小學(xué)奧數(shù)工程問題常見題型匯總

小學(xué)奧數(shù)工程問題常見題型匯總本講主要講解工程問題的解題方法。工程問題可以運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的量率對(duì)應(yīng)關(guān)系，即用對(duì)應(yīng)分率表示工作總量與工作效率。解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，表示出各個(gè)工程隊(duì)（人員）或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率。常用的數(shù)學(xué)思想方法有代換法、比例法、列表法、方程法等。拋開“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問題答案。工程問題不僅指一種題型，更是一種解題方法。工程問題的公式有一般公式和用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式。一般公式包括工效×工時(shí)=工作總量、工作總量÷工時(shí)=工效、工作總量÷工效=工時(shí)。用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式包括1÷工作時(shí)間=單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾、1÷單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。用假設(shè)法解工程題，可任意假定工作總量為2、3、4、5……。特別是假定工作總量為幾個(gè)工作時(shí)間的最小公倍數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)工程問題可以轉(zhuǎn)化為比較簡單的整數(shù)工程問題，計(jì)算將變得比較簡便。例題1：甲、乙兩隊(duì)開挖一條水渠。甲隊(duì)單獨(dú)挖要8天完成，乙隊(duì)單獨(dú)挖要12天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)挖了幾天后，乙隊(duì)調(diào)走，余下的甲隊(duì)在3天內(nèi)完成。乙隊(duì)挖了多少天？可以理解為甲隊(duì)先做3天后兩隊(duì)合挖的，即乙隊(duì)挖了5天。例題2：加工一批零件，甲單獨(dú)做20天可以完工，乙單獨(dú)做30天可以完工?，F(xiàn)兩隊(duì)合作來完成這個(gè)任務(wù)，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，這樣共14天完工。乙休息了幾天？共14天完工，說明甲做(14-2.5)天，其余是乙做的，用14天減去乙做的天數(shù)就是乙休息的天數(shù)，即1天。解：設(shè)甲、乙、丙的工作效率分別為a、b、c，那么根據(jù)題意可以列出以下三個(gè)方程：36a+36b=145b+45c=160a+60c=1將第一個(gè)方程乘以5，得到180a+180b=5，將第二個(gè)方程乘以4，得到180b+180c=4，將第三個(gè)方程乘以3，得到180a+180c=3，將三個(gè)方程相加，得到540a+360b+360c=12，化簡得到3a+2b+2c=1/15。又因?yàn)榧?、乙、丙三人合作一天完成的工作量為a+b+c，所以甲一人獨(dú)做需要的天數(shù)為1/(3a)。將3a+2b+2c=1/15代入a+b+c=1/36中，得到b+c=1/45。將b+c=1/45代入2b+2c=4/180中，得到b+c=1/90。解得b=c=1/180，代入b+c=1/45中，得到甲的工作效率a=1/36-1/180=1/45。所以甲一人獨(dú)做需要的天數(shù)為1/(3a)=45天。答：甲一人獨(dú)做需要45天完成。2、一件工作需要甲12天完成，乙18天完成，丙24天完成。假設(shè)甲先做了x天，然后由乙接手，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接手，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍。最終完成了這件工作，問總共用了多少天？解：假設(shè)乙做了3x天，則丙做了6x天。因?yàn)榧?、乙、丙三人合作完成了這件工作，所以他們的工作量相同。因此，有：甲每天的工作量=1/12乙每天的工作量=1/18丙每天的工作量=1/24根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可以列出方程：x/12+3x/18+6x/24=1化簡得：x=2因此，甲先做了2天，乙做了6天，丙做了12天，總共用了20天。3、某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成，乙組4人7天能完成。問甲組2人和乙組7人合作多少天能完成這項(xiàng)工作？解：設(shè)甲組2人和乙組7人合作x天能完成這項(xiàng)工作。根據(jù)工作量的關(guān)系，可以列出方程：2/3*x+7/4*x=1化簡得：x=24/23因此，甲組2人和乙組7人合作24/23天能完成這項(xiàng)工作。4、制作一批零件，甲車間要10天完成，甲車間與乙車間合作6天就能完成，乙車間與丙車間合作8天才能完成。現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè)。問丙車間制作了多少個(gè)零件？解：設(shè)甲車間每天的工作量為a，乙車間每天的工作量為b，丙車間每天的工作量為c。根據(jù)題意，可以列出以下方程組：10a=x6(a+b)=x8(b+c)=xa(x-bx/c)=2400其中，x表示完成這批零件所需的時(shí)間。將第一個(gè)方程代入第二個(gè)和第三個(gè)方程，得到：6(a+b)=10a8(b+c)=10a化簡得：b=1/5ac=2/5a將b和c的值代入第四個(gè)方程，得到：a(10/3-8/5)=2400化簡得：a=750因此，甲車間每天的工作量為750/10=75，乙車間每天的工作量為750/50=15，丙車間每天的工作量為750/125=6。完成這批零件需要10天，因此丙車間制作了10*6=60個(gè)零件。5、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需12小時(shí)，乙獨(dú)做需18小時(shí)。假設(shè)甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)……，兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)共用多少小時(shí)？解：設(shè)兩人共用x小時(shí)完成任務(wù)。根據(jù)工作量的關(guān)系，可以列出方程：x/12+(x-1)/18=1化簡得：x=21因此，兩人共用21小時(shí)完成任務(wù)。6、一件工作，甲、乙、丙三人合作需要1小時(shí)，甲、乙合作需要1小時(shí)20分，甲、丙合作需要1小時(shí)30分。問甲獨(dú)做需要多少時(shí)間？解：設(shè)甲、乙、丙三人每小時(shí)完成的工作量分別為a、b、c。根據(jù)題意，可以列出以下方程組：a+b+c=1a+b=5/4a+5/4ba+c=3/2a+3/2c化簡得：a=1/4b=1/4c=1/2因此，甲獨(dú)做需要4小時(shí)。7、甲、乙兩人同做一項(xiàng)工程，需要8天完工。如果甲先做8天，然后乙獨(dú)做10天才能完成工作，問甲、乙獨(dú)做各需幾天完工？解：設(shè)甲、乙獨(dú)自完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)分別為x和y。根據(jù)題意，可以列出以下方程組：x+y=8x+10=2y化簡得：x=2y=6因此，甲獨(dú)自需要2天完工，乙獨(dú)自需要6天完工。8、一件工作需要甲20天完成，乙12天完成?，F(xiàn)在先由甲做了x天，然后乙斷續(xù)做完，從開始到完工共用了14天。問甲、乙兩人各做了多少天？解：設(shè)乙做了y天，則從開始到甲做完共用了x+20天，從乙開始做到完工共用了y+12天。因此，有以下方程組：x+20+y+12=14+x+yy=2x-18將y的表達(dá)式代入第一個(gè)方程，得到：3x=46因此，甲做了x=46/3≈15.33天，乙做了y=2x-18≈12.67天。9、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天。假設(shè)甲先做若干天后乙接著做，工用10天完成，問甲做了幾天？解：設(shè)甲先做了x天，則乙需要完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為10-x。根據(jù)工作量的關(guān)系，可以列出方程：x/12+(10-x)/9=1化簡得：x=4因此，甲先做了4天。10、一份稿件，甲、乙、丙三人獨(dú)自打字需要的時(shí)間分別是20小時(shí)，24小時(shí)，30小時(shí)?，F(xiàn)在三人合打，但甲因中途另有任務(wù)提前撤出，結(jié)果用12小時(shí)完成，甲只打了多少小時(shí)？解：設(shè)甲、乙、丙三人每小時(shí)打字的速度分別為a、b、c。根據(jù)題意，可以列出以下方程組：20a+24b+30c=112(b+c)=1因?yàn)榧字型境烦觯运虻淖謹(jǐn)?shù)與乙、丙兩人相等。因此，有：20a=12b20a=12c將b和c的值代入第一個(gè)方程，得到：20a+24(12a/20)+30(12a/20)=1化簡得：a=1/100因此，甲獨(dú)自打字需要20小時(shí)，乙獨(dú)自打字需要24小時(shí)，丙獨(dú)自打字需要30小時(shí)。因?yàn)槿撕洗蛴昧?2小時(shí)，所以甲只打了12*(1/100+1/24+1/30)=1.2小時(shí)。11、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成要30天，乙單獨(dú)完成要45天，丙單獨(dú)完成要90天?，F(xiàn)在由甲、乙、丙三人合作完成此工程，在工作過程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙沒有休息，最后把工程完成了，問完成這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？解：設(shè)三人合作完成這項(xiàng)工程需要x天。因?yàn)榧?、乙、丙三人合作每天的工作量相等，所以有以下方程：x/30+x/45+x/90=1化簡得：x=20因此，三人合作需要20天完成這項(xiàng)工程。完成這項(xiàng)工程前后，甲休息了2天，乙休息了3天，所以一共用了20+2+3=25天。12、一項(xiàng)工程，甲、乙兩人合做4天后，再由甲單獨(dú)做6天才完成全部任務(wù)。已知甲比乙每天多完成這項(xiàng)任務(wù)的1/3。問甲、乙兩人各做了多少天？解：設(shè)甲、乙獨(dú)自完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)分別為x和y。根據(jù)題意，可以列出以下方程組：4(x+y)/3+6x=yx+y=10化簡得：x=4y=6因此，甲、乙兩人合做了4天，其中甲做了4天，乙做了0天。甲單獨(dú)做了6天。13、甲單獨(dú)完成一件工作需要12天，乙單獨(dú)完成需要18天，丙單獨(dú)完成需要24天。甲先做了一段時(shí)間，然后由乙接手，乙的工作時(shí)間是甲的3倍。最后由丙完成，丙的工作時(shí)間是乙的2倍。問完成這件工作需要多少天？14、甲隊(duì)單獨(dú)修一段公路需要40天，乙隊(duì)單獨(dú)修需要24天?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開始修路，他們?cè)诰嚯x中點(diǎn)750米處相遇。問這段公路有多長？15、甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲走全程需要多少小時(shí)？已知甲每小時(shí)走4.5千米，乙每小時(shí)走全程的1/3。16、甲單獨(dú)加工一批零件需要75小時(shí)，乙單獨(dú)加工需要50小時(shí)。已知每小時(shí)甲比乙多加工12件。如果甲的工效提高50%，而乙每小時(shí)比原來多加工8件，那么他們合作完成這批零件需要多少小時(shí)？17、甲、乙合作完成一批零件需要24小時(shí)。現(xiàn)在甲先獨(dú)自工作了16小時(shí)，然后由乙接手工作12小時(shí)，還剩下多少個(gè)零件沒有完成？18、甲、乙兩人合作完成一批零件需要30天。甲先干22天，然后兩人再合作12天，最后乙單獨(dú)完成還需要16天。已知甲每天比乙少生產(chǎn)4個(gè)零件。問乙共完成了多少個(gè)零件？19、甲單獨(dú)完成一件工程需要6小時(shí)，乙單獨(dú)完成需要10小時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙……的順序交替工作，每次工作1小時(shí)，那么需要多少小時(shí)完成？20、一項(xiàng)工程需要由一、二、三小隊(duì)合作完成，需要8天。由二、三、四小隊(duì)合作需要10天。如果按照一、二、三、四、一、二、三、四……的順序輪流干，每個(gè)小隊(duì)干1天，那么哪個(gè)小隊(duì)最后完成？競賽篇：1、甲隊(duì)在晴天完成A工程需要12天，乙隊(duì)在晴天完成B工程需要15天。在雨天，甲隊(duì)的工作效率下降40%，乙隊(duì)的工作效率下降10%?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，問在施工的日子里，雨天有多少天？2、某水箱有三個(gè)同樣的進(jìn)水管和一個(gè)出水管在底部。當(dāng)只開一個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要60分鐘將水箱注滿。當(dāng)開兩個(gè)進(jìn)水管時(shí)，注滿水箱的一半需要10分鐘。那么，如果同時(shí)打開兩個(gè)進(jìn)水管，注滿