專題25平面幾何的最值問(wèn)題

專題25平面幾何的最值問(wèn)題例題與求解【例1】在Rt中，CB=3,CA=4,M為斜邊45上一動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M作AC于點(diǎn)。，過(guò)M作于點(diǎn)￡,則線段的最小值為.解題思路：四邊形CDME為矩形，連結(jié)CM，則DE=CM，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求CM的最小值.【例2】如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=10cm.若在AC,AB上各取一點(diǎn)M,N,使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值.（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連結(jié)B'M，B'A，則BM=B'M，從而BM+MN=B'M+MN要使BM+MN的值最小，只需使B'M十MN的值最小，當(dāng)B',M,N三點(diǎn)共線且B'N⊥AB時(shí)，B'M+MN的值最小.【例3】如圖，已知口ABCD,AB=a,BC=b（a>b）,P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，直線DP交CB的延長(zhǎng)線于Q.求AP+BQ的最小值. （永州市競(jìng)賽試題）解題思路:設(shè)AP=x，把AP,BQ分別用X的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等式以a2+b2≥2ab或a+b≥2Ya（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最小值.【例4】閱讀下列材料：?jiǎn)栴}如圖1,一圓柱的底面半徑為5dm,高AB為5dm,BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：BABC圖1C路線1：側(cè)面展開圖中的線段Ac如圖2所示.設(shè)路線l的長(zhǎng)度為11，貝U112=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π.路線2：高線AB十底面直徑BC如圖1所示.設(shè)路線l的長(zhǎng)度為12，則122=(BC+AB)2=(5+10)2=225.?.?112-122=25+25∏2-225=25π—200=25(π-8),Λ112>122,Λ11>12.所以，應(yīng)選擇路線2.(1)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：路線1：1J=AC2=；路線2：122=(AB+BC)2=.?112122,；.1112(填“>”或“<”)，所以應(yīng)選擇路線(填“1”或“2”)較短.(2)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為廠，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短.解題思路：本題考查平面展開一最短路徑問(wèn)題.比較兩個(gè)數(shù)的大小，有時(shí)比較兩個(gè)數(shù)的平方比較簡(jiǎn)便.比較兩個(gè)數(shù)的平方，通常讓這兩個(gè)數(shù)的平方相減.【例5】如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，有一個(gè)角銹蝕，其中AF=2,BF=1.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形EABCD內(nèi)截取一個(gè)矩形塊MDNP，使點(diǎn)P在AB上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率. (中學(xué)生數(shù)學(xué)智能通訊賽試題)解題思路：設(shè)DN=x,PN=y，則S=Xy.建立矩形MDNP的面積S與X的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求S的最大值，進(jìn)而求鋼板的最大利用率.能力訓(xùn)練A級(jí).如圖,將兩張長(zhǎng)為8、寬為2的矩形紙條交叉,使重疊部分是一個(gè)菱形.容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)有最小值，那么菱形周長(zhǎng)的最大值是 . (煙臺(tái)市中考試題).D是半徑為5cm的。O內(nèi)一點(diǎn)，且OD=3cm,則過(guò)點(diǎn)O的所有弦中，最短的弦AB=cm..如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)BC=4,寬AB=3,高BB1=5.一只小蟲由A處出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬行到C1,這時(shí)小蟲爬行的最短路徑的長(zhǎng)度是.如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB,CA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（ ）A.4√2 B.4.75 C.5 D.4.8.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)OA=6,底面圓的半徑為2.一小蟲在圓錐底面的點(diǎn)A處繞圓錐側(cè)面一周又回到點(diǎn)A，則小蟲所走的最短距離為（ ）A.12 B.4π C.6√2 D.6√-3.如圖，已知/MON=40°,P是∠MON內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別在射線OM,ON上移動(dòng)，當(dāng)△PAB周長(zhǎng)最小時(shí)，∠APB的值為（ ）A.80° B.100° C.120° D.140°.如圖，AD是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為AD上任意一點(diǎn).若AC=5,則四邊形ACBP周長(zhǎng)的最大值是（ ）A.15 B.20 C.15+5J2 D.15+5<5第6題圖 第7題圖 第8題圖.如圖，在正方形ABCD中，AB=2,E是AD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A,D不重合），BE的垂直平分線交AB于M，交DC與N.(1)設(shè)A￡=%,四邊形A。；W的面積為S,寫出S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形A。；W的面積最大？最大值是多少？.如圖，六邊形A5CQE/內(nèi)接于半徑為廠的。0,其中4。為直徑，且AB=CQ=QE=El.(1)當(dāng)NA4。=75。時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)求證：BC//AD//FE；(3)設(shè)45=%,求六邊形A5CQE/的周長(zhǎng)/關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并指出％為何值時(shí)，/取得最大值..如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2,BC=3,點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)(P異于A、D).Q是BC邊上任意一點(diǎn).連結(jié)AQ,DQ,過(guò)P作PE〃DQ交于AQ于E,作PF//AQ交DQ于F.(1)求證：△APEs^ADQ；(2)設(shè)AP的長(zhǎng)為％，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時(shí)，S△PEF取得最大值？最大值為多少？(3)當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最??？(須給出確定Q在何處的過(guò)程或方法，不必證明).在等腰4ABC中，AB=AC=5,BC=6.動(dòng)點(diǎn)M,N分別在兩腰AB,AC上(M不與A,B重合，N不與A,C重合)，且MN〃5。.將4AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.(1)當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上?(2)設(shè)MN=%,△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為》試寫出y與1的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)％為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？AMNBCB級(jí).已知凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16,且S四邊彤ABa)=32,那么當(dāng)AC= ,BD=,時(shí)，四邊形ABCD面積最大，最大值是.四也.如圖，已知^ABC的內(nèi)切圓半徑為r,∠A=60°,BC=2√3，則r的取值范圍是.(江蘇省競(jìng)賽試題)第5題圖第2題圖 第3題圖 第4題圖.如圖。O的半徑為2,ΘO內(nèi)的一點(diǎn)P到圓心的距離為1,過(guò)點(diǎn)P的弦與劣弧AB組成一個(gè)弓形，則此弓形面積的最小值為..如圖，△ABC的面積為1,點(diǎn)D,G,E和F分別在邊AB,AC,BC上，BD<DA,DG//BC,DE/AC,GF/AB，則梯形DEFG面積的最大可能值為..已知邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC,兩頂點(diǎn)A,B分別在平面直角坐標(biāo)系的％軸，y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連結(jié)OC,則OC的最大值是..已知直角梯形ABCD中，AD/BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為( )A.—√17 B.—√17 C.—√17 D.317 17 17第6題圖 第7題圖 第8題圖.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B,C重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q.設(shè)BP的長(zhǎng)為％cm,CQ的長(zhǎng)為jcm.(1)求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中j的最大值；1(2)當(dāng)j=4cm時(shí)，求％的值..如圖，J軸正半軸上有兩點(diǎn)A(0,a),B(0,b),其中a>b>0.在％軸上取一點(diǎn)C,使∠ACB最大，求C點(diǎn)坐標(biāo)..如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)M,N分別在BC,CD上，使得△CMN的周長(zhǎng)為2.求:∠MAN的大??；△MAN的面積的最小值.10,如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于F,DE與AB相交于點(diǎn)E.(1)求證：AB?AF=CB?CD；(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DP=