兩個重要極限的證明

#——文章來源網(wǎng)，僅供分享學(xué)習(xí)參考兩個重要極限的證明兩個重要極限的證明第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限教學(xué)目的：1使學(xué)生掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則；并會利用它們求極限；2使學(xué)生掌握利用兩個重要極限求極限的方法；教學(xué)重點：利用兩個重要極限求極限教學(xué)過程：一、講授新課：準(zhǔn)則I如果數(shù)列滿足下列條件：對那么，數(shù)列的極限存在，且。證明：因為，所以對，當(dāng)時，有，即，對，當(dāng)時，有，即，又因為，所以當(dāng)時，有，即有：，即，所以。準(zhǔn)則I如果函數(shù)滿足下列條件：當(dāng)時，有。當(dāng)時，有。那么當(dāng)時，的極限存在，且等于。第一個重要極限：作為準(zhǔn)則I的應(yīng)用，下面將證明第一個重要極限：。證明：作單位圓，如下圖：設(shè)為圓心角，并設(shè)見圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即，（因為，所以上不等式不改變方向）當(dāng)改變符號時，及1的值均不變，故對滿足的一切，有。又因為，所以而，證畢。【例1】?！纠?】?！纠?】?！纠?】。準(zhǔn)則n：單調(diào)有界數(shù)列必有極限如果數(shù)列滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。如果，使得：，就稱數(shù)列為有上界;若，使得：，就稱有下界。準(zhǔn)則n/：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。準(zhǔn)則n〃單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。2準(zhǔn)則n,n,,n〃可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。第二個重要極限：作為準(zhǔn)則n的一個應(yīng)用，下面來證明極限是不存在的。先考慮取正整數(shù)時的情形：對于，有不等式：，即：，即：現(xiàn)令，顯然，因為將其代入，所以，所以為單調(diào)數(shù)列。又令，所以，即對，又對所以｛是｝有界的。由準(zhǔn)則n或n,知存在，并使用來表示，即注：1關(guān)于此極限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學(xué)自己看!2：我們可證明：，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知：。3：指數(shù)函數(shù)及自然對數(shù)中