2021年高考真題-數(shù)學(xué)（全國乙卷）（理科）

2021年高考真題——數(shù)學(xué)（全國乙卷）（理科）1.設(shè)，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)相等的條件及應(yīng)用答案：C解析：設(shè)則則所以解得因此.故選.總結(jié)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用待定系數(shù)法建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.2.已知集合，，則

（

）A.

?B.

C.

D.

知識點(diǎn)：交集子集答案：C解析：因?yàn)楫?dāng)時，集合中任意元素

所以，于是．

故選C．?總結(jié)：本題考查集合的包含關(guān)系，以及交集運(yùn)算.3.已知命題：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是

（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：或、且、非的綜合應(yīng)用非或且命題的真假性判斷答案：A解析：對于命題：，，

當(dāng)時，，故命題為真命題，為假命題；

對于命題：，，

因?yàn)?，又函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，

故命題為真命題，為假命題，

所以為真命題，為假命題，為假命題，為假命題，

故選A．總結(jié)：本題考查了命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握全稱命題和存在性命題真假的判斷方法，考查了邏輯推理能力．4.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移變換函數(shù)奇、偶性的定義函數(shù)的對稱性答案：B解析：方法一：所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，故選.

方法二：對于故不是奇函數(shù)，故不正確；對于是奇函數(shù)，故正確；同理顯然的圖象均不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此都不是奇函數(shù)，故不正確.故選.總結(jié)：本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對稱中心，考查了邏輯推理能力．5.在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：異面直線所成的角答案：D解析：方法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為則所以所以〈〉又直線與所成的角為銳角，所以直線與所成的角為故選.

方法二：如圖，連接易知所以與所成的角即為與所成的角.連接易知為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，故所以直線與所成的角為故選.

6.將

名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺

個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到

個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配

名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A.

種

B.

種

C.

種

D.

種知識點(diǎn)：排列與組合的綜合應(yīng)用答案：C解析：

名志愿者選

個

組，有

種方法，然后

組進(jìn)行全排列，有

種，共有

種，故選C．?總結(jié)：本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵．7.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：由的圖象變換過程三角函數(shù)的圖象變換答案：B解析：把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，

把函數(shù)的圖象，向左平移個單位長度，得到的圖象；

再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象．

故選B．?總結(jié)：本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬基礎(chǔ)題．8.在區(qū)間與中各隨機(jī)取個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A.

B.

C.

D.

?知識點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃問題事件的互斥與對立幾何概型答案：B解析：本題屬于幾何概型問題，可轉(zhuǎn)化為已知求的概率.如圖所示，則所求概率

??故選.

?總結(jié)：本題考查了線性規(guī)劃知識、三角形的面積、幾何概型、對立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力．9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖，點(diǎn)，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為表高，稱為表距，和都稱為表目距，與的差稱為表目距的差，則海島的高

?A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：用余弦定理、正弦定理解三角形三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化答案：A解析：，，故，即，

解得：，，

故：．

故選A．?總結(jié)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力．10.設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值答案：D解析：因?yàn)椋?/p>

（Ⅰ）所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)，無極值，不合條件；

(Ⅱ)當(dāng)時，因?yàn)?，所以?/p>

①若并且時，，由，得：或，由，得：，所以這時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合條件；?

②若，并且時，，由，得：或，由，得：，所以這時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合條件；?

③若，并且時，，由，得：，由，得：或，這時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合條件；

④若，并且時，，由，得：，由，得：或，所以這時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合條件；

因此，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則，必須滿足條件：并且或并且．由此可見，A，B均錯誤；又總有成立，所以C錯誤，D正確．

故選D．

總結(jié)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、極值點(diǎn)，考查一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，屬于較難題．11.設(shè)是橢圓：的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：橢圓的離心率橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的范圍答案：C解析：由題意得設(shè)則所以

.因?yàn)樗援?dāng)即時，即符合題意，由可得即；當(dāng)即時即化簡得顯然該不等式不成立.綜上可知的離心率的取值范圍是.故選.12.設(shè)，，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性不等式比較大小答案：B解析：，，

，

令，，

令，則

，

?，

，

在上單調(diào)遞增，

，

，，

同理令，

再令，則

，

.

，

，

在上單調(diào)遞減，

，

，

，

．

故選B．總結(jié)：本題考查了不等式的大小比較，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．13.已知雙曲線：的一條漸近線為，則的焦距為

?．知識點(diǎn)：雙曲線的漸近線雙曲線的其他性質(zhì)答案：4解析：根據(jù)題意，雙曲線：的一條漸近線為，

則有，解可得，

則雙曲線的方程為，

則，

其焦距；

故答案為．14.已知向量，，若，則??

?．知識點(diǎn)：向量坐標(biāo)與向量的數(shù)量積向量垂直答案：解析：因?yàn)橄蛄?/p>

則，

又，

所以，

解得．

故答案為．15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則

?．知識點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用答案：解析：的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，

，

又，（負(fù)值舍）

故答案為．16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為

?（寫出符合要求的一組答案即可）．

知識點(diǎn)：三視圖答案：②⑤或③④解析：由題可知側(cè)視圖只能是②或③.若側(cè)視圖是②，則三棱錐的直觀圖如圖其中平面平面此時俯視圖為⑤；若側(cè)視圖是③，則三棱錐的直觀圖如圖其中平面此時俯視圖為④.綜上所述，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為②⑤或③④.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了

件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備新設(shè)備舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．知識點(diǎn)：方差與標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)答案：(1)由題中的數(shù)據(jù)可得，

,

,

,

(2)，

，

所以，

故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．解析：(1)略(2)略18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為中點(diǎn)，且．

(1)求；(2)求二面角的正弦值．知識點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理用空間向量研究兩個平面所成的角答案：(1)連結(jié)，因?yàn)榈酌?，且平面，則，

又，，，平面，

所以平面，又平面，則，

所以，又，

則有，

所以，

則，所以，解得；

(2)因?yàn)閮蓛纱怪保室渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，0，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

則有即

令，則，，故，

設(shè)平面的法向量為，

則有即

令，則，故，

所以，

設(shè)二面角的平面角為，

則

，

所以二面角的正弦值為．解析：(1)連結(jié)，利用線面垂直的性質(zhì)定理證明，從而可以證明平面，得到，證明，即可得到的長度；(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．

本題考查了空間中線段長度求解以及二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．19.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．知識點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的定義與證明數(shù)列的通項(xiàng)公式答案：(1)當(dāng)時，，

由，解得，

當(dāng)時，，

代入，消去，

可得，所以

所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．(2)由題意，得，

由，可得，

由，可得

當(dāng)時，，

顯然不滿足該式，

所以?解析：(1)略(2)略20.己知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求；(2)設(shè)函數(shù)證明：．知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與極值利用導(dǎo)數(shù)證明不等式答案：(1)由題意，的定義域?yàn)椋?/p>

令，則，，

則，

因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，

即，所以，

當(dāng)時，

，且，

因?yàn)椋?/p>

則在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以時，時函數(shù)的一個極大值．

綜上所述，；?(2)證明：由可知，，

要證，即需證明，

因?yàn)楫?dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以需證明，

即，

令，

則，

所以，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以為的極小值點(diǎn)，所以，

即，

故，所以．?解析：(1)確定函數(shù)的定義域，令，由極值的定義得到，求出的值，然后進(jìn)行證明，即可得到的值；(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，證明，即可證明．總結(jié)：(2)本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，此類問題經(jīng)常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的取值范圍問題，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于難題．21.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，且與圓：上點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求；(2)若點(diǎn)在上，，為的兩條切線，，是切點(diǎn)，求面積的最大值．知識點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義與圓有關(guān)的最值問題圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得；(2)由知，拋物線的方程為，即，則，

設(shè)切點(diǎn)，，

則易得，，

從而得到，

設(shè)：，聯(lián)立拋物線方程，消去并整理可得，

，即，且，，

，

，

，

①，

又點(diǎn)在圓：上，故，

代入①得，，

而，

當(dāng)時，．?解析：(1)由點(diǎn)到圓上的點(diǎn)最小值為建立關(guān)于的方程，解出即可；?(2)對求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出直線及的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的方程與拋物線方程聯(lián)立，可得，以及點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而表示出的面積，再求出其最小值即可．總結(jié)：(2)本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力．22.在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為．(1)寫出的一個參數(shù)方程；(2)過點(diǎn)作的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．知識點(diǎn)：簡單曲線的參數(shù)方程簡單曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用答案：(1)的圓心為，半徑為，

則的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

的一個參數(shù)方程為（為參數(shù)．(2)由題意可知兩條切線方程斜率存在，設(shè)切線方程為，即，

圓心到切線的距離，

解得，

所以切線方程為，

因?yàn)?，?/p>

所以這兩條切線的極坐標(biāo)方程為．解析：(1)求出的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得的參數(shù)方程；(2)求出直角坐標(biāo)系中的切線方程，再由，即可求解這兩條切線的極坐標(biāo)方程．總