一元二次不等式及其解法知識梳理及典型練習(xí)題(含答案)

一元二次不等式及其解法知識梳理及典型練習(xí)題(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為ax>b(a≠0)的形式。當(dāng)a>0時，解集為x>b/a；當(dāng)a<0時，解集為x<b/a。2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。(2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的解集。(3)一元二次不等式的解：對于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我們可以先求出其對應(yīng)的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根據(jù)一元二次函數(shù)的圖像，判斷不等式的解集。3.分式不等式解法對于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我們可以先化為標(biāo)準(zhǔn)型，即將右邊化為0，左邊化為分母的符號，然后將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。對于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我們可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根據(jù)分式函數(shù)的圖像判斷不等式的解集。例題1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，則A∩B＝[-2,-1]。例題2：設(shè)f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，則f(x)>0的解集為{x|x≠1，x∈R}。例題3：已知-2<x/11<1/2，則x的取值范圍是-22<x<11。解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解為x1＝－1，x2＝2.根據(jù)題意，不等式在(1，4)內(nèi)有解，即在x1和x2之間有解，則2x2－8x－4－a的圖像必定開口向上，且在x1和x2處有兩個零點。又因為a>0時，圖像整體上移，不可能在(1，4)內(nèi)有解，故a<0.又因為當(dāng)a＝－4時，2x2－8x－4＝0在(1，4)內(nèi)有解，故a的取值范圍是a<－4.故選A.(1)給定不等式$2x^2-8x-4-a>0$在區(qū)間$(1,4)$內(nèi)有解，即$a<2x^2-8x-4$在區(qū)間$(1,4)$內(nèi)有解。令$f(x)=2x^2-8x-4=2(x-2)^2-12$，當(dāng)$x=2$時，$f(x)$取最小值$f(2)=-12$；當(dāng)$x=4$時，$f(4)=2(4-2)^2-12=-4$，所以在區(qū)間$(1,4)$上，$-12\leqf(x)<-4$。要使$a<f(x)$有解，則$a<-4$。故選D。(6)若不等式$x^2-kx+k-1>0$對$x\in(1,2)$恒成立，則實數(shù)$k$的取值范圍是$(-\infty,2]$。由$x\in(1,2)$，得$x-1>0$，則$x^2-kx+k-1=(x-1)(x+1-k)>0$，等價于$x+1-k>0$，即$k<x+1$恒成立。由于$2<x+1<3$，所以只要$k\leq2$即可。故填$(-\infty,2]$。(7)已知函數(shù)$f(x)=x^2+mx-1$，若對于任意$x\in[m,m+1]$，都有$f(x)<0$成立，則實數(shù)$m$的取值范圍是$(-2,2)$。由題可得$f(x)<0$對于$x\in[m,m+1]$恒成立，即$f(m)<0$且$f(m+1)<0$。解得$2m-1<f(m)<0$，$2m^2+3m<f(m+1)<0$，即$-\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}$。故填$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。(8)若關(guān)于$x$的不等式$x^2-ax-a\leq-3$的解集不是空集，則實數(shù)$a$的取值范圍是$a\leq-6$或$a\geq2$。不等式$x^2-ax-a\leq-3$的解集不是空集$\Leftrightarrowx^2-ax-a+3$的判別式$\Delta\geq0$，解得$a\leq-6$或$a\geq2$。(9)已知二次函數(shù)$f(x)$的二次項系數(shù)為$a$，且不等式$f(x)>-2x$的解集為$(1,3)$。(1)若方程$f(x)+6a$有兩個相等的實根，求$f(x)$的解析式；(2)若$f(x)$的最大值為正數(shù)，求$a$的取值范圍。(1)由題可得$f(x)+2x>0$的解集為$(1,3)$，故$f(x)+2x=a(x-1)(x-3)$，且$a<0$。因而$f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax^2-(2+4a)x+3a$。由方程$f(x)+6a$有兩個相等的實根，得$ax^2-(2+4a)x+9a=0$，即$5a^2-4a-1=0$，解得$a=1$或$a=-\frac{1}{5}$。由于$a<0$，舍去$a=1$，將$a=-\frac{1}{5}$代入$f(x)$的解析式，得$f(x)=-\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}$。(2)由$f(x)=ax^2-2(1+2a)x+3a=\frac{a}{2}(x-(1+2a))^2