專題55函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應用2

專題5.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應用【核心素養(yǎng)】1.通過三角函數(shù)式的化簡、求值或求角問題，結合拆角、湊角方法，綜合考查和差倍半三角函數(shù)公式的應用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．應用三角恒等變換，首先化簡三角函數(shù)式，進一步研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一三角函數(shù)解析式（1）的有關概念，表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相（2）用五點法畫一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示：－知識點知識點二三角函數(shù)圖象的變換1.函數(shù)圖象的變換（平移變換和上下變換）平移變換：左加右減，上加下減把函數(shù)向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象;+網(wǎng)】把函數(shù)向上平移個單位，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)向下平移個單位，得到函數(shù)的圖象.伸縮變換:把函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標不變,縱坐標伸長到原來的，得到函數(shù)的圖象;把函數(shù)圖象的橫坐標不變,縱坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象.2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象.途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個單位，便得的圖象.注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點向左(當時)或向右(當時)平行移動個單位長度而得到.知識點知識點三函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程解出；它還有無窮多個對稱中心，它們是圖象與軸的交點，可由，解得，即其對稱中心為．（3）若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有.（4）的最小正周期都是.?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：求三角函數(shù)解析式【典例分析】例1-1.【多選題】（2023春·江西南昌·高一校聯(lián)考階段練習）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設計安裝的過山車軌道，建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：）時，過山車（看作質(zhì)點）離地平面的高度．軌道最高點距離地平面，最低點距離地平面，入口處距離地平面時，過山車到達最高點時，過山車到達最低點，下列結論正確的是（

）

A．函數(shù)的最小正周期為12B．時，過山車距離地平面C．時，過山車距離地平面D．一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于的時間是例1-2.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為．例1-3.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

【規(guī)律方法】1.由的圖象求其函數(shù)式：在觀察圖象的基礎上可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ．(1)A：一般可由圖象上的最大值、最小值來確定．(2)ω：因為T＝eq\f(2π,ω)，故往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線與x軸的交點來確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為eq\f(T,2)；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T．(3)φ：從“五點法”中的第一個點(－eq\f(φ,ω)，0)(也叫初始點)作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個點的位置．依據(jù)五點列表法原理，點的序號與式子的關系如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象曲線的“峰點”)為ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象曲線的“谷點”)為ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點”(即圖象第二次上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝2π．在用以上方法確定φ的值時，還要注意題目中給出的φ的范圍，不在要求范圍內(nèi)的要通過周期性轉(zhuǎn)化到要求范圍內(nèi)．(4)A，ω，φ三個量中初相φ的確定是一個難點，除使用初始點(－eq\f(φ,ω)，0)外，還可在五點中找兩個特殊點列方程組來求解φ．2.利用圖象變換求解析式：由的圖象向左或向右平移個單位，得到函數(shù)，將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得，將圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得.【變式訓練】變式1-1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1-2.【多選題】（2020·海南省高考真題）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）

A． B． C． D．變式1-3.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則.題型二：三角函數(shù)圖象的變換例2-1.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度例2-2.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2-3.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是.【規(guī)律方法】x而言的，即平移多少是指自變量“x”的變化，x系數(shù)為1，而不是對“ωx＋φ”而言的．2．圖象的伸縮變換即周期變換也是針對x而言的，即只是自變量x的系數(shù)發(fā)生改變，變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,ω)倍，而不涉及φ．3.在進行圖象變換時，先平移后伸縮與先伸縮后平移是兩種不同的變換，且這兩種變換中，平移的單位長度不同，前者平移了|φ|個單位長度，而后者平移了|eq\f(φ,ω)|個單位長度，這是因為由y＝sinωx的圖象變換為y＝sin(ωx＋φ)的圖象的過程中，各點的橫坐標增加或減少了|eq\f(φ,ω)|個單位長度，即x→x＋eq\f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．4.函數(shù)的圖象變換除了平移變換外，還有對稱變換．一般地，函數(shù)f(x)的圖象與f(－x)的圖象關于y軸對稱；－f(x)的圖象與f(x)的圖象關于x軸對稱；－f(－x)的圖象與f(x)的圖象關于原點對稱；f(|x|)的圖象關于y軸對稱．【變式訓練】變式2-1.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．變式2-2.（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（

）A． B． C． D．變式2-3.【多選題】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若時，方程有實根，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．題型三：三角函數(shù)模型的應用【典例分析】例3-1．（2023春·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點離開其平衡位置做周期性或準周期性的運動，由于流體的連續(xù)性，必然帶動其鄰近質(zhì)點，從而導致其運動狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學導論》馮士筰李風岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學小組的同學為了研究海水質(zhì)點在堅直方向上的運動情況，通過數(shù)據(jù)采集和分析，同學們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關系近似滿足，其中常數(shù)．經(jīng)測定，在秒時該質(zhì)點第一次到達波峰，在秒時該質(zhì)點第三次到達波峰．在時，該質(zhì)點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒例3-2.（2023春·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，質(zhì)點在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當時，動點的縱坐標關于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例3-3.（2023春·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1）.如圖2，現(xiàn)有一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米，若以盛水筒剛浮出水面在點處時為初始時刻，設經(jīng)過秒后盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負數(shù)）.筒車上均勻分布著12個盛水筒，假設盛水筒在最高處時把水傾倒到水槽上.

(1)求函數(shù)的表達式；(2)求第一筒水傾倒的時刻和相鄰兩個盛水筒傾倒的時間差；(3)若某一稻田灌溉需水量為100立方米，一個盛水筒傾倒到水槽的水約為0.01立方米，求需要多少小時才能完成該稻田的澆灌.（精確到0.1小時）【規(guī)律方法】三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，建立數(shù)學模型再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題．【變式訓練】變式3-1.（2023秋·高一單元測試）如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時秒，經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述錯誤的是（

）

A．、、B．當時，點到軸距離的最大值是C．當時，函數(shù)單調(diào)遞減D．當時，變式3-2.【多選題】（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考期末）鳳凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年（1704年），是中國歷史文化名城，國家AAAA級景區(qū)，與山西平遙古城媲美，享有“北平遙?南鳳凰”的美譽.在其母親河沱江上有一個水車，半徑為4米（示意圖如圖所示），水車圓心距離水面2米，已知水車每30秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當水車上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（

）

A．點P第一次到達最高點需要10秒B．當水車轉(zhuǎn)動35秒時，點P距離水面2米C．當水車轉(zhuǎn)動25秒時，點P在水面下方，距離水面2米D．點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為變式3-3.（2023春·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小樂所在的課外興趣小組計劃用紙板制作一個簡易潛望鏡模型（圖一），該模型由兩個相同的部件拼接粘連制成，每個部件由長方形紙板NCEM（圖二）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長方形OCEF卷后為圓柱的側(cè)面.為準確畫出裁前曲線，建立如圖所示的以為坐標原點的平面直角坐標系（圖二），設為裁剪曲線上的點，作軸，垂足為.

(1)設圖二中線段OH卷后形成的圓弧（圖一）對應的圓心角為（rad），求與的關系式；(2)求裁剪曲線的解析式.題型四：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用【典例分析】例4-1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例4-2.【多選題】（2023·山東濰坊·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為 D．方程在上有5個實數(shù)根例4-3.（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的最小正周期為π，對于下列說法:①;

②的單調(diào)遞增區(qū)間為，（）;③將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于y軸對稱;④.其中正確的序號是.例4-4.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【總結提升】1.此類問題一般分兩步，第一步，應用三角恒等變換公式，將三角函數(shù)式化為正弦型三角函數(shù)；第二步，結合三角函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的性質(zhì).2.方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時應將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結合思想進行解題．【變式訓練】變式4-1.（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知函數(shù)，若在上的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式4-2.【多選題】（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若，則的值可以是D．函數(shù)有4個零點變式4-3.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的圖象如圖所示，且在的圖象上，則的值為．

變式4-4.（2023·全國·高三對口高考）已知．若的最小正周期為．(1)求的表達式和的遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．給出下列結論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結論的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、多選題3.（2023春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對生命系統(tǒng)形成威脅，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉(zhuǎn)型，力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰，2060年前實現(xiàn)碳中和目標，某校高一數(shù)學研究性學習小組同學研究課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從6時到14時的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數(shù)，，以下說法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的最小正周期為C．，D．若是偶函數(shù)，則的最小值為24.（2021·遼寧實驗中學高三其他模擬）為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．先將橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度B．先將橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度C．先向右平移個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)D．先向右平移個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞