函數(shù)概念的發(fā)展史

函數(shù)概念的起源,最早和人們對動點(diǎn)軌跡的研究密不可分。再也沒有其他的例子,如同象動點(diǎn)作曲線運(yùn)動時,它的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)相互依依賴并同時發(fā)生變化那樣，更有利于促使人們產(chǎn)全變量、因變量—產(chǎn)生函數(shù)的概念了.而這又正是解析幾何學(xué)的主耍內(nèi)容.14世紀(jì)時,法國數(shù)學(xué)家奧萊斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依時間t而變的變數(shù)x時,他畫出了圖形,把t稱為“經(jīng)度(longitude),把x稱為“緯度”(latitude)。但是他并沒有連續(xù)的概念,只是建立了孤立的點(diǎn)與點(diǎn)之簡的對應(yīng).這種方法被開普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)應(yīng)用于關(guān)于天體運(yùn)行方面的研究〔2〕。17世紀(jì)的絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的,而曲線被看作運(yùn)動著的點(diǎn)的路徑這樣的思想通過牛頓等人的工作而獲得了認(rèn)可與接受。牛頓在他的《求曲邊形的面積》中說:“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量,不是由小塊合成的,而是由連續(xù)運(yùn)動描出的”。英國數(shù)學(xué)家哈略特(Harriot,1560一1621)應(yīng)用了直角坐標(biāo)的概念求出了曲線的方程.當(dāng)坐標(biāo)系一經(jīng)給定,則某些幾何問題便可以用代數(shù)的形式表現(xiàn)出，這正是解析幾何學(xué)的主耍方法.這樣,函數(shù)的概念便又和軌跡的代數(shù)表達(dá)式發(fā)生了密切聯(lián)系.法國著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立體曲線導(dǎo)論》中,取相交的直線建立坐標(biāo)系,導(dǎo)出了直線、圓還有其它一些圓錐曲線的方程。法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾(Descartes,1596-1650)在他的《幾何學(xué)》中明確地給出了點(diǎn)的坐標(biāo)概念,由此當(dāng)點(diǎn)P根據(jù)某特定條件運(yùn)動時,它的兩個坐標(biāo)之間的互變關(guān)系可用曲線的方程表示。人們通常把變量概念的引入和解析幾何的誕生歸功與笛卡爾,他確實(shí)讓用代數(shù)關(guān)系式表示變化的量間的關(guān)系(主要是曲線)的方法逐漸流行起來了〔2〕?？偟恼f來,盡管描繪曲線方程的解析幾何的方法已出現(xiàn),但至少到17世紀(jì)上半葉,純粹的函數(shù)概念并沒有被提出來。萊布尼茲(Lei-bniz)在1673年首先提出“函數(shù)”這一名詞.他用函數(shù)表示任何一個隨著曲線上的點(diǎn)的變動而變動的量.象曲線上的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),切線的長度,垂線的長度等。牛頓(Newton)幾乎同時用另一名詞“流量”來表示變量間關(guān)系。1697年,約翰·伯努利給出了函數(shù)的第一個定義:一個按照任何方式用變量和常量構(gòu)成的量.1698年,他采用了萊布尼茲的說法,稱這個量為“x的函數(shù)”,表示為X.1718年,他又明確定義了一個變量的函數(shù):由這個變量和常量的任意一種方式構(gòu)成的量,表示為.伯努利強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示了，這是函數(shù)的解析概念的第一次擴(kuò)展。1734年,歐拉引入現(xiàn)在的函數(shù)表示形式:。歐拉就把用算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算和指數(shù)對數(shù)運(yùn)算聯(lián)結(jié)變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子,取名為解析函數(shù),并將它分成為“代數(shù)函數(shù)”和“超越函數(shù)”兩類。歐拉用“解析表達(dá)式”替代了約翰的“任意形式”,明確地表述了變量之間相互依賴的變化關(guān)系。也不再強(qiáng)調(diào)函數(shù)一定要用公式來表示,但仍沒有明確函數(shù)是某種對應(yīng)關(guān)系,也沒有提出函數(shù)可以不用解析式來表示.歐拉對函數(shù)的重要貢獻(xiàn)是他考慮了用以表示被任意畫出的曲線后,由于其對于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)描述的基礎(chǔ)語言.因此,函數(shù)概念的定義再一次面臨著新變化.1887年,戴德金的關(guān)于函數(shù)的定義:系統(tǒng)S上的一個映射蘊(yùn)涵了一種規(guī)則,按照這種規(guī)則,S中每一個確定的元素s都對應(yīng)著一個確定的對象,它成為s的,記作.我們也可以說,對應(yīng)于元素s,由映射作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?s經(jīng)映象變換成。在這個定義中,首次用映射來描述函數(shù),而且明確了映射中所蘊(yùn)含的“規(guī)則”即對應(yīng)“關(guān)系”才是函數(shù)概念的內(nèi)涵,已非常接近函數(shù)的現(xiàn)代定義了.1936年,布爾巴基給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義:設(shè)E和F是兩個集合,它們可以不同,也可以相同,E中的一個變元x和F中的變元y之間一個關(guān)系成為一個函數(shù)關(guān)系,如果對每個x∈E,都存在唯一的y∈F,它滿足跟x的給定關(guān)系,表示為f→E。這就是用映射來表達(dá)的現(xiàn)代的函數(shù)概念.用集合論的語言定義函數(shù)的概念,可稱為函數(shù),也可以叫做映射.現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義:設(shè)X,Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中的每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為定義在X上的函數(shù),記作f:X→Y,通常也簡記作y=f(x),x∈X,其中x稱為自變量,y稱為因變量,X稱為定義域.簡單的結(jié)論:現(xiàn)在函數(shù)的概念所包括的范圍似乎是碩大無比了,但是,如果說這種擴(kuò)展已經(jīng)到頂了,那就未免為時過早。事實(shí)上,在本世紀(jì)四十年代,由于物理學(xué)的需要,發(fā)展了占函數(shù),它在一點(diǎn)處不為零,而在R上的積分等于1,原來的函數(shù)定義就包含不了這種占函數(shù)。于是又有索伯列夫、洛朗和許瓦茲引入了廣義函數(shù)的概念,把函數(shù)、測度以及占函數(shù)等概念統(tǒng)一起來了。這樣,在函數(shù)概念的內(nèi)涵上再一次得到了擴(kuò)展。初等函數(shù)概念雖然是在初中才正式引入的,但是我國的數(shù)學(xué)課程實(shí)際上在小學(xué)階段就開始滲透.比如,小學(xué)乘法運(yùn)算中2的乘法公式,如果把乘數(shù)2看成是K,被乘數(shù)看成是自變量X,則乘積就是因變量Y,這可以是一個簡單的比例函數(shù),把被乘數(shù)1～9和乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18看成兩個集合,則“×2”就是它們之間的一個映射,這兩個集合是一一對應(yīng)關(guān)系.初中階段函數(shù)的概念是：一般地，設(shè)某變化過程中有兩個變量，如果對于在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值x,都有唯一確定的值y與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，當(dāng)函數(shù)關(guān)系用等式來表示時，這個等式叫做函數(shù)解析式（或函數(shù)關(guān)系式）．這里指出函數(shù)關(guān)系就是變量之間的“對應(yīng)”關(guān)系,同時也給出了自變量的變化范圍，但未指明定義域。這里仍然說函數(shù)是相依變量Y,但函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系。明確了函數(shù)是對應(yīng)關(guān)系后,歷史上一度糾纏不清的解析定義及幾何定義就是現(xiàn)在函數(shù)的兩種不同表示法:解析法與圖象法。此外,還有列表法。到了高中,通過代數(shù)式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解到量與量之間的依存性;通過數(shù)的概念的發(fā)展,使學(xué)生積累關(guān)于“集合”概念的初步思想;通過數(shù)軸和坐標(biāo)的教學(xué),滲透關(guān)于“對應(yīng)”概念的初步思想等,有了這些鋪墊,學(xué)生在接觸到嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的集合函數(shù)概念時,才能比較容易接受.函數(shù)是用映射定義的：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確實(shí)的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對眼，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y=f（x），x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f（x）│x∈A｝叫做函數(shù)的值域．簡單地說，就是指一個關(guān)系作用于集合A中的每一個數(shù)，使它與集合B中的一個數(shù)相對應(yīng)．“映射”是集合中的概念,其含義比“對應(yīng)”更確切了,突出了方向性。本科數(shù)學(xué)專業(yè)的函數(shù)概念給定兩個實(shí)數(shù)集D、M,若按照某一確定的對應(yīng)法則f,D內(nèi)每一個數(shù)x有唯一的一個數(shù)y∈M與它相對應(yīng),則稱f是確定在數(shù)集D上的函數(shù),記作f:D→M,其中集D稱為函數(shù)的定義域,D中的任意數(shù)x根據(jù)法則f所對應(yīng)的y,記作f(x),稱為f在x的函數(shù)值。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念除了反映變量之間的依賴關(guān)系這一本質(zhì)屬性之外,還具有種種其它屬性.函數(shù)概念與極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)及微分方程等等概念之間有著緊密的聯(lián)系.對高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的各種函數(shù)及相互間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系進(jìn)行歸納整理,可得到以