近世代數(shù)期末輔導(dǎo)市公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

《近世代數(shù)》期末輔導(dǎo)一、群論二、環(huán)論11/24例1：設(shè)G={a,b,c},其乘法表如下：一、群論：

1、群定義，子群，不變子群證明：G是半群，但不是群。22/24證明：由于對(duì)任意G中三個(gè)元素因此G是半群，但由于G中沒有單位元素，因此G不是群。由于a不是單位元，不然也不是單位元，不然同樣，c也不是單位元。33/244例2：設(shè)H是群G中指數(shù)為2子群，則H是G不變子群。證明：指數(shù)為2是說G有關(guān)H左陪集個(gè)數(shù)只有2個(gè)。因此，G有關(guān)H左陪集可表達(dá)為H和aH，其中a是G任意一種不屬于H元素。從而對(duì)任意兩個(gè)不屬于H元素a和b,有aH=bH.假如存在hH,使得則,于是,故,矛盾。因此,即H是G不變子群。例3：設(shè)A，B是群G兩個(gè)子群，證明：假如AB是G子群，則AB=BA.4/24證：注意AB={}.因此，假如AB是群G子群，則.因此又對(duì)任意,例如其中,于是,即因此AB=BA.55/242、對(duì)稱群:A={1,2,…,n}上所有雙射組成集合，并按映射合成組成群。記為（1）運(yùn)算：(2)循環(huán)體現(xiàn)，如：66/24例：計(jì)算例：乘法表77/243、群同態(tài)例：設(shè)G是群，是群同態(tài)充足必要條件是G是交換群。證明：對(duì)任意,f是群同態(tài)，則從而，即G是交換群。假如G是交換群，則因此f是群同態(tài)。88/244、循環(huán)群設(shè)G是一種群，稱由a生成子群是G一種循環(huán)子群，尤其當(dāng)G=時(shí)，稱G是循環(huán)群。例：設(shè)G是階數(shù)有限循環(huán)群，則存在自然數(shù)n使這是模n剩下類加法群.證明：設(shè)G=，假如元素a周期為n,則n是自然數(shù)。于是G={}.令,直接驗(yàn)證是群同構(gòu).99/24二.環(huán)論環(huán)定義：設(shè)R是非空集合，并有二個(gè)代數(shù)運(yùn)算，分別稱為加法與乘法，并記為“+”與“.”,還滿足：（1）（R，+）是交換群（2）（R，.）是半群，即有乘法結(jié)合律.(3)乘法對(duì)加法有分派律.10/241、冪零元，可逆元等例：設(shè)R是交換環(huán)，則R中冪零元和是冪零元，但冪零元與可逆元和是可逆元。證明：設(shè)是冪零元，于是假如c是可逆元，由于并且也是冪零元，因此是可逆元，故是可逆元。1011/242、左抱負(fù)，右抱負(fù)，抱負(fù)（1）定義：I是環(huán)R左抱負(fù),假如對(duì)I中任意兩個(gè)元素a,b,有,并且對(duì)任意有類似有右抱負(fù)，抱負(fù)（雙邊抱負(fù)）定義.(2)假如I是環(huán)R抱負(fù)，則可構(gòu)造商環(huán),運(yùn)算是例：模n剩下類環(huán)其中元素,習(xí)慣記為1112/243、模n剩下類環(huán)中計(jì)算()例：在中計(jì)算下面兩個(gè)多項(xiàng)式加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算：解：1213/24例：在中求元素逆元。解：由于，因此4、設(shè)是整數(shù)環(huán)Z中兩個(gè)主抱負(fù)，求生成元a,b使解：a是n與m最大條約數(shù)，b是n與m最小公倍數(shù)。例：求生成元a,b使解：a=12,b=721314/24,然后按抱負(fù)定義證明：5、環(huán)同態(tài)因此,Ker(f)是抱負(fù)。例：設(shè)是環(huán)同態(tài)，則Ker(f)是R抱負(fù)。證明：由于,假如則1415/2415例：設(shè)R=是整數(shù)環(huán)上2階矩陣環(huán)，矩陣證明：是環(huán)同態(tài)，并問是否為環(huán)同構(gòu)？證：因此是映射，只須證明保持環(huán)運(yùn)算故是環(huán)同態(tài)，又是雙射，因此是環(huán)同構(gòu)。16/246、極大抱負(fù)例：在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)Q[x]中，證明主抱負(fù)<x>是極大抱負(fù)。因此<x>是極大抱負(fù)。例：在整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)Z[x]中，證明主抱負(fù)<x>不是極大抱負(fù)。由于不是域。1617/247、素抱負(fù)、完全素抱負(fù)設(shè)R是環(huán)，真抱負(fù)I稱為素抱負(fù)，假如對(duì)R中任意兩個(gè)抱負(fù)A，B，若,有或設(shè)R是環(huán)，抱負(fù)I稱為完全素抱負(fù)，假如對(duì)R中任意兩個(gè)元素有或例：是域當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)nZ是素抱負(fù)當(dāng)且僅當(dāng)nZ是極大抱負(fù)。例：Z中零抱負(fù){0}是素抱負(fù)也是完全素抱負(fù),但不是極大抱負(fù)。1718/248、相伴元，既約元，素元在整環(huán)R中，兩個(gè)元素a,b稱為相伴元，假如存在可逆元d使得a=db.在整環(huán)R中，非零非可逆元素p稱為既約元，假如p=ab,則a是可逆元或a與p是相伴元。當(dāng)然對(duì)于b也是如此。在整環(huán)R中，非零非可逆元素p稱為素元，假如p整除ab，則p整除a或p整除b.1819/2419素元都是既約元，但反之不對(duì)。但在主抱負(fù)環(huán)中，既約元也是素元。例、證明是整環(huán)，并且2是該整環(huán)既約元，但不是素元。證明：首先證明是有單位元1交換環(huán)，然后證明，該環(huán)是無零因子環(huán).事實(shí)上，假如,則20/24假如,則于是從而

目前若假如則由于a,b,c,d都是整數(shù)，因此上式是不也許。故d=0,同理b=0,于是則2021/24因此可逆元只能是1或-1.于是2不是可逆元。但若2=則2=于是4=故因此2是既約元。2122/24但2|4=，并且2不整除因此2不是素元。例、M=<p>是主抱負(fù)環(huán)R一種非零抱負(fù)，并且MR,則M是極大抱負(fù)當(dāng)且僅當(dāng)p是既約元。例、M=<x+3>是多項(xiàng)式環(huán)Q[x]極大抱負(fù)，由于x+3是Q[x]既約多項(xiàng)式。2223/249、歐氏環(huán)，唯一分解環(huán)歐氏環(huán)：整環(huán)，且有帶余除法環(huán)。詳細(xì)說，設(shè)R是整環(huán)，假如存在R