p，q中至少有一個(gè)為假命題，并非都是假命題，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，故②正確；對(duì)于③，∵p：x≤1，q：＜1，則x＞1?＜1，反之不成立，即￢p是q的充分不必要條件，故③正確；對(duì)于④，∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，7），故其圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，又P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），∴隨機(jī)變量X的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=C對(duì)稱，∴C=3，故④正確．綜上，命題中真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若公比為2的等比數(shù)列{an}滿足a7=127a，則{an}的前7項(xiàng)和為

．參考答案：1【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出數(shù)列的前7項(xiàng)和．【解答】解：∵公比為2的等比數(shù)列{an}滿足a7=127a，∴，解得，∴{an}的前7項(xiàng)和為S7=?=1．故答案為：1．12.某算法的程序框如右圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是____________________________.參考答案：解析：當(dāng)x＞1時(shí)，有y＝x－2，當(dāng)x＜1時(shí)有y＝，所以，有分段函數(shù)。13.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取

名學(xué)生.參考答案：60由分層抽樣方法可得一年級(jí)抽取人數(shù)為.14.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z（1，﹣2），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=

．參考答案：1+2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z（1，﹣2），∴z=1﹣2i．則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=1+2i．故答案為：1+2i．15.若，，，則的最小值為_________．參考答案：4.【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出，化簡(jiǎn)得出，然后將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】，即，，等式兩邊同時(shí)除以得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16.若函數(shù)f（x）=在區(qū)間（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，0]．【分析】反比例函數(shù)y=的在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，要使x＜a在區(qū)間（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，那么：a≤0．在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=|x+1|的單調(diào)增區(qū)間必須在（a，+∞）內(nèi)，則a+1≥0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，則：a≤0．那么：函數(shù)f（x）=|x+1|在（a，+∞）上單調(diào)遞增，那么：a+1≥0，解得：a≥﹣1．故得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，0]．故答案為：[﹣1，0]．17.A.（不等式選講選做題）如果存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2015秋?黔東南州校級(jí)月考）設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令bn=lnan，n=1，2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設(shè){an}是公比q大于1的等比數(shù)列，由于a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，聯(lián)立解出即可得出．（II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（I）設(shè){an}是公比q大于1的等比數(shù)列，∵a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，∴6a2=a3+4+a1+3，化為6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，聯(lián)立解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．（II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=ln2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.（12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．參考答案：20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．參考答案：

略21.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一點(diǎn)．（1）求異面直線AC與B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱錐A﹣CDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得到此兩條異面直線所成的角；（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到體積．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

（1）依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），∴，∴，∴異面直線AC與B1D所成的角為．（2）設(shè)E（0，0，a），則，∵B1D⊥平面ACE，A