注冊電氣工程師基礎(chǔ)考試線性代數(shù)課件

線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.全排列一、行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．2.逆序數(shù)例1

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.3.n階行列式的定義例2解方程左端4.n階行列式的性質(zhì)例3

計算階行列式解將第都加到第一列得１）竹余子式軋與代數(shù)濟(jì)余子晨式5.行列服式按秤行（姥列）員展開２）零關(guān)于死代數(shù)豎余子哭式的說重要總性質(zhì)例46.克拉誼默法鑰則定理定理二、矩陣1.矩陣助的定治義記作簡記妨為2.幾種磁特殊陵矩陣(2欣)只有蛋一行喇的矩關(guān)陣稱為行矩差陣(或行向間量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有汪一列母的矩?zé)絷嚪Q為列矩北陣(或列向儀量).稱為對角矩陣(或?qū)墙嘘嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同困階數(shù)房誠的零步矩陣撈是不挺相等扎的.例如(5夜)單位陣：亂對角妄線上魄全為1的對身角陣稱為單位堆矩陣（或單位渣陣）.全為1(6臺)對稱棋矩陣定義設(shè)為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱絡(luò)陣的哈元素危以主粗對角宴線為你對稱沃軸對悠應(yīng)相柔等.說明2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型奸矩陣.3.同型涂矩陣擠與矩賠陣相頁等的彈概念1）兩鏡個矩肅陣的搬行數(shù)獨相等,列數(shù)都相等寺時,稱為同型穿矩陣.例5設(shè)解1)加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為4.矩陣逝的運裁算2)數(shù)與駁矩陣亂相乘矩陣忘相加穿與數(shù)芹乘矩否陣合次起來,統(tǒng)稱筋為矩急陣的線性爸運算.并把袋此乘摧積記佛作3)矩陣析與矩僚陣相謊乘設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有爹當(dāng)?shù)诜我粋€殼矩陣幸的列皆數(shù)等杜于第宜二個紡矩陣的行沿數(shù)時飾，兩熟個矩污陣才貼能相妻乘.例１注：（1）矩參陣乘沈法不滿帳足交換謠律(2良)矩陣酸乘法不滿反足消去幸律,即（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單降位矩雷陣E在矩?zé)彡嚦瞬欠ㄖ辛У淖鞒妙愇顾朴谟箶?shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩嫂陣的扮轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置眨矩陣礦的運禾算性考質(zhì)注：滋若A為對腔稱陣烤，則5）方感陣的搖行列禿式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算偶性質(zhì)定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.6）伴沈隨矩扯陣7）逆善矩陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階旱矩陣詞的逆挽矩陣勢用該吵公式名求，絕三階吧及以或上矩延陣的縱逆矩露陣用庭初等旺變換距求。逆矩欄陣的里運算要性質(zhì)解：矩陣動方程解定義1下面溪三種異變換引稱為餓矩陣像的初建等行鈔變換:5.矩陣銳的初湯等變振換定義2矩陣旦的初炕等行陡變換只與初查等列與變換森統(tǒng)稱辜為初等夾變換部．初等較變換后的逆止變換榜仍為椒初等謠變換,且變婚換類筐型相嚷同．同理屈可定孤義矩石陣的厚初等促列變棍換(所用發(fā)記號場是把勵“r”換成川“c”)．逆變死換逆變觸換逆變蓋換定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種飄初等衰變換產(chǎn)對應(yīng)籍著三番種初始等方秤陣.6.初等為矩陣

定理設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.初等所變換初等功矩陣初等向逆變性換初等勉逆矩啊陣初等獵矩陣漸的作拾用

定理設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣?yán)谜醯然儞Q優(yōu)求逆楊陣的散方法罷：6.矩陣針的秩例8解求矩腎陣秩驅(qū)的方曬法：把矩忍陣用嫂初等捕行變找換變某成為決行階疫梯形刻矩陣筑，行優(yōu)階梯擔(dān)形矩魂陣中漸非零震行的后行數(shù)櫻就是預(yù)矩陣弄的秩.例9解由階炸梯形番矩陣同有三智個非竿零行分可知顯然恨，3階子太式則這個子式便是的一個最高階非零子式.矩陣A與之熔對應(yīng)糟的三渠階子勾式三、n維向挨量若干蛇個同消維數(shù)團(tuán)的列褲向量麗（或氏同維浮數(shù)的縫行向現(xiàn)量）麻所組意成的部集合勢叫做衣向量廉組．1.向量緊及向執(zhí)量組悔的線纏性相神關(guān)性線性組合解：續(xù)考慮定義2設(shè)有腥兩個抬向量影組（1）若拴向量奇組B中每志個向但量都統(tǒng)能由闊向量釣組A線性爸表示耗，則雀稱向頭量組B能由夕向量斑組A線性小表示壓。（2）若夕向量義組A與向漠量組B能相墳互線撒性表增示，劈燕則稱呼這兩上個向泥量組妖等價爬。定義醉３則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．由定綠義3可得隙：1、任店一向伯量組翠不是叛線性率相關(guān)省就是堤線性疾無關(guān)肌。2、含零堪向量盜的向彼量組辱一定獄線性爺相關(guān)理。3、單鉆個非穴零向泥量一夏定是忠線性瓦無關(guān)。4、兩缸個向午量線候性相含關(guān)的模充分躬必要互條件枕是對販應(yīng)分煤量成臣比例穗。定理2解例11定理3（1）部籍分相檔關(guān)整伶體相里關(guān)。（2）m個n維向刷量，過當(dāng)維襪數(shù)n小于雀向量恨個數(shù)m時一白定線疼性相拔關(guān)。2.最大虜無關(guān)鍵組與債向量得組的珠秩定義彼１注：只含戒零向?qū)Ａ康念櫹蛄堪艚M沒書有最盲大無我關(guān)組包，規(guī)迫定它販的秩越為0.推論1推論21.線性急方程滋組的鍛三種農(nóng)表達(dá)侮方式若記（1）四、運線性拉方程慎組則上談述方放程組彩（1）可欣寫成量矩陣濱方程如果脂將矩才陣A的列吩向量凝組記眠為則方隔程組鴉（1）還效可表攝為向喇量方償程2.線性癥方程塊組有騙解的菌判定繭條件齊次俱線性宵方程鹿組解烈的性臉質(zhì)3.線性悔方程域組解緣瑞的性屬質(zhì)與趟結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)場解系破的定丑義齊次腐線性方做程組懼解的陰結(jié)構(gòu)非齊亭次線逼性方噸程組勵解的萌性質(zhì)其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊鄙次線勁性方顏程組煌解的徹結(jié)構(gòu)非齊次條線性瓶方程揚組Ax初=b的通冬解為齊次喚線性雙方程基組：系鴨數(shù)矩造陣化攏成行閘最簡售形矩長陣，糕便可提寫出臭其通大解；非齊帖次線頑性方分程組凡：增廣推矩陣亞化成冤行階塊梯形蚊矩陣鳳，便買可判楊斷其滴是否辦有解剩．若晝有解斷，化它成行懷最簡扭形矩達(dá)陣，騙便可獎寫出包其通膽解；3.線性基方程朝組的夜解法例11求解控齊次密線性斥方程華組解即得婚與原方吸程組斬同解重的方濾程組由此爺即得例12求解遙非齊龜次方燭程組妻的通接解解對增站廣矩此陣B進(jìn)行辣初等耐變換故方行程組鵝有解刷，且懼有所以賢方程窯組的舟通解乓為五、巴矩陣攤的特散征值鏈和特周征向組量求矩拖陣特爭征值匹與特后征向夠量的乒步驟池：特征鍬值、艇特征衰向量侄性質(zhì)（1）屬腳于不披同特餓征值掀的特店征向禁量是要線性頭無關(guān)廁。解例13

六、區(qū)矩陣驗相似弱與對暗角化1、相肥似矩忍陣與旁相似辛變換沉的概決念2、相男似矩接陣的渴性質(zhì)（1）相枕似關(guān)處系是燦等不價關(guān)結(jié)系（5）相燙似矩京陣有救相同肥的特攝征多握項式胃，有楊相同襯的特餡征值葉。還可稱證明謹(jǐn)下列澡結(jié)論3、方添陣可演化為揮對角盞陣的貞條件4、實杯對稱啦矩陣長的性竭質(zhì)(1芒)特征符值為孫實數(shù)宵；(2駐)屬于淋不同運特征希值的易特征憐向量薦正交唱；(3兄)特征關(guān)值的木重數(shù)兆和與榨之對妹應(yīng)的蕩線性若無關(guān)賽的特征掉向量喇的個拿數(shù)相牲等；(4起)必存畜在正霞交矩思陣，另將其冠化為餃對角清矩陣浮，且對