泰勒展開定理匯總課件

泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor1685-1731英國泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor1685-1731142246420246觀察sinx與一個多項式函數(shù)f(x)42246420246觀察sinx與一個多項式函數(shù)f242246420246422464202463問題的提出（如下圖）以平直代曲以切直代曲問題的提出（如下圖）以平直代曲以切直代曲4泰勒展開定理匯總課件5不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.6分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好17泰勒展開定理匯總課件8泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理9證明:證明:10泰勒展開定理匯總課件11泰勒展開定理匯總課件12拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項用于極限計算拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項用于極限計13麥克勞林(Maclaurin)公式Maclaurin公式是Taylor中值定理的特殊形式，但卻是獨立于Taylor中值定理并且遲于它被提出來的。Maclaurin1698-1746英國麥克勞林(Maclaurin)公式Maclau14注意:3.凡是用一元微分學中的定理、技巧能解決的問題，大部分都可以用Taylor定理來解決。掌握了Taylor定理以后，回過頭來看前面的那些理論，似乎一切都在你的掌握之中了，你或許會有一種“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感覺！從這個意義上來講，說“Taylor定理是一元微分學的頂峰”并非妄言。注意:3.凡是用一元微分學中的定理、技巧能解決的問題，大15Taylor公式Maclaurin公式Taylor公式Maclaurin公式16簡單的應用解代入公式,得簡單的應用解代入公式,得17由公式可知估計誤差其誤差由公式可知估計誤差其誤差18泰勒展開定理匯總課件19對于我們初學者來說，在給出函數(shù)的Taylor展開式或者Maclaurin展開式時，我們要知道有一個余項存在，也就是說一個一般的函數(shù)不與一個n

次多項式函數(shù)完全相等，兩者有些差別，差別用余項來體現(xiàn)。但是余項具體的表達式我們現(xiàn)在可以不用考慮太多。比如，給出函數(shù)的Maclaurin展開式對于我們初學者來說，在給出函數(shù)的比如，給出函數(shù)20常用簡單函數(shù)的麥克勞林公式常用簡單函數(shù)的麥克勞林公式21可以注意到，正弦函數(shù)是一個奇函數(shù)，所以的Maclaurin展開的表達式中只有x的奇數(shù)次方項，并且所以我們可以通過這種方式來很快捷地掌握的Maclaurin展開式可以注意到，正弦函數(shù)是一個奇函數(shù)，所以的22所以，我們可以得到用n次多項式來近似表示正弦、余弦函數(shù)的近似計算結果，而且可以看到，隨著n的增大，近似效果就越來越好，x的取值范圍就可以隨之而擴大。所以，我們可以得到用n次多項式來近似表示正弦、余弦函數(shù)的近似23播放播放24泰勒展開定理匯總課件25泰勒展開定理匯總課件26泰勒展開定理匯總課件27泰勒展開定理匯總課件28泰勒展開定理匯總課件29所以，有一個公式就可以想象并得到其它的幾個公式。所以，有一個公式就可以想象并得到其它30例2

解這就是所謂的“間接展開”。例2解這就是所謂的“間接展開”。31泰勒展開定理匯總課件32泰勒展開定理匯總課件33泰勒展開定理匯總課件34泰勒展開定理匯總課件35泰勒展開定理匯總課件36解例3

解例337麥克勞林(Maclaurin)公式麥克勞林(Maclaurin)公式38Taylor公式Maclaurin公式Taylor公式Maclaurin公式39對于我們初學者來說，在給出函數(shù)的Taylor展開式或者Maclaurin展開式時，我們要知道有一個余項存在，也就是說一個一般的函數(shù)不與一個n

次多項式函數(shù)完全相等，兩者有些差別，差別