人教版高中數(shù)學選擇性必修第三冊6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2) B組能力提高訓練含解析

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人教版高中數(shù)學選擇性必修第三冊

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)B組能力提高訓練（原卷版）

一、選擇題

1．如圖所示,連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有()個.

A．40B．30C．20D．10

2．（2023·山東菏澤高二期末）高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）

A．16種B．18種C．37種D．48種

3．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當?shù)啬吃氯罩寥?，共天的限行?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．（2023·張家口市宣化第一中學高三月考）用紅，黃，藍，綠，黑這5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，則“在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）

A．B．C．D．

5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都喜歡，如果三位同學對選取的禮物都滿意，則選法有()

A．種B．種

C．種D．種

6.（2023·山東菏澤高二期末）已知三邊，，的長都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個數(shù)是（）

A．B．C．D．

二、填空題

7．（2023·三亞華僑學校高二開學考試）某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．

8．現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是_______種.

9．（2023·浙江溫州市浙鰲高級中學高二期中）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）

10．（2023·山東菏澤高二期末）從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有____________個

三、解答題

11．（2023·全國高三專題練）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：

乘坐站數(shù)0＜x≤33＜x≤66＜x≤9

票價（元）234

現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.

（1）若小華、小李兩人共付費5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？

（2）若小華、小李兩人共付費6元，求小華比小李先下地鐵的概率.

12．用這六個數(shù)字，完成下面兩個小題．

（1）若數(shù)字不允許重復，可以組成多少個能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù)；

（2）若直線方程中的可以從已知的六個數(shù)字中任取個不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條？

人教版高中數(shù)學選擇性必修第三冊

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)B組能力提高訓練（解析版）

一、選擇題

1．如圖所示,連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有()個.

A．40B．30C．20D．10

【答案】A

【詳解】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32（個）；

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8（個）．由分類加法計數(shù)原理知，共有32+8＝40（個）．

2．（2023·山東菏澤高二期末）高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）

A．16種B．18種C．37種D．48種

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有種情況，

其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有種方案；則符合條件的有種．

3．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當?shù)啬吃氯罩寥?，共天的限行?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【詳解】日至日，分別為，有天奇數(shù)日，天偶數(shù)日，

第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有種選擇，共有種，

第二步安排偶數(shù)日出行分兩類，第一類，先選天安排甲的車，另外一天安排其它車，有種，

第二類，不安排甲的車，每天都有種選擇，共有種，共計，

根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)共有.故選D.

4．（2023·張家口市宣化第一中學高三月考）用紅，黃，藍，綠，黑這5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，則“在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【詳解】5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色方法數(shù)為，有公共邊的三角形為同色，先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他三個三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法為，所以所求概率為．

5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都喜歡，如果三位同學對選取的禮物都滿意，則選法有()

A．種B．種

C．種D．種

【答案】A

【詳解】①若甲同學選擇牛，則乙同學有種選擇，丙同學有種選擇，選法種數(shù)為，

②若甲同學選擇馬，則乙同學有種選擇，丙同學有種選擇，選法種數(shù)為，

綜上，共有選法為種．

6.（2023·山東菏澤高二期末）已知三邊，，的長都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關系，有，

當時，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當時，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當時，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當時，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當時，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝．

二、填空題

7．（2023·三亞華僑學校高二開學考試）某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．

【答案】

【詳解】選2個班參加社會實踐，這2個班不同年級，

2個班為高一和高二各一個班有，

2個班為高二和高三各一個班有，

2個班為高三和高一各一個班有，

所以不同的選法共有.

8．現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是_______種.

【答案】1535

【詳解】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去這些人民幣全不取的1種情況，所以共有種．

9．（2023·浙江溫州市浙鰲高級中學高二期中）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）

【答案】1560

【詳解】解：分4步進行分析：

①，對于區(qū)域，有6種顏色可選；

②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；

③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有4種顏色可選，

若與顏色不相同，區(qū)域有3種顏色可選，區(qū)域有3種顏色可選，

則區(qū)域、有種選擇，

則不同的涂色方案有種.

10．（2023·山東菏澤高二期末）從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有____________個

【答案】98

【詳解】當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.

當公差為時，數(shù)列可以是：，共1種情況.

總的情況是.

又因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個.

三、解答題

11．（2023·全國高三專題練）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：

乘坐站數(shù)0＜x≤33＜x≤66＜x≤9

票價（元）234

現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.

（1）若小華、小李兩人共付費5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？

（2）若小華、小李兩人共付費6元，求小華比小李先下地鐵的概率.

【詳解】

（1）小華、小李兩人共付費5元，所以小華、小李一人付費2元一人付費3元，付費2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費3元的乘坐站數(shù)有4，5，6三種選擇，所以小華、小李下地鐵的方案共有種；

（2）小華、小李兩人共付費6元，所以小華、小李一人付費2元一人付費4元或兩人都付費3元，付費4元的乘坐站數(shù)也有7，8，9三種選擇，因此小華、小李下地鐵的方案共有種；其中小華比小李先下地鐵的方案共有種；因此小華比小李先下地鐵的概率為

12．用這六個數(shù)字，完成下面兩個小題．

（1）若數(shù)字不允許重復，可以組成多少個能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù)；