2021-2022學年湖南省郴州市聯(lián)合高級中學高三數(shù)學文上學期期末試卷含解析

2021-2022學年湖南省郴州市聯(lián)合高級中學高三數(shù)學文

上學期期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知(a-i)2=2,其中i是虛數(shù)單位，a是實數(shù)，則|ai|=()

A.2B.1C.-1D..2

參考答案：

B

【考點】復數(shù)求模.

【分析】利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、模的計算公式即可得出.

【解答】解：(a-i)2=2,其中i是虛數(shù)單位，a是實數(shù)，

.??a2-l-2ai=-2i,.1.a2-1=0,-2a=-2,.,.a=l.

則|ai|=|i|=l.

故選：B.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、模的計算公式，考查了推理能力與計算

能力，屬于基礎題.

2.已知向我石的夾角為45',且FI=L忸"卜啊則同=()

(A)也(B)2(C)2及(D)3&

參考答案：

D

略

3.函數(shù)V=|x-l|+|x-2：+…+次一20111()

A.圖象無對稱軸，且在R上不單調

B.圖象無對稱軸，且在R上單調遞增

C.圖象有對稱軸，且在對稱軸右側不單調

D.圖象有對稱軸，且在對稱軸右側單調遞增

參考答案:

D

b

4.已知-2,a,,a”-8成等差數(shù)列，-2,b,,b2,b”-8成等比數(shù)列，則2等于

()

A.4B.2C.-2D.2或-2

參考答案：

B

【考點】84：等差數(shù)列的通項公式.

【分析】由已知結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質求得a?-ai、b2,則答案可求.

【解答】解：：-2,a,a”-8成等差數(shù)列，

.-8-(-2)_

...aj-aj-d=~—12,

V-2,b”b2,b;t,-8成等比數(shù)列，

Ab2=^/-2X(-8)=-4(

a2~al_-2_1

b2

故選：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質，是

基礎的計算題.

.二.二

5.已知雙曲線了-乒的右頂點、左焦點分別為A、F,點B(0,一b),

若廝+國=1就-西,則雙曲線的離心率值為()

出+15+1

(A)2(B)2(C)2(D)y/2

參考答案:

B

向+M卜因?M|得加旃=0又如,0),6(0,⑹，F(xiàn)(Y.O)

由

BA=(a.ft),BF=(-c,A)?所以有從-叱=0,即c'-a'-ac=0,從而

則，

一e-1=0

1±V514-75

g=—

解得2，又。>1,所以2,故選B.

*$ma+cosa=tan奴0<a<3),則&€

6.若2()

A.(°令

\~T?"T/\"~T?\"T?

B.64C.43D.32

參考答案:

答案：C

7.已知“正整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：

ana2\a1),(i,3M2,2).ananQ3)。2),

(4”…，則第60個數(shù)對是()

A.QQDB.(7.5)c,(5.7)D,(2.10)

參考答案：

c

8.已知定義在R上的奇函數(shù)人目滿足/(》?0=一〃由，且在區(qū)間口⑵上是減函數(shù)，

8=d)rc=iogI2

令a=l?2,<.j,則/W,/W,拉)的大小關系為()

A.B./(a)<Ac)</(&)

C./?</◎)</(◎D，(c)<，(a)"0)

參考答案：

C

???/W是R上的奇函數(shù)，且滿足拉十加一/⑸

，0=九一不)，...函數(shù)人城的圖象關于x=1對稱，

?.?函數(shù)/W在區(qū)間［U］是減函數(shù)，.?.函數(shù)/W在［-11］上為增函數(shù)，且

/(2)=/W=0；

由題知c=-l,b=2,0<a<l,,,./(^)</0?)<.

31

C

【考點】程序框圖.

111

【分析】算法的功能是求S=21+22+”.+2n的值，根據(jù)輸出的S值，確定跳出循環(huán)的n

值，從而得判斷框內的條件.

111

【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=21+22+…+2”的值，

.1嗎))

一口—U罵

VS=2=1-2=32..*.n=5,

???跳出循環(huán)的n值為5,

.?.判斷框的條件為nV5.即a=5.

故選：C.

【點評】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的

關鍵.

（X--）6

10.x的展開式中aX?的系數(shù)為（）

A.-56B.56C.-336D.336

參考答案：

A

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

x<l

，x+y+2N0

11,已知不等式組1H一,2°表示的平面區(qū)域為Q,其中k20,則當Q的面積取得最

小值時的k的值為.

參考答案：

1

略

12.在極坐標系中，點z的極坐標是（U）,點尸是曲線匕的一個動點，則

I網(wǎng)的取值范圍是.

參考答案：

[6-1點同

試題分析：將（L“）化為直角坐標是將,=化為直角坐標方程為

/-"=0,則曲線是圓心為（04）,半徑為1圓.圓心（03）到點｛I。）的距離為

“=而1=而，圓上的動點P到定點的距離的最大值為石+1;最小值為.后一1,

所以尸/的取值范圍是l/，'2-L0+”.

考點：圓的極坐標方程和直角坐標方程的互化.

smnr

13.定義在實數(shù)上的函數(shù)f(x)=Vl+x+X*的最小值是.

參考答案：

2第

14.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)

項之和為35,則這個數(shù)列的項數(shù)為；

參考答案：

1()

略

15.已知不等式(m-n)2+(m-lnn+X)2>2對任意mCR,nW(0,+co)恒成立，則實數(shù)X

的取值范圍為.

參考答案：

后2&4或仁2&J

【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】問題看作點(m,m+入)，(n,Inn)兩點的距離的平方，即為直線y=x+入和直

線y=lnx的距離的最小值，當y=Inx的切線斜率為1時，求出y=lnx在(1,0)處的切線

與y=x+X的最小值，解出即可.

【解答】解：不等式(m-n)2+(m-lnn+X)?之2對任意m￡R,nW(0,+co)恒成立，

看作點(m,m+九)，(n,Inn)兩點的距離的平方，

即為直線y=x+入和直線y=lnx的距離的最小值，

當y=lnx的切線斜率為1時,

1

y，=x=l,點（1,0）處的切線與y=x+A,平行，

11+-I

距離的最小值是<1=V2>2,

解得：后2&4或仁2a1,

故答案為：后2a1或入工2a1.

【點評】本題考查了曲線的切線方程問題，考查平行線的距離，問題轉化為直線產(chǎn)x+九和

直線y=lnx的距離的最小值是解題的關鍵，本題是一道中檔題.

16.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系“加中，曲線G的方程是/+2,/一5,

X—、國

C?的參數(shù)方程是卜一iC為參數(shù)），則G與Cz交點的直角坐標是.

參考答案：

【知識點】參數(shù)方程化成普通方程.N3

'x=V^7

（?’3,1）解析：琮的參數(shù)方程是1尸一五（t為參數(shù)），轉化成直角坐標方程為：

'29

<x+2y=5fx=±V3

x、3y2,則：〔x”=3y，解得：y=±l

'x=V3t（x>0

由于c的參數(shù)方程是1尸一人（t為參數(shù)），滿足1y<°

（x=V3

所以交點為：〔尸一i,即交點坐標為：（加，-1）,故答案為：（M,-1）

【思路點撥】首先把參數(shù)方程轉化成直角坐標方程，進一步建立方程組求出交點的坐標，

最后通過取值范圍求出結果.

17.若等差數(shù)列的前X項和為況，電+々=14,4?70,則數(shù)列SJ的通項公

式為.

參考答案:

%=立-2（"eV'）

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

如圖5,如圖，已知在四棱錐尸-"CD中，底面是矩形，24_|_平面

ABCD,￡、尸分別是為8、尸。的中點.

（I）求證：加〃平面尸成（;

（口）若尸。與平面438所成角為60?，且HD=2,4B=4,求點力到平面

尸的距離.

參考答案：

解：【法一】（I）證明：如圖，取尸。的中點。，連接

OF=-DC

由已知得0?/匕心且2,

又是的中點，則OF〃期且=

??應F是平行四邊

形.......................................................4'

：.AFHOE

又平面尸官7,平面尸友?

..工尸“平面阻(6

(II)設月平面尸月。的距離為4,

【法一】：因尸4_L平面/SCD,故/血為尸。與平面45CD所成角，所以

ZPZM=60*,

PD=--4

所以取="han60'=2jR3,,又因<8=4,后是43的中點所

以4￡=2,PE=4P'+AE，=4,

DE=W+A鏟=272.

作PHIDE于H,因陽=PE=4QE=2播，貝1j

DH=&.PH=J尸球-DH”=呵9，

則“一-xADAE=2S“z=gxPHDR=2/

2

因Pp-Mn=E'A-PBE

所以

Sw2>/3x22721

dJ=-P-A--------=，._=

S“z2幣7................................12r

【法二】因EX1平面38,故/徹為戶。與平面的。所成角，所以

NFR4=60',

PD="""=4

所以&=ADtan60'=2jR3,,又因43=4,&是的中點所

以48=2=40,PE=房'+絲’=4,DR=QDA"+AE”=2&.

作FHLDE于H,連結因處)=履=4,則月為。后的中點，故AHLDE

所以DEL平面PA/Z,所以平面P%_L平面?作幺G1尸耳于G,則,<?_1_平

面FDE,所以線段為G的長為力平面尸即的距離.

又DH=R.PH=廂二面=并,AH=4AD，_DHJ顯

所以

sPAAH273V22歷

A(J=-------==-=

PH底彳........................................................]2‘

19.如圖，在幾何體/BC-MQ中，平面4"GJ■底面Z3C,四邊形是正方形,

2x

舄G"AC.。是46的中點，且*=BC=居G乙*”T

(I)證明:峪，卒；

(II)求直線zc與平面4A舄所成角的正弦值.

參考答案：

(1)如圖1所示，連接dq.“交于"點，連接MZ

???四邊形是正方形，是zq的中點

又已知。是42的中點，...枚幺5R

又..魘GIIJC且BC=2g.枚比3

即四邊形是平行四邊形，.?.酬〃a,

圖1

(H)如圖2所示，以C為原點，CB.CQ分別為丁軸和z軸建立空間直角坐標系,

令"7=BC=2&G=2

貝/(A.L0)4伊.72”(0.2.0)國(Q.L2)

.../=伊.-1。)，A4=(有.3。)，即

設平面9號的法向量為■=（X?MZ）,則由?_1_舄4,

［道*-2y=0

可得：1，一打=0，可令,=25，則x=4.z=狀,

.?.平面加叫的-個法向量?=（4?班道）

.=單=￥=典

則雨訪31

設直線加與平面42星所成角為a,

20.（14分）

如圖，四棱錐尸-北⑵中，E4,底面用8,PCLAD.底面用CO為

梯形，ABUDC,ABLBC.PA=AB=BC,點、E在棱PB上,且PE=2BB.

（.I）求證：平面243J_平面尸B；

（II）求證：尸?！ㄆ矫娣?C；

cm）求二面角幺-xc-P的大小.

參考答案：

解析：證明：（I）?.?必_L底面/比〃

：.PA1BC.

又AB1BC,PAC\AB=A,

平面248.2分

又6Cu平面尸C5,

平面尸/8_L平面尸C5.4分

(II)底面/8G9,

為所在平面ABCD內的射影.

又,：PC工AD,

：.ACVAD.

5分

ccNBAC=N

在梯形MCD中，由48,優(yōu)；A斤BC,得4,

^CA=ABAC=-

：.4.

又故皿。為等腰直角三角形.

.DC=&AC?夜卜2AB

DMDC、

=乙

連接30,交4c于點M,則珈457分

PEDM.

-----=------=2

在尸。中，EBMB,

J.PDHEM

又血平面以C,硼u平面口C,

.?.勿〃平面

EAC.

9分

(III)在等腰直角△口3中，取尸8中點N,連結期，則幺VJ■尸8.

?.?平面月48j_平面尸C5,且平面248口平面PCS=M,

.?.皿_L平面產(chǎn)8C.

在平面尸8c內，過州作N?/_L直線C&于H,連結⑷/,由于NH是⑷/

在平面CE3內的射影，故⑷/1CE.

就是二面角―尸的平面

角.12分

在Ri乂〉BC中,設C8=a,則戶8==缶，

BE=-PB=—aNE=-PB=—aCB=>JCB^+BE2=—

33,66,3

由M￥_LCff,EB_LC3可知：hNEHshCEB,

NH_CB

：.1^E~CE

NH='

代入解得：屈.

cAN=—atanJ//2/=—=>/U

在出。//從中，2,.?.NH^13

分

即二面角1——P的大小為

arctanVTi.14分

解法二:

（II）以工為原點，.，,尸所在直線分別為了軸、Z軸，如圖建立空間直角坐

標系.

^PA=AB=BC^a,則4。,。.。），雙帽網(wǎng),戶（。，。㈤,

5分

設。（冬乂°）,則

CP={-a-a,a),AD=(a,y,^}f

-CPLAD,

2

：tCPAD=-a-ay=Q,解得：尸=一4.

DC=2AB.

連結5。，交4C于點M,

DM，=—DC=/、

則位AB.7分

PEDM

在A6PD中，EBMB,

：.PDffEM.

又加平面EAC,WU平面EAC,

.?.陽〃平面

（III）設修=（*//）為平面反的一個法向量，則為?忿,

"+@=0.

x=-/=—

解得：22,

11分

設?=（x\y'，1）為平面EBC的一個法向量，則叼B(yǎng)C.叼_LBE,

ax'=O.

'-ay'a

----+-=u,

又而?公°⑼，融?他9皂.?33

解得：x'=o.y=i,

/.na=(O.L1).

2分

叫叫男

8$〈陽./〉=

KIN"6.

13分

二面角］一龍一p的大小為

arccos一

6.14

分

21.（12分）設函數(shù)/（x）=*'+K-alnx

（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，1和為是函數(shù)了口）的兩個不同零點，且

Xo€（?,?+1）.?€求力。

（2）若對任意》6卜2.-1［都存在xe（l,e）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得了“）＜0成

立，求實數(shù)a的取值范圍。

參考答案：

y*（K）=2l--+b-yvV=2+b=0

（I）X,是函數(shù)/（x）的極值點，2「.T是函數(shù)

/U）的零點，得/（1）=1+g0,

4-0.

由i+b-a解得

在6,_2?-r-6_（2r^3Xx-2）

令"）XXXxn,"◎+?）,得X＞2；令

/。）＜0得0。＜2,

所以/（x）在（0,2）上單調遞減;在（2,阿

上單調遞增.

故函數(shù)/（X）至多有兩個零點，其中l(wèi)€（0.2）.x,€（2.+8）,

因為八2）＜川）?0,八3卜6（l-ln3）＜0

所以而武3”故….

（H）令g°）=必+P-alnx,2.1],則gG）為關于3的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根

據(jù)題意，對任意都存在me）,使得/（?「）＜°成立，則

g（k=g（-l）~^-x-alnx＜0在（Le）h有解，

令力（x）-?-x-ahx,只需存在三tQe）使得M%）＜0即可，

..a2?-x-a

由于妝』-七.

令破a一2/-x-ax€（Lc）,歹（x）.4x_l＞0,

.?尸（X）在（1,e）上單調遞增，貝。＞貝1）=1-巴

①當1-C0,即Ml時，況r）＞0,即力TD＞0,力（r）在（1,e）上單調遞增，

...力⑴辦。）=口，不符合題意.

②當即時，貝l）=l-a＜。，^）?2^-e-a

若則貝e）＜。，所以在（1,e）上貝D＜0恒成立，即力'E＜0恒成立，

.?.MQ在（1,e）上單調遞減，

二存在QG(LC?