2021高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案2

絕密★啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x搽題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.已知集合A={x|x<l},B={x|3'<1},則

A.AnB={x|x<0}B.AU8=RC.A|JB={X|X>1}D.A[}B=<Z>

2.如圖，正方形48CZ）內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形

的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

四：若復(fù)數(shù)z滿足工eR,則zeR；

Z

P2：若復(fù)數(shù)z滿足z2eR,則zeR；

Pi:若復(fù)數(shù)zpz2滿足平2eR,則zi=z2i

pj若復(fù)數(shù)zwR，則

其中的真命題為

A.P|,，3B.P|,〃4C.〃2，P3D.PrP*

4.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若4+%=24，s&=8,則｛4｝的公差為

A.1B.2C.4D.8

5.函數(shù)/(x)在(YO,+8)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/(1)=一1,則滿足一—2)<1的x的取值范圍

是

A.[-2,2]B.C.[0,4]D.[1,3]

6.(1+」7)(1+幻6展開(kāi)式中/的系數(shù)為

X

A.15B.20C.30D.35

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,

俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

AJOB.12C.I4D.16

8.右面程序框圖是為了求出滿足3"-2">1000的最小偶數(shù)”，那么在■和^■兩個(gè)空白框中，可以分別

填入

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2

CAK1000和〃中+1

D.A<1000和n=n+2

2兀

9.已知曲線G：>-cosx9Q：^sin(2x+—),則下面結(jié)正確的是

A.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

6

線C2

7T

B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移上個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

12

線C2

1兀

C.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的上倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移乙個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

26

線C2

,1兀

D.把。上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

212

曲線C2

10.已知尸為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相垂直的直線/|,12,直線八與C交于A、8兩點(diǎn)，直

線/2與C交于￡>、E兩點(diǎn)，則|AB|+|OE|的最小值為

A.16B.14C.12D.10

11.設(shè)型為正數(shù)，且2、=3'=5"貝ij

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z〈2xD.3y<2x<5z

12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們退出了“解數(shù)

學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,

2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是2°,接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°,2',22,

依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：/V>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)事.那么該款軟件的激活碼

是

A.440B.330C.220D.110

解析：對(duì)原數(shù)列進(jìn)行如下圖數(shù)陣排列，

第1行：2°

第2行：2°2'

第3行：2°2122

第4行：2°2'2223

第〃行：2°2122...2"-'

可以求出第〃行的和為2"—1,

前〃行總和為21-1+2?—1+23—1+2,―1+…+2”—1

=21+22+23+24+...+2,,-n-2,,+|-(n+2)

第〃+1行前，項(xiàng)的和為20+2、2?+…+2'T=2'—1

因?yàn)樵摂?shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)嘉，所以存在〃和i,使得〃+2=2'—1,

因?yàn)镹>100,所以前〃+1行總項(xiàng)數(shù)」(〃+1)("+2)>100,即〃N13,〃cZ

2

取〃=13,可得，=4,

所以N=L〃(〃+l)+i+l=!xl3x(13+l)+4+l=110.

22

答案：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。，》的夾角為60。，\a\=2,|*|=b則|a+2bl=.

x+2y<l

14.設(shè)x,y滿足約束條件<2x+yN—l,則z=3x—2y的最小值為.

x-y<0

22

15.已知雙曲線C：0-與=1Q>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，人為半徑做圓A,圓A與雙曲線C

ab-

的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若/M4260。，則C的離心率為。

16.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0。。、E、產(chǎn)為圓O

上的點(diǎn)，4DBC,4ECA,△項(xiàng)8分別是以BC,CA,A8為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC,

CA,AB為折痕折起AOBC,AECA,△硒B(niǎo),使得。、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)AABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所

得三棱錐體積(單位：cn?)的最大值為。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：60分。

17.（12分）

△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,已知AA8C的面積為，一

3sinA

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求AABC的周長(zhǎng)

18.(12分)

如圖，在四棱錐中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90°

⑴證明：平面以8,平面以

⑵若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

19.（12分）

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸

（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布NQi,W）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在〃-3%/+3。）之外的零件數(shù)，求產(chǎn)（X

21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在〃-36〃+3<7）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)

程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1]6rj"""16i6~

經(jīng)計(jì)算得了=記號(hào)%=9.97,“昆畢-x)2=謖X；—16元2)2=0.212,其中H為抽取的第

i個(gè)零件的尺寸，i=l,2,…,16.

用樣本平均數(shù)亍作為n的估計(jì)值〃，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值3,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的

生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(2-33,。+33)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)幺和。(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布'(,/),則P(/L3<T<Z<"+3<7)=0.9974,0.9974,6??0.9592,70,008?0.09.

20.(12分)

已知橢圓C：—7+^-7=1(a>b>0),四點(diǎn)Pi(1,1),P2(0,1),P3(-1,~~)>尸4(1,――)中恰有三點(diǎn)

a2b-22

在橢圓C上.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,8兩點(diǎn).若直線P2A與直線乃8的斜率的和為-