專題10空間向量與立體幾何-高考數(shù)學真題題源解密（全國卷）（原卷版）

2023年高考數(shù)學真題題源解密（全國卷）專題10空間向量與立體幾何目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一空間幾何體的表面積和體積考向二三視圖考向三點線面的位置關系考向四空間中的夾角問題②真題考查解讀③近年真題對比考向一空間幾何體的表面積和體積考向二三視圖考向三點線面的位置關系考向四空間中的夾角問題④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯易混速記考向一空間幾何體的表面積和體積一、單選題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第8題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國甲卷文數(shù)第10題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．33．（2023·全國甲卷理數(shù)第11題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·全國甲卷文數(shù)第16題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．三、解答題5．（2023·全國乙卷文數(shù)第19題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．6．（2023·全國甲卷文數(shù)第18題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．考向二三視圖一、單選題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第3題/理數(shù)第3題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．30考向三點線面的位置關系一、單選題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第9題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2023·全國乙卷文數(shù)第16題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．3．（2023·全國甲卷理數(shù)第15題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．考向四空間中的夾角問題一、解答題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第19題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.2．（2023·全國甲卷理數(shù)第18題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【命題意圖】1.空間幾何體(1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二側法畫出它們的直觀圖.(3)會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.(4)會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎上,尺寸、線條等不作嚴格要求).(5)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.3.空間向量及其運算(1)了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.空間向量的應用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量.(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.(3)能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理).(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.【考查要點】高頻考點：面面角，垂直關系的證明；中頻考點：體積、球及球的切接，線線角、線面角；低頻考點：平行關系的證明?！镜梅忠c】（1）簡單幾何體和組合幾何體是培養(yǎng)學生空間想象能力的一個很好的載體，可以單獨考查，如幾何體的識別，距離和截面面積的計算；也可以與體積、表面積結合考查，重點考查簡單幾何體的表面積或體積，一般為小題，多為低檔題．球與簡單幾何體的切接問題或與之有關的最值問題，題型為選擇題或填空題，這是一類重點問題，有時難度相對較大。（2）小題形式多考查平行與垂直的判定與性質，多為基礎題，對于截面問題的考查，難度則有提升；解答題，第一小題多為證明線線、線面、面面垂直與平行；第二問，多數(shù)是利用空間向量的相關知識解決空間角的問題，為中檔題。考向一空間幾何體的表面積和體積一、單選題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第9題/理數(shù)第9題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國甲卷文數(shù)第10題/理數(shù)第9題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國甲卷理數(shù)第11題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（2022·全國乙卷文數(shù)第18題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．5．（2022·全國甲卷文數(shù)第19題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．6．（2021·全國乙卷文數(shù)第18題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．7．（2021·全國甲卷文數(shù)第19題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.三、填空題8．（2021·全國甲卷文數(shù)第14題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為.考向二三視圖一、單選題1．（2022·全國甲卷文數(shù)第4題/理數(shù)第4題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（2021·全國甲卷文數(shù)第7題/理數(shù)第6題）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）B．C．D．二、填空題1．（2021·全國乙卷文數(shù)第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）．考向三點線面的位置關系一、單選題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第7題/理數(shù)第7題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面考向四空間中的夾角問題一、單選題1．（2022·全國甲卷文數(shù)第9題/理數(shù)第7題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為2．（2021·全國乙卷文數(shù)第10題/理數(shù)第5題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（2022·全國乙卷理數(shù)第18題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．4．（2022·全國甲卷理數(shù)第18題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．5．（2021·全國乙卷理數(shù)第18題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2021·全國甲卷理數(shù)第19題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?我們通過比較近三年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，對于空間向量與立體幾何的考查在素養(yǎng)要求的層級上有所提高，但難度不會提升太多，多為基礎性、綜合性題目。理科數(shù)學對創(chuàng)新能力的要求有所提高，所以預計2024年的高考，會加強對創(chuàng)新能力的考查，但總體基調不會發(fā)生太大變化。一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺的上底面為底面，挖去一個半球，則剩余部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京三模）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．（2023·安徽安慶三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．4．（2023·江蘇無錫三模）已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個不同的平面，則下列命題中錯誤的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則5．（2023·河南開封三模）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為36，則圖中的值為（

）

A．2 B． C．3 D．6．（2023·廣東梅州三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側面積為，圓柱的側面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北衡水三模）已知球O的半徑為2，三棱錐底面上的三個頂點均在球O的球面上，，，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023·四川成都三模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（

）

A． B．1 C． D．49．（2023·山東濰坊·三模）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問：斬高幾何？”大致意思是：“有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺的體積為（

）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺10．（2023·河南三模）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內切球的體積為，則（

）

A． B． C． D．11．（2023·河北衡水三模）在正方體中，M是線段（不含端點）上的動點，N為BC的中點，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面12．（2023·河南·襄城三模）已知三棱錐中，平面ABC，，，，，D為PB的中點，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．13．（2023·廣東廣州三模）已知克列爾公式：對任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．14．（2023·福建福州三模）如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．15．（2023·四川·成都三模）如圖，已知正方體的棱長為1，分別是棱，的中點．若點為側面正方形內（含邊界）的動點，且平面，則與側面所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C． D．16．（2023·河南·襄城三模）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．17．（2023·上海虹口三模）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點．有以下三個結論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023·河北張家口三模）風箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.如圖，是某高一年上級學生制作的一個風箏模型的多面體為的中點，四邊形為矩形，且，當時，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．19．（2023·云南三模）如圖，已知半徑為、母線長為的圓錐的側面展開圖是半圓，在其內部作一個半徑為、母線長為的內接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓在圓錐的側面上），若圓柱的側面積與圓錐的側面積之比為，則（

）

A． B． C． D．20．（2023·河南三模）設正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題21．（2023·四川遂寧三模）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為，則該三棱錐外接球的表面積22．（2023·上海奉賢三模）一個正方體和一個球的表面積相同，則正方體的體積和球的體積的比值．23．（2023·上海閔行二模）在中，，，，將繞邊AB旋轉一周，所得到幾何體的體積為.24．（2023·青海西寧二模）關于正方體有如下說法：①直線與所成的角為；

②直線與所成的角為；③直線與平面所成的角為；

④直線與平面ABCD所成的角為．其中正確命題的序號是．25．（2023·山東濟寧三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是.26．（2023·云南曲靖三模）已知點均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為.27．（2023·湖南邵陽三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為.28．（2023·山東青島三模）已知圓錐的底面半徑為1，側面展開圖為半圓，則該圓錐內半徑最大的球的表面積為．29．（2023·山東淄博三模）已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其內切球的表面積之比為.30．（2023·上海黃浦三模）已知正方形ABCD的邊長是1，將沿對角線AC折到的位置，使（折疊后）A、、C、D四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為．31．（2023·河北三模）已知四面體中，，則該四面體體積的最大值為．32．（2023·四川瀘州三模）如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動點，過直線的平面分別與棱，交于點，，則下列結論正確的是．對于任意的點，都有對于任意的點，四邊不可能為平行四邊形當時，存在點，使得為等腰直角三角形存在點，使得直線平面33．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．34．（2023·北京大興三模）如圖，在正方體，中，，分別為線段，上的動點.給出下列四個結論:

①存在點，存在點，滿足∥平面；②任意點，存在點，滿足∥平面；③任意點，存在點，滿足；④任意點，存在點，滿足.其中所有正確結論的序號是.35．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，點在棱上，平面，則三棱錐的外接球的表面積為.36．（2023·廣東深圳二模）如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個圓錐內部，使球與圓錐底面和側面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

37．（2023·陜西商洛三模）在四面體中，，，，若，，則該四面體外接球的表面積為.38．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，，點P為側棱上一點，過A，C兩點作垂直于BP的截面，以此截面為底面，以B為頂點作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值范圍是．39．（2023·河南開封三模）如圖，在棱長為1的正方體中，點P是線段上一動點（不與，B重合），則下列命題中：①平面平面；②一定是銳角；③；④三棱錐的體積為定值．其中真命題的有．40．（2023·陜西寶雞三模）如圖，正方體棱長為2，P是線段上的一個動點，則下列結論中正確的為．①BP的最小值為②存在P點的某一位置，使得P，A，，C四點共面③的最小值為④以點B為球心，為半徑的球面與面的交線長為三、解答題41．（2023·陜西安康三模）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離.42．（2023·北京海淀三模）如圖在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：（i）平面與平面所成角的大?。唬╥i）求點到平面的距離.條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.43．（2023·江西南昌三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．44．（2023·人大附中三模）已知四棱錐的底面為梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判斷直線和的位置關系，并說明理由；(2)若點到平面的距離為，請從下列①②中選出一個作為已知條件，求二面角余弦值大小．①；②為二面角的平面角．45．（2023·浙江溫州二模）在三棱錐中，，平面平面，且.

(1)證明：；(2)若是直線上的一個動點，求直線與平面所成的角的正切值最大值.46．（2023·河北三模）如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線交于點，且平面是的中點，是線段上一動點．

(1)當平面平面時，試確定點的位置，并說明理由；(2)在（1）的前提下，點在直線上，以為直徑的球的表面積為．以為原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求點的坐標．47．（2023·江西師大附中三模）已知四棱錐的底面是正方形，，是棱上任一點．

(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離．48．（2023·福建福州二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.49．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大??；(3)求點到平面的距離.50．（2023·山東菏澤三模）已知在直三棱柱中，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．51．（2023·河南·襄城三模）如圖所示，在直四棱柱中，，，且是的中點.

(1)證明：；(2)若，求四棱柱的體積.52．（2023·河南開封三模）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點.(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.53．（2023·河北衡水三模）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.54．（2023·福建福州三模）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時針旋轉到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點.

(1)當為何值時，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.55．（2023·四川成都三模）如圖，四棱柱的側棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，的中點.

(1)證明：四點共面；(2)若，求點A到平面的距離.56．（2023·陜西寶雞二模）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點是棱的中點，點是棱上的一點，且．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．57．（2023·河北張家口三模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.58．（2023·廣東深圳二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.59．（2023·河南三模）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，∥，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．

(1)求證：直線∥平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．60．（2023·廣東梅州三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.

(1)證明：平面平面.(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.平行的判定文字語言圖形語言符號語言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有