數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的若干問題喻平 優(yōu)秀

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的若干問題喻平南京師范大學(xué)一、學(xué)科核心素養(yǎng)提出的背景（一）課程改革的回顧樹立了“為了每個學(xué)生的發(fā)展、著眼學(xué)生的終身發(fā)展”的課程理念；建立了注重基礎(chǔ)性、時代性、選擇性的課程設(shè)置原則；十年課程改革的貢獻與成就形成了自主、合作、探究等多樣的教學(xué)方式；實現(xiàn)了多元化的課程體系建構(gòu)；綜合素質(zhì)評價、學(xué)業(yè)水平考試等考試招生評價制度的改革；建立了以校為本，注重教研，提升教師專業(yè)發(fā)展的培訓(xùn)體系。配套性：政策、制度、經(jīng)費、條件……適切性：地區(qū)、學(xué)校差異……有效性：教學(xué)方式轉(zhuǎn)變、課程管理與監(jiān)督

……科學(xué)性：模塊的劃定、難度、容量……操作性：課程標(biāo)準(zhǔn)、綜合素質(zhì)評價、綜合實踐活動、通用技術(shù)……主要問題：（二）課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的依據(jù)統(tǒng)籌小學(xué)、初中、高中、本?？?、研究生等學(xué)段（包括職業(yè)院校）。進一步明確各學(xué)段各自教育功能定位，理順各學(xué)段的育人目標(biāo)，使其依次遞進、有序過渡。統(tǒng)籌各學(xué)科。充分發(fā)揮人文學(xué)科的獨特育人優(yōu)勢，進一步提升數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)等課程的育人價值。加強學(xué)科間的相互配合，發(fā)揮綜合育人功能，不斷提高學(xué)生綜合運用知識解決實際問題的能力。統(tǒng)籌課標(biāo)、教材、教學(xué)、評價、考試等環(huán)節(jié)。全面發(fā)揮課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)領(lǐng)作用，協(xié)同推進教材編寫、教學(xué)實施、評價方式、考試命題等各環(huán)節(jié)的改革，使其有效配合，相互促進。統(tǒng)籌一線教師、管理干部、教研人員、專家學(xué)者、社會人士等力量。圍繞育人目標(biāo)，協(xié)調(diào)各支力量，形成育人合力。統(tǒng)籌課堂、校園、社團、家庭、社會等陣地。任務(wù)1：研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系根據(jù)學(xué)生的成長規(guī)律和社會對人才的需求，把對學(xué)生德智體美全面發(fā)展總體要求和社會主義核心價值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化，深入回答“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人”的問題。研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。

——突出強調(diào)個人修養(yǎng)、社會關(guān)愛、家國情懷；

——更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實踐。任務(wù)2：研究制訂學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究制訂中小學(xué)各學(xué)科學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生完成不同學(xué)段、不同年級、不同學(xué)科學(xué)習(xí)內(nèi)容后應(yīng)該達(dá)到的程度要求，指導(dǎo)教師準(zhǔn)確把握教學(xué)的深度和廣度，使考試評價更加準(zhǔn)確反映人才培養(yǎng)要求。各級各類學(xué)校要從實際情況和學(xué)生特點出發(fā)，把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實到各學(xué)科教學(xué)中。課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)任務(wù)3：修訂課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)

依據(jù)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，進一步明確各學(xué)段、各學(xué)科具體的育人目標(biāo)和任務(wù)，完善高校和中小學(xué)課程教學(xué)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)。指導(dǎo)思想：努力構(gòu)建堅持立德樹人方向、遵循教育規(guī)律、富有時代精神、具有中國特色、體現(xiàn)國際發(fā)展趨勢的普通高中課程體系。修訂原則：

以人為本、深化改革、科學(xué)設(shè)計、綜合統(tǒng)籌。學(xué)制：三年課時：每學(xué)年41周（教學(xué)+社會實踐）；周35課時；每課時45分鐘；

18課時為1學(xué)分。

結(jié)構(gòu)：必修、選修Ⅰ、選修Ⅱ——必修：共同基礎(chǔ)。（全修全考，畢業(yè)標(biāo)準(zhǔn)）

（三）高中課程標(biāo)準(zhǔn)框架——選修Ⅰ：根據(jù)個人需求和升學(xué)考試要求選修，由國家根據(jù)學(xué)生專業(yè)傾向和個性發(fā)展需要設(shè)置。（選修選考）——選修Ⅱ：自主選修，包括國家在必修與選修Ⅰ基礎(chǔ)上設(shè)置的拓展、提高性課程和校本課程。（學(xué)而不考、學(xué)而備考或?qū)W而助考）目前修訂中的突破：核心素養(yǎng)為綱，學(xué)科核心素養(yǎng)貫穿始終；體現(xiàn)新時期高中教育定位，體現(xiàn)課程的基礎(chǔ)性、時代性、選擇性；以問題為導(dǎo)向，以適應(yīng)未來為起點；將學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)嵌入課標(biāo)，與高考密切銜接；引領(lǐng)、推進教學(xué)方式的變革。每個模塊都由內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)提示、學(xué)業(yè)要求組成，典型案例插入。學(xué)業(yè)水平將細(xì)化學(xué)習(xí)結(jié)果的要求，教學(xué)、評價指向更為明確素養(yǎng)1素養(yǎng)2素養(yǎng)3素養(yǎng)……水平1水平2水平3水平4水平5畢業(yè)要求高考要求自主招生等其他（四）核心素養(yǎng)框架公布總體框架中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學(xué)性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面。綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細(xì)化為國家認(rèn)同等十八個基本要點。根據(jù)這一總體框架，可針對學(xué)生年齡特點進一步提出各學(xué)段學(xué)生的具體表現(xiàn)要求。人文積淀人文底蘊人文情懷文化基礎(chǔ)審美情趣理性思維科學(xué)精神批判質(zhì)疑勇于探究樂學(xué)善學(xué)學(xué)會學(xué)習(xí)勤于反思自主發(fā)展信息意識珍愛生命健康生活健全人格自我管理社會責(zé)任責(zé)任擔(dān)當(dāng)國家認(rèn)同社會參與國際理解勞動意識實踐創(chuàng)新問題解決技術(shù)運用一是通過課程改革落實核心素養(yǎng)?；趯W(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的頂層設(shè)計，進一步明確各學(xué)段、各學(xué)科具體的育人目標(biāo)和任務(wù)，加強各學(xué)段、各學(xué)科課程的縱向銜接與橫向配合。二是通過教學(xué)實踐落實核心素養(yǎng)。改變當(dāng)前存在的“學(xué)科本位”和“知識本位”現(xiàn)象。三是通過教育評價落實核心素養(yǎng)。建立基于核心素養(yǎng)的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，明確學(xué)生完成不同學(xué)段、不同年級、不同學(xué)科學(xué)習(xí)內(nèi)容后應(yīng)該達(dá)到的程度要求。不同的聲音二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，這個定義應(yīng)當(dāng)從兩個維度來理解。其一，“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。這是指學(xué)生自身發(fā)展應(yīng)具備的素質(zhì)需求，具有個體性質(zhì)。其二，“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。這是指學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)社會發(fā)展的素質(zhì)要求，具有社會性質(zhì)。（一）高中課程總目標(biāo)通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生作為現(xiàn)代社會公民所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進學(xué)生自主、全面、可持續(xù)地發(fā)展。（1）獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。（2）提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實、一絲不茍的科學(xué)精神；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和人文價值。（3）逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。增強創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。（二）高中課標(biāo)修訂組提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分1.數(shù)學(xué)抽象內(nèi)涵：數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。價值：數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好的理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習(xí)慣；能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡，理解該學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征。2.邏輯推理內(nèi)涵：邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，推理形式主要有演繹推理。價值：邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。邏輯推理是數(shù)學(xué)交流的基本品質(zhì)，使數(shù)學(xué)交流具有邏輯性。目標(biāo)：通過邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和提出命題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系；能夠理解一般結(jié)論的來龍去脈、形成舉一反三的能力；能夠形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和交流能力。3.數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決問題的過程。具體表現(xiàn)為：在實際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果、改進模型，最終得到符合實際的結(jié)果。價值：數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的外部驅(qū)動力。目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)建模的過程，積累用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)實際問題的經(jīng)驗，提升應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識。4.數(shù)學(xué)運算內(nèi)涵：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果。價值：運算是構(gòu)成數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的基本要素，是演繹推理的重要形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。數(shù)學(xué)運算是計算機解決問題的基礎(chǔ)。目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠提高解決實際問題和數(shù)學(xué)問題的能力，提升邏輯推理的能力，形成程序化思考問題的習(xí)慣，養(yǎng)成實事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。5.直觀想象內(nèi)涵：直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題。主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。價值：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、分析和理解數(shù)學(xué)命題、探索和形成論證思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素。目標(biāo)：通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。6.數(shù)據(jù)分析內(nèi)涵：數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊含的結(jié)論。價值：數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學(xué)研究的各個方面。數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)代公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素質(zhì)。目標(biāo)：通過數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，提升基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的能力，積累在錯綜復(fù)雜的情境中探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的經(jīng)驗。反思（見何小亞教授的文章）（三）我們的一項研究一般說來，各學(xué)科核心素養(yǎng)成分的確定多是由一批專家綜合各方面意見討論而定，這種基于思辨的研究有一定缺陷，應(yīng)當(dāng)結(jié)合實證方法加以探索或驗證。我們對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)開展實證研究，提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分。1.研究的基本思路（1）通過理論分析，采用專家討論的方法，初步析取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分。（2）根據(jù)初步析取的基本成分，編制數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問卷，選取小樣本進行預(yù)測，修訂問卷；（3）以中小學(xué)骨干教師為對象，采用大樣本測試收集數(shù)據(jù)；（4）用統(tǒng)計方法作因子分析和聚類分析，提取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本成分。2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初步析取

概念界定：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。2.1選擇數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù)擬定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)與數(shù)學(xué)教育價值兩個方面考慮。首先，從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)角度考察。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家從不同視角觀察數(shù)學(xué)，提出了若干不同的認(rèn)識和見解（見表1）。對這些觀點作進一步梳理，宏觀上可以把數(shù)學(xué)的本質(zhì)概括為兩個大的方面，即數(shù)學(xué)的科學(xué)特質(zhì)和數(shù)學(xué)的文化特質(zhì)。數(shù)學(xué)的科學(xué)特質(zhì)表現(xiàn)為除了有科學(xué)的本性外學(xué)還具有數(shù)學(xué)本身的特性，數(shù)學(xué)本身特性可以用幾個關(guān)鍵詞刻畫：抽象、邏輯、結(jié)構(gòu)、模式、數(shù)據(jù)、直覺。

數(shù)學(xué)的文化特質(zhì)指數(shù)學(xué)的文化元素表現(xiàn)出來的特別性質(zhì)。數(shù)學(xué)既是科學(xué)又是一種文化，數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)價值觀和數(shù)學(xué)審美。其次，從數(shù)學(xué)教育的價值維度分析。歐內(nèi)斯特從教育觀念層面將數(shù)學(xué)教育分為五種類型：嚴(yán)格訓(xùn)導(dǎo)派，技術(shù)實用主義，舊人文主義，進步教育派，大眾教育派。這五種流派反映了對數(shù)學(xué)教育價值的不同解讀。總結(jié)各家論點，數(shù)學(xué)教育的價值在于：掌握數(shù)學(xué)知識，形成基本數(shù)學(xué)技能，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)學(xué)工具，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神，傳承數(shù)學(xué)文化。2.2提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要素根據(jù)上面的分析，我們組織部分師范大學(xué)從事數(shù)學(xué)教學(xué)論研究的專家討論，提出與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相關(guān)的17個要素。這17個元素，涵蓋了數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)品格。17種要素的名稱及涵義2.3量表制作對初步析取的17個因素設(shè)計調(diào)查問卷。作X1，X2，……，X17分別表示17個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本元素，問卷采用Likert量表7點記分，要求被試對每一個問題根據(jù)自己的理解，判斷每一個要素與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的接近程度并在相應(yīng)位置作出選擇。數(shù)字7表示最接近，數(shù)字1表示最不接近。同時，在全卷最后有一個開放性問題：除了上面表中的內(nèi)容外，您認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)還應(yīng)當(dāng)有哪些要素？選取江蘇省90名被試，對量表進行預(yù)測。90名被試包括35名數(shù)學(xué)教育專業(yè)的在校研究生，55名江蘇省中學(xué)教師，其中高中教師30名，初中教師25名。對預(yù)測結(jié)果作了兩個方面的數(shù)據(jù)分析。（1）對各題項與總量表進行相關(guān)分析，若題項與總量表的相關(guān)沒有達(dá)到顯著性水平(p＜0.05)，表明此題項須剔除。結(jié)果見表3。從表3可以看出，應(yīng)當(dāng)刪除題項2，即X2：數(shù)學(xué)概括能力。修訂后的量表由16個項目組成。（2）對修訂后的量表進行信度分析，計算Cronbach's系數(shù)，其值為0.642，量表有較高的信度。3.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的驗證性因子分析3.1被試選擇正式施測選擇的被試來自10個省，對象包括高中、初中和小學(xué)數(shù)學(xué)教師，由兩類人員組成：在讀研究生，“國培”教師成員。選擇這兩類人員進行調(diào)查，是考慮到他們均具備一定的理論或?qū)嵺`知識，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有個人的認(rèn)識和理解，因而樣本有一定的代表性。

具體地，福建21名，河南67名，廣東33名，廣西52名，湖北71名，湖南88名，江蘇191名，江西40名，內(nèi)蒙30名，山西198名，浙江31名，山東204名。其中江蘇的被試包括參加預(yù)測90人，后面的數(shù)據(jù)統(tǒng)計把這90個被試的預(yù)測數(shù)據(jù)作為正式測試數(shù)據(jù)。全體被試人數(shù)為1026，樣本量較大。3.2描述性數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計結(jié)果。計算16個項目得分的基本數(shù)據(jù)，結(jié)果見表3。3.3因素分析結(jié)果對16個項目的數(shù)據(jù)進行因子分析，目的是找到綜合能力成分和公共因素。表5反映了KMO和Bartlett檢驗結(jié)果，數(shù)據(jù)顯示，KMO抽樣適當(dāng)性參數(shù)值為0.904，p＜0.001，df=120，卡方值4382.043，說明16個變量之間不是獨立的，因而可以進行因素分析。表5由表6可以看到，其特征根只有3個大于1，所以只提取3因子，這3個因子在碎石圖（圖1）的坡上。圖1數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)因素碎石圖旋轉(zhuǎn)成分矩陣數(shù)據(jù)顯示，因子1在諸多項上都有較大負(fù)荷，因此可以認(rèn)為因子1是較全面反映各項能力的綜合指標(biāo)。其中在因子1上有較大負(fù)荷的是X1，X3，X4，X5，X7，X10，X11，即數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運算能力、邏輯推理能力、合情推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、直觀想象能力，這些項目均可考慮作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要素。

在因子2上負(fù)荷較大的X6：數(shù)學(xué)交流能力，X8：數(shù)學(xué)閱讀能力，X9：數(shù)學(xué)變換能力，X12：數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，X13：數(shù)學(xué)解題能力，X14：對數(shù)學(xué)的認(rèn)識信念。這些項目的共同屬性是對數(shù)學(xué)的理解并用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實問題的能力，可以將因子2命名為數(shù)學(xué)問題解決能力。在因子3上負(fù)荷較大的項目是X15：數(shù)學(xué)的思考問題，X16：數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，X17：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，這3個項目的共同屬性是在文化層面對數(shù)學(xué)的理解，因此可以命名為數(shù)學(xué)文化品格。3.4聚類分析結(jié)果在上面的因子分析中，從因子1析取了7個項目，進一步對因子1的7個項目進行聚類分析，合并一些項目之后提取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本成分。表8中聚類過程的輸出。表9是分為6類的結(jié)果，只有X3和X4歸為一類，即邏輯推理能力和合情推理能力合并為一類，雖然這兩種推理在思維方面有所差異，但均屬于數(shù)學(xué)推理，因此兩種推理合并后命名為推理能力。其余各項獨自屬于一類，這樣得到因子1的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分為6個：數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運算能力、數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力。分為6類顯得因素比較多，如果我們把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)綜合指標(biāo)分為5類，那么從圖2的結(jié)果可以看到，X7與X10應(yīng)當(dāng)合并為一類，即數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析能力應(yīng)當(dāng)合為一類，可命名為建模與數(shù)據(jù)分析能力。這樣，因子1中得到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為5個：數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運算能力、數(shù)學(xué)推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力。圖2聚類分析冰柱圖4.研究結(jié)論（1）通過因子分析和第一種標(biāo)準(zhǔn)的聚類分析，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、運算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格等8種成分組成。（2）通過因子分析和第二種標(biāo)準(zhǔn)的聚類分析，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、運算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格等7種成分組成。三、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)思考（一）核心素養(yǎng)與三維目標(biāo)的關(guān)系仔細(xì)分析，三維目標(biāo)的提法本身存在一些問題，主要是三個目標(biāo)各自的理論基礎(chǔ)是不相同、不協(xié)調(diào)的。三個目標(biāo)受到三種理論的支撐。知識與技能過程與方法情感態(tài)度價值觀行為主義認(rèn)知主義人本主義問題出在將三維目標(biāo)作為并列的要素看待，元素并列就會顯示出各自的獨立性，實現(xiàn)這三個目標(biāo)就成了各自相對獨立的行為，在達(dá)成各自目標(biāo)的教學(xué)操作中，會受到三種不同理論的相互干擾。我們認(rèn)為，三維目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是分層次的，“知識與技能”是最低層面，而“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”在上位層面，這種關(guān)系可以用核心素養(yǎng)概念統(tǒng)一整合。目標(biāo)分層，不同目標(biāo)層面的理論基礎(chǔ)之間不會相互作用，同時實現(xiàn)目標(biāo)的途徑會更加清晰。關(guān)于核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和結(jié)構(gòu)，李藝等提出了一個三層架構(gòu)（如圖）。

雙基層

問題解決層

學(xué)科思維層第一層是“雙基”，以基礎(chǔ)知識和基本技能為核心；第二層是“問題解決”，以解決問題過程中所獲得的基本方法為核心；第三層是“學(xué)科思維”，指在系統(tǒng)的學(xué)科學(xué)習(xí)中通過體驗、認(rèn)識及內(nèi)化等過程逐步形成的相對穩(wěn)定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀，實質(zhì)上是初步得到學(xué)科特定的認(rèn)識世界和改造世界的世界觀和方法論。其中“雙基”層最為基礎(chǔ)，學(xué)科思維層最為高級，而問題解決層發(fā)揮著承上啟下的作用。從上到下或從下到上，三個層面遵循“向下層層包含，向上逐層歸因”的規(guī)則，相互依托，又相互歸屬。這種結(jié)構(gòu)在一定程度厘清了三維目標(biāo)的關(guān)系，“知識與技能”屬于“雙基層”，“過程與方法”主要屬于“問題解決層”，“情感態(tài)度與價值觀”主要屬于“學(xué)科思維層”，當(dāng)然，按此定義，核心素養(yǎng)的內(nèi)涵比三維目標(biāo)更加豐富。將三維目標(biāo)整合到核心素養(yǎng)的框架中，于是，各學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)可以表述為：通過掌握基礎(chǔ)知識、形成基本技能，體悟知識產(chǎn)生的過程、掌握學(xué)科思維方法，樹立優(yōu)良的情感態(tài)度和正確的價值觀，使學(xué)生在某某學(xué)科核心素養(yǎng)方面得到發(fā)展，達(dá)到某某學(xué)科必備的核心素養(yǎng)水平。（二）基于“雙基層面”的教學(xué)特征分析“雙基層面”的教學(xué)注重知識傳承或知識理解，把知識的傳承作為教學(xué)任務(wù)，把知識的理解作為學(xué)習(xí)目標(biāo)，把知識量的貯存作為評價的指標(biāo)，其教學(xué)特征表現(xiàn)為如下幾個方面。1.偏重傳承知識而忽視滲透文化其一，知識與文化的分離。只看到知識，看不到創(chuàng)造知識的人及其蘊含知識的整個文化。事實上，知識是部分，文化是整體；知識是文化的結(jié)晶，文化還包含著創(chuàng)造知識的源泉；知識往往歸于靜態(tài)的邏輯，而文化還包含著動態(tài)的歷史過程。知識往往歸于靜態(tài)的邏輯，而文化還包含著動態(tài)的歷史過程；在知識中往往看不到人及其作用，文化則永遠(yuǎn)將人及其創(chuàng)造性置于中心地位。其二，教書與育人的分離。教師只重視書本知識的傳授，而忽視對人的充分培養(yǎng)。其三，讀書與做人的分離。學(xué)生只關(guān)注書本知識的學(xué)習(xí)和考試，忽視綜合素質(zhì)的提高。2.偏重接受知識而忽視創(chuàng)新知識教學(xué)中只關(guān)注知識的結(jié)果，結(jié)果的傳遞是教學(xué)的主要形式，把知識產(chǎn)生的過程和發(fā)展脈絡(luò)置于教學(xué)場景之外。從亞里士多德到現(xiàn)代主義，經(jīng)歷了包括經(jīng)驗主義、理性主義、實用主義、邏輯實證主義等不同知識觀的演繹，人們對知識的敬畏和膜拜，對“知識就是力量”的信奉，在人們心目中牢固樹立了知識傳承、慧脈延續(xù)的信念。另一方面，為了實現(xiàn)更有效的知識傳授，心理學(xué)家鉆研學(xué)習(xí)的本質(zhì)和教學(xué)程式，特別是行為主義心理學(xué)，把學(xué)習(xí)解釋為刺激與反應(yīng)地聯(lián)結(jié)，由此提出一系列學(xué)習(xí)律和學(xué)習(xí)行為評價方法，為知識教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)和實踐層面的操作程序。3.偏重理論知識而忽視實踐知識偏重知識理論價值的教學(xué)觀，是以邏輯實證主義認(rèn)識論為基礎(chǔ)的，持絕對主義科學(xué)觀，歐內(nèi)斯特將它歸結(jié)為“舊人文主義”。這種教學(xué)結(jié)構(gòu)把教學(xué)內(nèi)容圈定在學(xué)科內(nèi)部，割斷學(xué)科知識與其他學(xué)科的聯(lián)系，將理論知識的現(xiàn)實應(yīng)用排斥在學(xué)習(xí)之外，理論知識與實踐知識成為兩個獨立的范疇。造成的結(jié)果是學(xué)科知識過度挖掘，考試題目越編越離奇，學(xué)生的實踐能力卻幾近喪失。4.偏重顯性知識而忽視隱性知識顯性知識主要包含在顯性課程資源中，隱性知識主要包含在隱性課程資源中。知識傳承教學(xué)范式主要開采的是顯性課程資源，特別是對外顯素材性資源的畸形開發(fā)，以解題訓(xùn)練為主的資料大量堆積在學(xué)生的課桌上，形成了浩瀚無邊的“題海”，囿于學(xué)科圈內(nèi)的知識演繹，學(xué)科知識的無休止組合、疊加、變式，在學(xué)科內(nèi)容生成無窮的問題，這些問題本質(zhì)上并不是在創(chuàng)造新的知識，而是對已有概念、命題的重新組合，產(chǎn)出的題目趆來趆難。去情境化，缺乏學(xué)科之間的相互融通，人工構(gòu)造問題的痕跡嚴(yán)重，知識教學(xué)走入了一種怪圈。5.重證實性知識忽視證偽性知識教材編制和教師的教學(xué)操作采用的都是對知識的證實模式，通過對知識的證實來讓學(xué)生接受。一直以來從教材設(shè)計到教學(xué)實踐再到教學(xué)論的思辨，都是從教材羅列的事實出發(fā)，以教師自身為主體，采用證實手段使學(xué)生得到真理，遵守的是一種由證實去求是的規(guī)則，從理論到實踐都恪守“證實-求是”的教學(xué)范式。這種具有強加意念的認(rèn)識方式，結(jié)果造成教學(xué)目標(biāo)的偏失和教學(xué)功能的削弱。（三）發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)策略1.知識教學(xué)與文化教學(xué)相結(jié)合第一，要正確認(rèn)識知識與文化的關(guān)系。知識是部分，文化是整體，文化教育涵蓋了知識教育，兩者本身是沒有矛盾的。第二，教育是以知識教育為核心的文化教育。案例1：將數(shù)學(xué)史融入角平分線的教學(xué)案例2：同類項概念的教學(xué)2.結(jié)果性知識與過程性知識相結(jié)合指向核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)，就是要摒棄單純的知識結(jié)果教學(xué)格式，將知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程嵌入教學(xué)的過程之中，過程與結(jié)果相互整合、相得益彰。案例3：冪函數(shù)的教學(xué)設(shè)計方案1：（1）冪函數(shù)的定義：函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是常數(shù)。（2）討論函數(shù)的定義域。（3）給出一組正例進行強化。（4）由函數(shù)的圖像討論函數(shù)的性質(zhì)。（5）舉例。（6）練習(xí)。這個設(shè)計，基本上突出的是雙基，要學(xué)生理解冪函數(shù)的概念，會利用冪函數(shù)的概念解決基本的問題。教學(xué)中只是注重知識的結(jié)果，沒有對知識產(chǎn)生的過程作出交待?！倪M教學(xué)方案：（1）給出一組實例，讓學(xué)生觀察它們的共同屬性。（2）概括、歸納出冪函數(shù)的定義。（3）討論函數(shù)的定義域。（4）作出上述函數(shù)的圖像，并觀察它們的特征和規(guī)律，從中概括出冪函數(shù)的性質(zhì)。（5）舉例。（6）練習(xí)。3.學(xué)科性知識與實踐性知識相結(jié)合把某一學(xué)科內(nèi)部的知識稱為學(xué)科性知識，與該學(xué)科知識相關(guān)的其他學(xué)科知識或與該學(xué)科相關(guān)的現(xiàn)實生產(chǎn)生活知識稱為實踐性知識。指向核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)，就是要走出學(xué)科性知識教學(xué)的圍欄，將實踐性知識融入教學(xué)的過程之中，學(xué)科性知識與實踐性知識相互滲透、共同作用。案例4：二次函數(shù)應(yīng)用問題4.外顯性知識與內(nèi)隱性知識相結(jié)合內(nèi)隱性知識指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識。包括知識的文化元素、知識的過程元素、知識的邏輯元素、知識的背景元素等。內(nèi)隱素性知識是一種客觀存在的知識，它是被外顯知識所包裹的知識內(nèi)核。數(shù)學(xué)材料背景知識數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)邏輯知識外顯的結(jié)果性知識過程性知識對知識產(chǎn)生的體驗對知識發(fā)展的體驗對知識結(jié)果的體驗對知識應(yīng)用的體驗知識的引申與拓展案例5：等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。問題1：已知：AB＝AC，P是BC邊的中點。求證：PF＝PE。ABCPEFABCPEFABCPEFABCPEFBCFA問題2：△ABC中，AB＝AC，P是底邊上一點，PF⊥AC，PE⊥AB。則PE＋PF＝常數(shù)。問題3：當(dāng)動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其動點到兩腰的距離之間有何關(guān)系？ABCDEFP此時，△ABP的面積－△ACP的面積＝△ABC的面積因此，很自然地得到：PE－PF＝常量。問題4：當(dāng)動點在三角形內(nèi)部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一定的等量關(guān)系？△ABC的面積＝△PAB的面積＋△PBC的面積＋△PCA的面積ABCDEFPG如果△ABC是等邊三角形，則可得PE＋PF＋PG＝CD＝常量?？梢岳^續(xù)探究，得到如下結(jié)果：如圖，△ABC中，三邊AB，BC，AC上的高分別為h1，h2，h3。P是形內(nèi)任一點，P到三邊AB，BC，AC的距離分別為d1，d2，d3。求證：

++=1。問題5：當(dāng)動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結(jié)論？（PD－PE－PF＝常量）ABCDPEF5.證實性知識與證偽性知識相結(jié)合教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種由知識的不確定性到知識確定性的漸進過程。知識的不確定性階段是指提出問題和判斷問題，證偽在這一階段伴演著重要角色；知識的確定性階段是對知識的確認(rèn)，證實在這一階段起著重要作用。探究性問題適當(dāng)?shù)腻e題案例6：一道錯題的訓(xùn)練案例案例7：探究發(fā)現(xiàn)的一個例子6.開放性問題與封閉性問題相結(jié)合封閉性問題是指條件充分、結(jié)論明確的問題，這類問題的解答過程實質(zhì)上是對問題的驗證，沒有學(xué)生的探究過程。開放性問題是指條件可能不充分，或者沒有給出結(jié)論，或者結(jié)論不是唯一的，需要解題者去補充條件或探究結(jié)論。案例8：教材中開放性問題瀏覽案例9：教材中封閉性問題改造為開放性問題四、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)評價（一）幾種學(xué)習(xí)評價模型分析1.布盧姆模型認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)從低到高分為六級：（1）知識：對先前學(xué)習(xí)過的材料的記憶。（2）領(lǐng)會：能把握材料的意義?？山柚谌N形式來表征：一是轉(zhuǎn)換，即用自己的話或用與原先表達(dá)方式不同的方式表達(dá)自己的思想；二是解釋，即對一項信息加以說明或概述；三是推斷，即估計將來的趨勢。（3）運用：能將習(xí)得的材料應(yīng)用于新的具體情境。（4）分析：能將整體材料分解成它的構(gòu)成成分并理解組織結(jié)構(gòu)。（5）綜合：能將部分組成新的整體，產(chǎn)生新的模式和結(jié)構(gòu)。（6）評價：對材料作價值判斷的能力?？死刮譅枺↘rathwohl）完成了情感領(lǐng)域的目標(biāo)分類。（1）接受：學(xué)生愿意注意特殊的現(xiàn)象或刺激，包括從意識到某一事物存在的簡單注意到選擇性注意。（2）反應(yīng)：學(xué)生主動參與，包括默認(rèn)、愿意反應(yīng)及反應(yīng)的滿足。（3）價值化：學(xué)生將特殊的對象、現(xiàn)象或行為與一定的價值標(biāo)準(zhǔn)相聯(lián)系。（4）組織：將許多不同的價值標(biāo)準(zhǔn)組合在一起，克服它們之間的矛盾、沖突，并開始建立內(nèi)在一致的價值體系。（5）價值與價值體系的性格化：個人具有長時期控制自己的行為以致發(fā)展了性格化“生活方式”的價值體系。布盧姆的學(xué)習(xí)評價模型具有一些明顯的特點。其一，將學(xué)習(xí)評價分為三個領(lǐng)域，三個領(lǐng)域相對獨立，有各自的水平劃分標(biāo)準(zhǔn)。值得注意的是，布盧姆的學(xué)習(xí)評價理論，并不只是考察學(xué)生掌握知識的情況，在比較高的水平階段，考察的本質(zhì)上是知識學(xué)習(xí)之后的形成的能力。其二，對于認(rèn)知領(lǐng)域的評價，基本上是對知識學(xué)習(xí)不同結(jié)果的評價，即圍繞知識學(xué)習(xí)開展的，與我國目前課程標(biāo)準(zhǔn)中的“知識與技能”、“過程與方法”相對應(yīng)，只是把這兩個要素作為認(rèn)知領(lǐng)域中不同的水平來表述。2.PISA模型PISA（ProgrammeforInternationalStudentsAssessment）是一個由經(jīng)濟合作與發(fā)展組織策劃并組織的項目，用于評價臨近義務(wù)教育末期（15周歲）學(xué)生的閱讀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、科學(xué)素養(yǎng)。PISA的測評內(nèi)容和測評框架都是基于“素養(yǎng)”這一概念提出來的。PISA將素養(yǎng)定義為：學(xué)生運用所學(xué)知識和技能，有效進行分析、推理、交流，在各種情境中解決和解釋問題的能力。PISA2002框架（表4）PISA2013框架（表5）PISA模型的特點表現(xiàn)為，第一，以考察學(xué)生的基本素養(yǎng)為指向，所測評的“素養(yǎng)”并不局限于學(xué)校常規(guī)課程，而是取自更廣泛的知識和技能領(lǐng)域。換言之，PISA不是一種以知識為取向的評價，而是以素養(yǎng)為取向的評價。第二，問題設(shè)置在情境中。個人情境與學(xué)生個人的日常活動直接相關(guān)；教育或職業(yè)的情境出現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)校生活或工作環(huán)境中；社會情境要求學(xué)生更廣泛地觀察周邊環(huán)境的某些方面；科學(xué)情境更加抽象，可能會涉及了解一個技術(shù)過程、理論情境或明確的數(shù)學(xué)問題。3.SOLO模型SOLO原意為可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)。SOLO分類理論是基于學(xué)生對某一具體問題反應(yīng)的分析，對學(xué)生解決問題時所達(dá)到的思維水平進行由低到高的五個基本結(jié)構(gòu)層次的等級劃分：前結(jié)構(gòu)水平、單點結(jié)構(gòu)水平、多點結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象水平。如果將SOLO模型的“多點結(jié)構(gòu)水平”分解為兩種水平，便可以與PISA的水平劃分對應(yīng)。（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的內(nèi)涵我們主要討論這個定義中的“關(guān)鍵能力”要素。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析，本質(zhì)上就是6種關(guān)鍵能力。因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價就是對學(xué)生形成這6種數(shù)學(xué)核心能力的評價?！R與能力的關(guān)系——知識是能力產(chǎn)生的本源，知識也就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價不能脫離對知識的評價；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價又不等同于對知識的評價，重點是對由知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的能力的評價。（三）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的依據(jù)要評價學(xué)生在6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展情況，必然要對這些核心素養(yǎng)進行水平劃分。高中課標(biāo)修訂組的專家給出了每種核心素養(yǎng)的水平劃分，但有兩個問題值得商榷。第一，這種劃分是針對高中學(xué)生三種不同層次的要求界定的，即分為高中畢業(yè)水平、高考水平、拓展水平（即準(zhǔn)備參加高校自主招生的學(xué)生要達(dá)到的水平）。顯然，這種水平劃分對日常的學(xué)習(xí)評價沒有直接的指導(dǎo)意義。第二，分為三種水平缺乏依據(jù)，即缺少應(yīng)然說理。課標(biāo)組關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分（表6）我們認(rèn)為，既然數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)