福建省泉州市城南中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

福建省泉州市城南中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c﹣a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是(

)A．1 B． C． D．﹣1參考答案：A【考點】三角函數(shù)的和差化積公式．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由AC邊上的高為c﹣a，由AC=b，表示出三角形的面積，再由a，c及sinB，利用三角形的面積公式表示出面積，兩者相等列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后，根據(jù)sinB不為0，得到sinA﹣sinC=sinAsinC，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用積化和差公式變形，表示出2cossin，將所求式子平方并利用完全平方公式展開，第一、三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將表示出的2cossin代入，求出值，再由c﹣a大于0，得到C大于A，可得出的范圍，進(jìn)而確定出sin大于0，由三角形內(nèi)角和定理得到=90°﹣，得出的范圍，進(jìn)而確定出cos大于0，可得出所求式子大于0，開方即可求出值．【解答】解：∵S△ABC=acsinB=b（c﹣a），∴acsinB=b（a﹣c），利用正弦定理化簡得：sinAsinBsinC=sinB（sinA﹣sinC），∵sinB≠0，∴sinA﹣sinC=sinAsinC，∴2cossin=[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]，又cos（A﹣C）=1﹣2sin2，cos（A+C）=2cos2﹣1，∴（sin+cos）2=sin2+2sin+cos+cos2=[1﹣cos（C﹣A）]+[cos（C﹣A）﹣cos（A+C）]+[1+cos（C+A）]=1，∵c﹣a＞0，∴C＞A，∴0＜＜90°，∴sin＞0，又=90°﹣，且0＜90°﹣＜90°，∴cos＞0，∴sin+cos＞0，則sin+cos=1．故選A【點評】此題考查了三角形的和差化積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形的面積公式，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．2.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且周期為2，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=1﹣x，則函數(shù)f（x）在[0，2017]上的零點個數(shù)是（）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的奇偶性和周期性即可求出答案．【解答】解：當(dāng)f（x）=0時，x=1，此時有一個零點，∵f（x）周期為2，∴f（x+2）=f（x），∴x=3，5，7，9…均是函數(shù)的零點，∵x∈[0，2017]，∴零點的個數(shù)為=1009，故選：B．3.復(fù)數(shù)z滿足方程=﹣i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由=﹣i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1，1）．位于第一象限．故選：A．4.已知集合，，則A.[－1,6]

B.(1,6]

C.[－1,+∞)

D.[2,3]參考答案：C5.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B當(dāng)共線時，，，此時方向相同夾角為，所以要使與的夾角為銳角，則有且不共線。由得，且，即實數(shù)的取值范圍是，選B.6.給出以下四個命題：

①若，則或②若，則③若a,b全為零，則④，若是奇數(shù)，則x，y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù).那么下列說法錯誤的是

(

)

A、①為假命題

B、②的逆命題為假C、③的否命題為真

D、④的逆否命題為真參考答案：A7.命題“存在，”的否定是（

）．A．不存，

B．存在，

C．對任意，

D．對任意的，參考答案：D對于含特稱量詞的命題的否定，需將特稱量詞改為全稱量詞，同時否定命題的結(jié)論．因此命題“存在，”的否定是：“對于任意的，”．故選．8.四張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本事件總數(shù)n==6，取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)m==4，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為=．9.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】求解得到對應(yīng)點的坐標(biāo)即可判斷選項．【解答】解：復(fù)數(shù)=+．復(fù)數(shù)的對應(yīng)點的坐標(biāo)（，）在第一象限．故選：A．10.若集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，則集合A∪B=（

）A.{1,2,3,4,5,6,8} B.{2,3,4,5,6}C.{1,3,5,6,8} D.{2,4}參考答案：A.試題立意：本小題考查集合的并集運(yùn)算等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，則

__________．（用數(shù)字作答）參考答案：11212.已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標(biāo)分別為(?－1，1)和(2，2)，若直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是

．

參考答案：－3<m<－．解：即x+my+m=0與y=(x+1)+1的交點的橫坐標(biāo)>2．

∴x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．T－3<m<－．13.正六邊形的邊長為1，它的6條對角線又圍成了一個正六邊形，如此繼續(xù)下去，則所有這些六邊形的面積和是

．參考答案：在Rt△A1B1A2中，∠A1B1A2=30°，A1B1=1，∴A1A2==A2F2，又易知這些正六邊形的邊長組成等比數(shù)列，公比為，故所有所有這些六邊形的面積和==。14.(不等式選作題)若不等式的解集為，則的取值范圍為________;參考答案：略15.已知集合，，則=___________．參考答案：略16.已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是

參考答案：【知識點】函數(shù)與方程

B9解析：由，解得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.故該函數(shù)的最小值為因為該函數(shù)有零點，所以，即，解得故的取值范圍是.【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)最小值求出a的取值范圍.17.設(shè)向量的模分別為1,2，它們的夾角為，則向量與的夾角為_____．參考答案：【分析】分別求解出和，利用向量夾角的計算公式求解得到夾角余弦值，從而得到所求夾角.【詳解】又向量與的夾角為：本題正確結(jié)果：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在處取得極值．（I）求與滿足的關(guān)系式；（II）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）若，函數(shù)，若存在，，使得成立，求的取值范圍．

參考答案：21．解：（I）當(dāng)時，直線的傾斜角為，所以：解得：，所以橢圓方程是：；

……5分（II）當(dāng)時，直線：，此時，，，又點坐標(biāo)是，據(jù)此可得，，故以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6．由此猜測當(dāng)變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6．…8分證明如下：設(shè)點點的坐標(biāo)分別是，則直線的方程是：，所以點的坐標(biāo)是，同理，點的坐標(biāo)是，由方程組得到：，所以：，…………………11分從而：=0，所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6．…13分

19.如圖，四棱錐中，，，△與△都是等邊三角形．（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積．參考答案：（1）證明見解析；（2）．試題分析：（1）要證明線面垂直，就是要證線線垂直，要證與平面中兩條相交直線垂直，由平面幾何知識易得，另一條垂線不易找到，考慮到，因此在平面上的射影是的外心，從而是中點，那么可得，第二個垂直也得到了，從而證得結(jié)論；（2）棱錐的體積公式是，由（1）可知就是四棱錐的高，求出底面梯形面積，高，可得體積．∵，，∴．又，，∴．∴．考點：線面垂直的判斷，棱錐的體積．20.已知函數(shù)f（x）=在（0，+∞）存在最大值，且最大值為1．（1）求實數(shù)k的值；（2）若不等式f′（x）＞a﹣在（0，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計算題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)f′（x）=，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值并令其為1，從而解得；（2）化簡原不等式可得2lnx+ax2﹣（2a+1）x＜0，記g（x）=2lnx+ax2﹣（2a+1）x，求導(dǎo)g′（x）=，從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化恒成立問題為最值問題即可．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，由f′（x）=0得x=e1﹣k，當(dāng)x∈（0，e1﹣k）時，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e1﹣k，+∞）時，f（x）單調(diào)遞減，故f（x）的最大值為f（e1﹣k）=ek﹣1=1，所以k=1；（2）原不等式可變形為2lnx+ax2﹣（2a+1）x＜0，記g（x）=2lnx+ax2﹣（2a+1）x，g′（x）=，當(dāng)a≤0時，g′（x）≥0，即g（x）在（0，2]遞增，所以gmin（x）=g（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，解得a＞ln2﹣1，故ln2﹣1＜a≤0；當(dāng)0＜a≤時，g′（x）≥0，g（x）在（0，2]遞增，所以gmin（x）=g（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，解得a＞ln2﹣1，故0＜a≤；當(dāng)a＞時，由g′（x）＜0得＜x≤2，由g′（x）＞0得0＜x＜；所以g（x）在（0，）遞增，在（，2）遞減，故gmin（x）=g（）=﹣2lna﹣﹣2＜0，記h（a）=﹣2lna﹣﹣2（a＞），則h′（a）=＜0，h（a）＜h（）=2ln2﹣3＜0，故a＞；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a＞ln2﹣1．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．21.已知函數(shù)（），曲線在點處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.參考答案：（1）（2）見解析試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點坐標(biāo)，進(jìn)而f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得f（2016）＞f（2017），即可得到20162017與20172016的大??；（2）運(yùn)用分析法證明，不妨設(shè)x1＞x2＞0，由根的定義可得所以化簡得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要證明，，即證明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．求出k，即證，令，則t＞1，即證．令（t＞1）．求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．試題解析：（1）依題意得，所以，又由切線方程可得，即，解得此時，，令，即，解得；令，即，解得所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以，即，，.（2）證明：不妨設(shè)因為所以化簡得，可得，.要證明，即證明，也就是因為，所以即證即，令，則，即證.