第一章函數(shù)及其圖形

§1－1集合，符號(hào)一、1.

我們用符號(hào)“"”表示“任取”或“對(duì)于任意的”或“對(duì)于所有的”,符號(hào)“"”稱為全稱量詞.2.我們用符號(hào)“$”表示“存符號(hào)“$”稱在”.為存在量詞.例：命題“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都存在實(shí)數(shù)y,使得x+y=1”可表示為“"x?

R,$y?

R,使x+y=1”3.

我們用符號(hào)“

”表示“充分條件”或“推出”這一意思.比如,若用p,q分別表示兩個(gè)命題或陳述句.則“p

q”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.比如“p

q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或者說(shuō)p成立的充要條件是q成立.4.

我們用符號(hào)“

”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”或“充要條件”這一意思.x0-dx0

x0+dx集合的概念(略)區(qū)間(略)鄰域"x0?

R,d

>0.(1)記U(x0,d

)=(x0

-d,x0+d

)={x?

R||x-x0|<d

}稱為x0的d

鄰域.其中x0稱為這個(gè)鄰域的中心,

d

稱為這個(gè)鄰域的半徑.

如圖d二、集合的概念及運(yùn)算這就是從U(x0,d

).中去掉中心點(diǎn)x0所余下的部分.(3)當(dāng)不必強(qiáng)調(diào)指出鄰域和去心鄰域的半徑時(shí),將鄰域和去心鄰域簡(jiǎn)記為U(x0

)和U(x0).(2)記U

(x0

,d)=U

(x0

,d)-{x0},稱為x0的去心d鄰域.x0-dx0

x0+dx4.

集合的運(yùn)算及公式(略)設(shè)A,B為實(shí)數(shù),有1.

-

|

A

|￡

A

￡|

A

|2.

|

A

|￡

B3.

|

A

|?

B-B

￡

A

￡

BA

￡-B,或,A

?B4.

|

A

–

B

|￡|

A

|

+

|

B

|5. |

A

|

-

|

B

|

￡|

A

-

B

|6.

|

AB

|=|

A

||

B

|,

A

=|

A

|

,其中B

?0.B

|

B

|三、絕對(duì)值不等式性質(zhì)AB§1－2映射定義：設(shè)A,B是兩非空集,若存在對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使"x?

A,按照對(duì)應(yīng)規(guī)則f,都有唯一確定的

y?

B與之對(duì)應(yīng),則稱f是從A到B的一個(gè)映射.記作f

:Afi

B,xfi

y.fxy稱y為x在f

下的像,記作f

(x).即,y

=f

(x),稱x為y在

f

下的原像,

習(xí)慣上也將映射記作y

=

f

(x).注1.映射是一種建立在兩集合間的對(duì)應(yīng)規(guī)則,它滿足A中任一元素x都能且只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,但不同的x可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)y,即可以出現(xiàn)“多對(duì)一”的情形.注2.在定義中并不要求對(duì)每一個(gè)y?

B,都有一個(gè)x與這個(gè)y對(duì)應(yīng).即，有些y可能并不是某個(gè)x的像.定義：設(shè)f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"x1,x2?

A,當(dāng)x1

?x2時(shí),f

(x1)?f

(x2).則稱f

是單射.定義：設(shè)f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"y?

B,$x?

A,使得f

(x)=y.則稱f

是滿射.定義：若映射f

:Afi

B既是單射,又是滿射.則稱f

是一個(gè)雙射也稱f是一一對(duì)應(yīng).f:

Xfi

Y,

xfi

y§1－3函數(shù)一、函數(shù)的概念定義1.設(shè)實(shí)數(shù)集X,Y

均非空.若存在對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得"x?

X,按照f(shuō),都有唯一確定的y?

Y,與之對(duì)應(yīng).則稱f是定義在X上的一元實(shí)值函數(shù).記作記作R(f

).

顯然有R(f

)Y.稱y為x在f

下的像,記作f

(x).即,y=f

(x)稱x為y在f

下的原像,稱X為函數(shù)f

的定義域.

記作D(f

).X在f

下的像集f

(X)={f

(x)|

"x?

X}稱為f

的值域.注1.定義1可改寫為“若f

是從實(shí)數(shù)集X到實(shí)數(shù)集Y的一個(gè)映射.則稱f是一個(gè)一元實(shí)值函數(shù)”.注2.在定義1中，f是函數(shù),它是一個(gè)映射,是一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則.而f

(x)則是函數(shù)值,是x在f下的像.但在習(xí)慣上,我們把f

(x)也稱作x的函數(shù).另外,習(xí)慣上,稱x為自變量,y為因變量.注3.本教材中用符號(hào)“”表示子集,而不是用

“?

”因.此,本教材中不用符號(hào)嚴(yán)格區(qū)分子集和真子集兩概念.設(shè)函數(shù)f

(x),g(x).定義域分別為A=D(f

),B=D(g).1.

兩函數(shù)相等 它們的定義域相同,并且,對(duì)應(yīng)規(guī)則相同.二、函數(shù)的運(yùn)算2.

設(shè)A

B

=D(f

)

D(g)??

.則A

B在上可定義f"x

?

A

B

,且,g

(x

)?0f f

(

x

)(iv)(

g

)(

x

)

=

g

(

x

)和g的和,差,積,商如下.(f

+

g)(x)

=

f

(x)

+

g(x)

"

x?

A

B(f

–

g)(x)

=

f

(x)

–

g(x)

"

x?

A

B(iii)

(f·

g)(x)

=

f

(x)

·

g(x)

"

x?

A

B3.

復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f

(u).即,y是u的函數(shù),而u是x的函數(shù)u=j(x).

一般說(shuō)來(lái),這時(shí),y通過(guò)中間變量u而成為x的函數(shù).x

j

fi

u

f

fi

y而函數(shù)式則可通過(guò)代入運(yùn)算而得到:將u=j(x)代入到y(tǒng)=f(u)中.得到y(tǒng)=f[j(x)].稱它為由f

(u)和j(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).例1.設(shè)y=f

(u)=lgu,而u=j(x)=sinx.則它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)為y=f

[j(x)]=lgsinx.例2.設(shè)y=f

(u)=lg(u–2),

而u=j(x)=sinx.代入后y=lg(sinx

–2).

因定義域?yàn)榭占?所以它們不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).定義2.若y=f

(u)的定義域U.而u=j(x)的定義域?yàn)閄,值域?yàn)閁*.且U

U*??

.則y

通過(guò)中間變量u成為x的函數(shù),稱它為由f

(u)和j(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).記作y=f

[j(x)].注1：復(fù)合函數(shù)f

[j(x)]的定義域X￠包含在u=j(x)注2：本教材也把復(fù)合函數(shù)記作(f。g)(x),即(f

。g)(x)=f

[j(x)]的定義域X之中.即,X￠

X

(如例1)定義3:

設(shè)函數(shù)y=f

(x)的定義域?yàn)閄,

值域?yàn)閅.

且f

是從X到Y(jié)的一一對(duì)應(yīng)(即,

f

是從X到Y(jié)的單射和滿射),

則"

y?

Y.

都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng).因此,x是y的函數(shù),稱它為y=f

(x)的反函數(shù).記作x=f

–1

(y).由于習(xí)慣上用x表自變量,y表因變量.所以,反函數(shù)也記為y

=f

–1

(x).三、反函數(shù)注1.y

=f

–1

(x)的定義域?yàn)閅,值域?yàn)閄.注2.y

=f

–1

(x)與y

=f

(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱.注3.求反函數(shù)的一般步驟為(1)從y=f(x)解出x

;(2)

將x換成y,y換成x.1.

基本初等函數(shù)冪函數(shù)y

=

xa,

指數(shù)函數(shù)y

=

ax

(a>0,

a?1),對(duì)數(shù)函數(shù)y

=logax

(a>0,

a?1),三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx

=tgx,y=cotx=ctgx,

y=secx,

y=cscx,反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx=arctanx,y=arccotx

=arcctgx以及常數(shù)函數(shù)y=c(c為常數(shù)),這6種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).定義域,值域,性質(zhì),圖象.(略)四、初等函數(shù)2.

稱由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次加,減,乘,除運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而構(gòu)成的函數(shù)為初等函數(shù).如y

=

ln

cos

x

2

,

y

=

sin

2

(

x

+1)都是初等函數(shù).但也有很多不是初等函數(shù)的函數(shù).x例3.符號(hào)函數(shù)

1

-1

x

<

0x

=

0x

>

0y

=

sgn

x

=

0y10?–1其圖象為符號(hào)函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),它不是初等函數(shù),|

f

(

x

)

|=

f

(

x

) sgn

f

(

x

)=

0x

?

0x

=

0x

|

x

|且有例4.取整函數(shù)y

=[x],如,若取x=1,2,則[x]=1;其圖象為取整函數(shù)也不是初等函數(shù).其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).若取x=–1,2,則[x]=–2;若取x

=2,則[x]=2;y321y=[x]x12340-4

-3

-2 -1-1-2-3例5.狄利克萊函數(shù)

當(dāng)x為有理數(shù).

0,

當(dāng)x為無(wú)理數(shù).y

=

D(x)

=

1,狄利克萊函數(shù)的圖象無(wú)法準(zhǔn)確畫出來(lái).D(x)不是初等函數(shù).(2)1y

=

a

x

,例6.將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.(1)

y

=

cos2x,

是由y

=

u2,

u=

cosx復(fù)合而成.復(fù)合而成.1x是由y

=

au

,

u

=

e

1

x(3)

y

=

arctge–x,

是由y=arctgu,

u

=

復(fù)合而成.(4)

y

=

lncosx2

,

y

=u,

而u

=

lncosx2

,

再分解.u

=lnv,

而v

=cos

x2.再分解.v

=cosw,

而w

=x2.所以,y

=u,

u

=

ln

v,ln

cos

x2

,是由y

=v

=cos

w,

w

=x2復(fù)合而成.xyof(x)單調(diào)遞增yoxf(x)單調(diào)遞減1.

單調(diào)性.設(shè)f

(x)在(a,b)有定義.若"x1,x2?(a,b).x1<x2,有f

(x1)￡f

(x2)(f

(x1)?f

(x2)),則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).區(qū)間(a,b)稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).五、函數(shù)的基本特性如,

y

=

x2,

圖y=x20xy在(-￥

,0]上單調(diào)遞減,而在[0,+￥)上單調(diào)遞增.奇偶性.設(shè)f

(x)的定義域?yàn)镈(f

).滿足"x?

D(f

).有–x?

D(f

).

若"x?

D(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數(shù).其圖形關(guān)于y

軸對(duì)稱.

若"x?

D(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數(shù).其圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.易見,常函數(shù)y=c是偶函數(shù).狄利克萊函數(shù)D(x)也是偶函數(shù).因?yàn)槿魓為有理數(shù),

則–x也是有理數(shù),

從而若x為無(wú)理數(shù),

則–x也是無(wú)理數(shù),

從而綜合起來(lái),總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個(gè)偶函數(shù).D(x)=

D(–

x)=1D(x)=

D(–

x)=03.

周期性.設(shè)f

(x)的定義域?yàn)镈(f

).若存在常數(shù)T?0,使"

x?

D(f

).

有x–T?

D(f

).

且

f(x–T)=f

(x).則稱f

(x)為周期函數(shù).T為f

(x)的周期.由于周期函數(shù)的函數(shù)值是呈周期變化.因此,周期函數(shù)的圖形也是呈周期性變化.會(huì)周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn).如y=sinx,y=cosx.畫周期函數(shù)圖形可以先在一周期內(nèi)畫好,然后向數(shù)軸兩端平移.易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f

(x)的周期.如y=sinx,2np都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2p.又如,

y

=

sin

2

x

=

1

-

cos

2x

是周期函數(shù),2它的周期為np,

n=1,2,…最小正周期為p.有些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期.如常數(shù)函數(shù)y=f(x)=c(常數(shù)),是一個(gè)周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的常數(shù)T都是它的一個(gè)周期.這是因?yàn)?/p>

f

(x)=

c=

f

(x+T)在這無(wú)窮多個(gè)大于0的周期T中,找不到一個(gè)最小的正周期T.又如,狄利克萊函數(shù)D(x)也是周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的有理數(shù)T都是D(x)的周期.因?yàn)?i)若x為有理數(shù),則x+T也是有理數(shù).從而

D(x)

=

1

=

D(x+T

)(ii)若x為無(wú)理數(shù),則x+T也是無(wú)理數(shù).從而

D(x)

=

0

=

D(x+T

)所以,

總有D(x)

=

D(x+T

).

即T是D(x)的周期.但是在這無(wú)窮多個(gè)大于0的有理數(shù)T中,找不到一個(gè)最小的T.幾何意義：由于|

f

(x)|￡M

-M￡

f

(x)￡M.因此,f(x)在(a,b)內(nèi)有界.就表示了

f

(x)的圖形夾在兩平行直線

y

=–M

之間.xo

ab-MyM4.

有界性定義4.設(shè)f(x)在(a,b)有定義,若存在常數(shù)M>0,使

"x?(a,b),有|

f(x)|￡M.則稱f

(x)在(a,b)內(nèi)有界.否則,稱f(x)在(a,b)內(nèi)無(wú)界.若$M

,使"x?(a,b),1有f

(x)￡

M1,則稱f

(x)在(a,b)內(nèi)有上界.M1稱為它的一個(gè)上界,看圖.若$M2,使"x?(a,b),有M2

￡

f(x),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有下界.M2稱為它的一個(gè)下界,看圖.xyo

abM2xoabyM1f

(x)在(a,

b)有界