9圓錐曲線與參數(shù)方程8 7雙曲線

第八章 平面解析幾何第7課時 雙曲線考點一 雙曲線的定義及標準方程考點二 雙曲線的幾何性質(zhì)考點三 直線與雙曲線的位置關(guān)系創(chuàng)新探究?系列指點迷津?展示考點考綱·點擊了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)．理解數(shù)形結(jié)合的思想．了解雙曲線的簡單應(yīng)用，了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.教材梳理基礎(chǔ)自測1．雙曲線的概念把平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2

的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫做雙曲線，這兩個定點叫雙曲線的焦點

，兩焦點間的距離叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c

為常數(shù)且a＞0，c＞0：當(dāng)

a＜c

時，P

點的軌跡是雙曲線；當(dāng)a＝c

時，P

點的軌跡是

兩條射線；當(dāng)

a＞c

時，P

點不存在．教材梳理基礎(chǔ)自測2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程x2

y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)y2

x2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)圖形教材梳理基礎(chǔ)自測2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝

b±ax

,ay＝±bx

,離心率e＝，e∈(1，＋∞)

，其中c＝實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a

；線段

B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)教材梳理基礎(chǔ)自測【基礎(chǔ)自測】x2

y21．(教材改編題)雙曲線10－

2

＝1

的焦距為(

)A．3

2C．3

3B．4

2D．4

3∵a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2

3，∴2c＝4

3.D教材梳理基礎(chǔ)自測【基礎(chǔ)自測】x2

y22．若雙曲線16－9

＝1

上的點P到點(5,0)的距離是15，則點P

到點(－5,0))的距離是(A．7C．5

或25B．23D．7

或23設(shè)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，若P

在左支上，則|PF2|－|PF1|＝2a＝8，所以|PF1|＝|PF2|－8＝15－8＝7；若P

在右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝|PF2|＋8＝15＋8＝23.故點P

到點(－5,0)的距離是7

或23.D教材梳理基礎(chǔ)自測【基礎(chǔ)自測】x2

y23．(2015·銀川質(zhì)檢)設(shè)雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為

2

3，則雙曲線的漸近線方程為(

)A．y＝±

2x

B．y＝±2x2C．y＝±

2

x由題意知，2b＝2,2c＝2D．y＝

1±2x3，則b＝1，c＝

3，a＝2，故雙曲線的漸近2線方程為

y＝±

2x.C教材梳理基礎(chǔ)自測【基礎(chǔ)自測】4．“ab＜0”是“方程

ax2＋by2＝c

表示雙曲線”的

條件．若ab＜0，c＝0，則方程不表示雙曲線．必要不充分教材梳理基礎(chǔ)自測【基礎(chǔ)自測】2y25．與雙曲線x

－4

＝1

有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的標準方程是

．2y2依題意設(shè)雙曲線的方程為x

－4

＝λ(λ≠0)，將點(2,2)代入求得λ＝3，所以x2

y2所求雙曲線的標準方程為3

－12＝1.x2

y23

－12＝1考點突破題型透析考點一

雙曲線的定義及標準方程審題視點2，c＝2.(1)利用雙曲線的定義及余弦定理求解．(1)由x2－y2＝2

知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，∴a＝又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4

2，|PF2|＝2

2.(4

2)2＋(2

2)2－422×4

2×2

23＝4.又∵|F1F2|＝2c＝4，∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝(1)C考點突破題型透析考點一

雙曲線的定義及標準方程審題視點x2

y2(2)已知雙曲線C：a2－b2＝1

的焦距為10，點P(2,1)在C

的漸近線上，則C

的方程為(

)x2

y2A.20－

5

＝1x2

y2B.

5

－20＝1x2

y2

x2

y2C.80－20＝1

D.20－80＝1(2)根據(jù)雙曲線標準方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解．考點突破題型透析考點一

雙曲線的定義及標準方程x2

y2(2)∵a2－b2＝1的焦距為

10，∴c＝5＝

a2＋b2.①ab又雙曲線漸近線方程為

y＝±

x，且

P(2,1)在漸近線上，2b∴a＝1，即a＝2b.②由①②解得

a＝2 5，b＝

5，故應(yīng)選

A.(2)A考點突破題型透析考點一

雙曲線的定義及標準方程考點突破題型透析考點二

雙曲線的幾何性質(zhì)審題視點求出雙曲線的頂點和漸近線，再利用距離公式求解．雙曲線的漸近線為直線y＝

1

，即x±2y＝0，頂點為(±2,0)，∴所求距離±2x為d＝5|±2±0|

2

5＝

5

.C考點突破題型透析考點二

雙曲線的幾何性質(zhì)x2

y22．(2015·濟南模擬)過雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點F

作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段

OF(O

為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為

．考點突破題型透析考點二

雙曲線的幾何性質(zhì)2素能提升應(yīng)考展示創(chuàng)新探究?系列解題指南素能提升應(yīng)考展示指點迷津?展示◆兩種方法(1)若不能明確雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0)．x2

y2b

x

y(2)雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程y＝±ax

可變形為a＝±b，即x2

y2a2－b2＝0，所以雙曲線的漸近線方程可以看作是把其標準方程中的1

換成0得來的．素能提升應(yīng)考展示指點迷津?展示◆三個防范區(qū)分雙曲線中的a，b