相似三角形-“K字型”相似模型

相似三角形——“K字型”相似模型教學(xué)目標(biāo)：1.理解“K型圖”的特征以及其中兩個(gè)三角形相似的條件。2.利用“K型圖”中兩個(gè)相似三角形解決計(jì)算、證明等問題。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：1.觀察已知圖形中的關(guān)鍵特征——“K型”。2.在非“K型”圖形中畫輔助線，得到“K型”圖形。3.探索“K型”圖中兩個(gè)三角形的相似條件。教學(xué)過程：一、前測(cè)練習(xí)1.如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結(jié)BF，則三角形ABD與三角形DEC相似。2.在等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60°，則三角形ABD與三角形DEC相似。二、模型探究1.學(xué)生填空，教師提問：?jiǎn)栴}1：判定這兩個(gè)三角形相似的依據(jù)是什么？學(xué)生答：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。問題2：圖中已知角有什么共同特征？學(xué)生答：圖1中頂點(diǎn)共線三角都是直角，圖2中頂點(diǎn)共線三角都是60°。問題3：若頂點(diǎn)共線三等角的度數(shù)不是90°也不是60°，對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形還相似嗎？教師演示圖形，讓學(xué)生自己畫圖并證明。學(xué)生應(yīng)該寫出已知條件和求證結(jié)論，然后使用方法1或方法2證明兩個(gè)角相等。問題4：若保持共線三等角的度數(shù)不變，改變邊的長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形還相似嗎？學(xué)生答：相似。因?yàn)槲覀兪且罁?jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定兩個(gè)三角形相似的。問題5：由此得到什么結(jié)論？學(xué)生答：只要滿足共線三角的度數(shù)相等，則這兩個(gè)三角形相似的。問題6：此圖形形如英語(yǔ)字母誰？學(xué)生答：字母K教師解釋：我們就把這個(gè)基本圖形叫做K字形，這是我們證明兩三角形相似的一個(gè)基本圖形。觀察下圖，請(qǐng)大家找出圖中的對(duì)應(yīng)邊，由此可得到怎樣的比例式？你能將該式轉(zhuǎn)化為等積式嗎？通過研究發(fā)現(xiàn)，利用K型相似可以得出邊之間的關(guān)系。下面我們來研究K字形在相似三角形中的應(yīng)用。例1：如圖，已知點(diǎn)A（2，4）、B（4，1），BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，且PA⊥PB．求點(diǎn)P的坐標(biāo)。是否符合K型特征？可以看出，三角形PAB和PBC是相似的，且有一組對(duì)應(yīng)邊PA和PC相等，因此符合K型特征。處理方式：根據(jù)相似比，設(shè)PC為x，則PA為2x。由于PA和PB垂直，因此可以列出方程：(2x-4)/(2-1)=-1/(-3/2)，解得x=5/3。因此，P的坐標(biāo)為(5/3,10/3)。變式練習(xí)1：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=6,∠ABC=∠C=70°，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上，且∠BEF=110°，若AE=3，求DF的長(zhǎng)。處理方式：首先根據(jù)AD∥BC和∠ABC=∠C，可以得出三角形ABC和ADC相似，且相似比為AC/AB=DC/AD=12/6=2。因此，可以列出方程：(DF+6)/DF=2，解得DF=6。變式練習(xí)2：如圖，由8個(gè)大小相等的小正方形構(gòu)成的圖案，它的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上。若AB=4cm，BC=6cm，求DG的長(zhǎng)。處理方式：首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得出DG=AB=4。然后根據(jù)相似三角形，可以得出三角形DHG和CGF相似，且相似比為1:2。因此，可以列出方程：DG/(4-DG)=1/2，解得DG=2。例2：如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長(zhǎng)．是否符合K型圖特征？可以看出，三角形DEF和ABC是相似的，且有一組對(duì)應(yīng)邊EF和BC相等，因此符合K型特征。處理方式：根據(jù)相似比，設(shè)CE為x，則AF為x+3。由于EF和AB垂直，因此可以列出方程：(x+3)/(7-x)=-DE/BC，代入已知條件解得x=21/8。因此，CE的長(zhǎng)為21/8。變式練習(xí)3：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=3a．將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，則FP=？是否符合K型圖特征？可以看出，三角形FEP和DCP是相似的，且有一組對(duì)應(yīng)邊FE和DC相等，因此符合K型特征。處理方式：根據(jù)相似比，設(shè)FP為x，則CP為3x。根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得出DE=DC/3=a。由于EF和AD垂直，因此可以列出方程：(3x-a)/(3a-x)=EF/AD，代入已知條件解得x=9a/10。因此，F(xiàn)P的長(zhǎng)為9a/10。五、靈活應(yīng)用在圖中，我們可以根據(jù)已知條件構(gòu)造K型圖。根據(jù)條件1，我們?cè)谥本€AG左側(cè)構(gòu)造K型圖，如下圖所示：在條件2的基礎(chǔ)上，我們?cè)谥本€AG右側(cè)構(gòu)造K型圖，如下圖所示：根據(jù)條件3，我們可以得到：$\frac{EJ}{AE_1}=\frac{FK}{AF_1}$，$\frac{AG}{AC}=\frac{k}{k+1}$，$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{k+1}$由于$\angleAJE_1=\angleFKF_1=90^{\circ}$，所以$\triangleAJE_1\sim\triangleFKF_1$。因此，$\frac{EJ}{FK}=\frac{AE_1}{AF_1}$。利用差型全等，我們可以得到：$HE=AE_1-AJ=AF_1-FK=HF$因此，我們可以得出結(jié)論：$HE=HF$。處理方式：學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論