(完整版)蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊知識點(詳細(xì)精華版)

(完整版)蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊知識點(詳細(xì)精華版)數(shù)據(jù)處理一般包括收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)等過程。在通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)時，需要明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對象、選擇調(diào)查方法、展開調(diào)查、記錄結(jié)果和得出結(jié)論。常用的數(shù)據(jù)收集方法包括民意調(diào)查、實地調(diào)查和媒體調(diào)查等。數(shù)據(jù)的表示方法有統(tǒng)計表、折線圖、條形圖、扇形圖、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖等。統(tǒng)計表能直觀地反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，折線圖反映數(shù)據(jù)的變化趨勢，條形圖反映每個項目的具體數(shù)據(jù)，扇形圖反映各部分在總體中所占的百分比，頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖則能直觀形象地反映頻數(shù)分布情況。在統(tǒng)計調(diào)查中，全面調(diào)查和抽樣調(diào)查是兩種常用的方法。全面調(diào)查考察總體對象，調(diào)查結(jié)果比較精確但需要投入大量人力、物力和時間。抽樣調(diào)查則采用調(diào)查部分對象的方式來收集數(shù)據(jù)，調(diào)查結(jié)果可能存在一些誤差，但投入少、操作方便，有時只能用抽樣的方式去調(diào)查。在進(jìn)行抽樣調(diào)查時，需要注意抽取樣本的方法，要使每一個個體有相等的機會被抽到，這樣的抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。1.當(dāng)調(diào)查對象數(shù)量較少且調(diào)查容易進(jìn)行時，我們通常采用全面調(diào)查的方式。2.當(dāng)調(diào)查結(jié)果可能對調(diào)查對象造成破壞或危害時，我們通常采用抽樣調(diào)查的方式。3.當(dāng)調(diào)查對象數(shù)量較多且調(diào)查難度較大時，我們常采用抽樣調(diào)查的方式。4.當(dāng)調(diào)查結(jié)果具有特別要求或特殊意義時，例如國家人口普查，我們?nèi)孕璨捎萌嬲{(diào)查的方式。1.統(tǒng)計表是表現(xiàn)數(shù)字資料整理結(jié)果的最常用的一種表格，由縱橫交叉線條繪制而成。2.三種常見的統(tǒng)計圖包括條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖。3.扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。扇形圖能夠清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。4.制作扇形圖的步驟包括：先算出各部分在總體中所占的百分?jǐn)?shù)和各部分圓心角的度數(shù)，然后在圓內(nèi)量出各個扇形的圓心角的度數(shù)并加上相應(yīng)的標(biāo)記。5.條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，并按順序排列。從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較。6.制作條形圖的步驟包括：在圖紙上畫出兩條互相垂直的射線，確定直條的位置、寬度和間隔，然后根據(jù)數(shù)據(jù)大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。7.折線統(tǒng)計圖是用一個單位表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后用線段依次連接起來。折線圖不僅可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況。8.繪制折線圖的步驟包括：整理統(tǒng)計資料，描出各點，然后用線段連接起來，并標(biāo)注數(shù)量。1.繪制統(tǒng)計圖的步驟在繪制統(tǒng)計圖時，需要先畫出縱軸和橫軸，并確定單位表示的數(shù)量。然后根據(jù)數(shù)據(jù)的多少，在恰當(dāng)?shù)奈恢蒙厦璩龈鼽c，并將它們用線段連接起來，以顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢。2.統(tǒng)計圖的選擇在選擇統(tǒng)計圖時，需要根據(jù)數(shù)據(jù)的不同特征和實際情況來選擇合適的統(tǒng)計圖。扇形統(tǒng)計圖適用于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小，條形統(tǒng)計圖適用于比較數(shù)據(jù)之間的差別，折線統(tǒng)計圖適用于反映事物的變化情況和數(shù)據(jù)變化趨勢。3.頻數(shù)與頻率頻數(shù)是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)，而頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值或百分比。頻率反映了各組頻數(shù)的大小在總數(shù)中所占的分量。4.頻數(shù)（率）分布表和直方圖在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，經(jīng)常將數(shù)據(jù)按照不同的范圍分成幾個組，并將每個組的頻數(shù)與頻率列在頻數(shù)分布表中。頻數(shù)分布直方圖則是根據(jù)頻數(shù)分布表繪制而成的圖表，它可以直觀地顯示數(shù)據(jù)的分布情況和變化趨勢。在繪制頻數(shù)分布直方圖時，需要先計算極差，確定組距和組數(shù)，然后將數(shù)據(jù)分組，并列出頻率分布表，最后繪制直方圖。隨機事件是指在一定條件下，無法確定其結(jié)果的事件，它的結(jié)果是由隨機因素決定的，例如擲骰子、抽卡片等等．要點二、概率的定義與性質(zhì)1、概率的定義概率是指某一事件發(fā)生的可能性大小，通常用一個介于0和1之間的數(shù)來表示，其中0表示不可能事件，1表示必然事件，其他數(shù)表示可能性大小．2、概率的性質(zhì)①非負(fù)性：概率值不小于0；②規(guī)范性：所有可能性的概率之和為1；③可列可加性：對于任意兩個不相容的事件，它們的概率之和等于這些事件的并的概率．要點三、概率的計算方法1、古典概型古典概型是指所有可能性相等的情況下，某一事件發(fā)生的概率．例如擲硬幣，抽彩球等等．2、幾何概型幾何概型是指利用幾何圖形來計算概率的方法，例如在正方形中隨機取一點，求它落在某一區(qū)域內(nèi)的概率．3、統(tǒng)計概型統(tǒng)計概型是指通過實驗或觀察數(shù)據(jù)來計算概率的方法，例如拋硬幣、擲骰子等等．要點四、條件概率與獨立性1、條件概率條件概率是指在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率．例如在已知某人患有某種疾病的情況下，他接受某種治療后痊愈的概率．2、獨立性獨立性是指兩個事件之間相互獨立，即一個事件的發(fā)生不會影響另一個事件的發(fā)生．例如擲骰子，每次擲骰子的結(jié)果都是獨立的．要點五、全概率公式與貝葉斯公式1、全概率公式全概率公式是指在已知某一事件的條件下，求另一事件發(fā)生的概率．2、貝葉斯公式貝葉斯公式是指在已知某一事件發(fā)生的條件下，求另一事件的概率．它是全概率公式的逆運算．在某些情況下，我們無法預(yù)測某些事件是否會發(fā)生，這種事件被稱為隨機事件。其可能性的大小取決于事件類型。必然發(fā)生的事件具有最高的可能性，不可能發(fā)生的事件則具有最低的可能性，而隨機事件則可能具有不同的可能性大小。這些可能性的數(shù)值被稱為概率，用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率是一個大于等于0且小于等于1的數(shù)，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，而0<P(隨機事件)<1。這表明P(不可能事件)<P(隨機事件)<P(必然事件)。概率是隨機事件本身的屬性，反映了事件發(fā)生的可能性大小。在多次重復(fù)實驗中，隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)的增加，擺動的幅度會減小。這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性。在一定條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動。在實際生活中，人們通常將試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值。概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值。雖然頻率和概率在試驗中可以非常接近，但它們不一定相等。概率是事件在大量重復(fù)實驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，因此可以用大量重復(fù)實驗中事件發(fā)生的頻率去估計事件發(fā)生的概率。但是，二者不能簡單地等同，兩者之間存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常發(fā)生的。在判斷不可能事件、必然事件和隨機事件時，需要結(jié)合生活經(jīng)驗和所學(xué)知識進(jìn)行判斷。不可能事件具有零的概率，必然事件具有概率為1，而隨機事件具有介于0和1之間的概率。因此，對于給定的事件，可以根據(jù)其特征來確定其類型。在實際問題中，正確理解這些概念是非常重要的。1.在同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子時，有四種可能的事件：點數(shù)之和小于4，點數(shù)之和為10，點數(shù)之和為14，點數(shù)之和大于5且小于9。其中不可能事件是點數(shù)之和為14，因為正方體骰子的點數(shù)和應(yīng)大于或等于2，而小于或等于12。2.在一個口袋中裝有10個除顏色外其它完全相同的球，其中5個紅球，3個藍(lán)球，2個白球，它們已經(jīng)在口袋中攪勻了。從口袋中任取出一個紅球是可能發(fā)生的，因為袋中有紅球；從口袋中一次性任意取出2個白球也是可能發(fā)生的，因為袋中剛好有2個白球；但是從口袋中一次性任意取出5個球，恰好是1個紅球，1個藍(lán)球，3個白球是不可能發(fā)生的，因為袋中只有2個白球，取不出3個白球。3.頻率和概率的關(guān)系是，對于某個確定的事件來說，其發(fā)生的概率是固定不變的，而頻率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的。因此，當(dāng)實驗次數(shù)很大時，頻率穩(wěn)定在概率附近。4.在轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在哪個顏色區(qū)域的可能性大，可以采用面積法計算各顏色所占的比例。由圖可知，黃色所占比例最大，因此指針落在黃色區(qū)域的可能性較大。計算隨機事件的可能性的大小，可以根據(jù)不同題目的條件來確定解法，如面積法、數(shù)值法等。2015揚州鑒真國際半程馬拉松賽事包括三項：半程馬拉松、10公里和迷你馬拉松。小明參加了該項賽事的志愿者服務(wù)工作，被隨機分配到了迷你馬拉松項目組。求小明被分配到迷你馬拉松項目組的概率。解：小明被分配到迷你馬拉松項目組的概率為：。為估算本次賽事迷你馬拉松的參賽人數(shù)，小明對部分參賽選手進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查總?cè)藬?shù)為50100，其中參加迷你馬拉松的人數(shù)為21人。根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，我們可以得出參加迷你馬拉松的頻率為0.4。如果本次參賽選手大約有30000人，那么參加迷你馬拉松的人數(shù)約為12000人。此題考查了頻率估計概率的應(yīng)用。正確理解頻率與概率之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵。在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O旋轉(zhuǎn)一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)的三要素。旋轉(zhuǎn)的特征有三個：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以上特征可以幫助我們更好地進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖。旋轉(zhuǎn)有兩個重要性質(zhì)：第一，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；第二，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。這些性質(zhì)是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。作圖的步驟包括：①連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度；③在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；④連接到所連接的各點。中心對稱是指一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形關(guān)于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱。對稱中心是指這個點，而兩個圖形中的對應(yīng)點則稱為對稱點。成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，并被對稱中心平分。平行四邊形是指兩組對邊分別平行的四邊形。它具有三個性質(zhì)：對邊相等、對角相等和對角線互相平分。判定平行四邊形的條件包括：一組對邊平行且相等、對角線互相平分、兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等。反證法是一種間接證明的方法，不是從已知條件出發(fā)直接證明命題的結(jié)論成立，而是先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后由這個“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出矛盾，說明假設(shè)是不成立的，因而命題的結(jié)論是成立的。矩形是指四個角都是直角的四邊形。它具有的性質(zhì)包括：對邊相等且平行、對角線相等、對角線互相平分、中心對稱。菱形是指四個邊都相等的四邊形。它具有的性質(zhì)包括：對邊平行、對角線互相垂直、對角線相等、中心對稱。正方形是指既是矩形又是菱形的四邊形，具有的性質(zhì)包括：對邊相等且平行、對角線相等、對角線互相平分、對角線互相垂直、中心對稱。Arectangle,alsoknownasaparallelogramwithonerightangle,isaspecialtypeofparallelogram.Inadditiontohavingallthepropertiesofaparallelogram,arectanglealsohasthefollowingproperties:itsdiagonalsareequalinlengthandallfouranglesarerightangles.Todetermineifashapeisarectangle,therearethreeconditions:(1)Aparallelogramwithonerightangleisarectangle.(2)Aquadrilateralwiththreerightanglesisarectangle.(3)Aparallelogramwithequaldiagonalsisarectangle.Thedistancebetweentwoparallellinesisequalateverypoint.Thisisapropertyofparallellines.Arhombusisaparallelogramwithadjacentsidesofequallength.Inadditiontohavingallthepropertiesofaparallelogram,arhombusalsohasthefollowingproperties:allfoursidesareequalinlengthanditsdiagonalsareperpendiculartoeachother.Todetermineifashapeisarhombus,therearethreeconditions:(1)Aparallelogramwithadjacentsidesofequallengthisarhombus.(2)Aquadrilateralwithallfoursidesequalinlengthisarhombus.(3)Aparallelogramwithperpendiculardiagonalsisarhombus.Asquareisaparallelogramwithadjacentsidesofequallengthandonerightangle.Itisnotonlyaspecialtypeofparallelogram,butalsoaspecialtypeofrectangleandrhombus.Ithasallthepropertiesofarectangleandarhombus.Todetermineifashapeisasquare,therearethreeconditions:(1)Aparallelogramwithadjacentsidesofequallengthandonerightangleisasquare.(2)Arectanglewithadjacentsidesofequallengthisasquare.(3)Arhombuswithonerightangleisasquare.Inatriangle,alinesegmentconnectingavertextothemidpointoftheoppositesideiscalledamedian.Themediansofatriangleareparallelandequalinlengthtohalfthelengthofthethirdside.Thedifferencebetweenamedianandamidlineofatriangleisthatamediandividesthetwosidesitconnectsintoequalpartsandisparalleltothethirdside,butdoesnotpassthroughanyvertex.Amidline,ontheotherhand,dividesonesideofthetriangleinhalfandisnotparalleltoanyside,butpassesthroughtheoppositevertex.AfractionisdefinedasAdividedbyB,whereAandBarepolynomialsandBcontainsvariables.Afractionismeaningfulwhenthedenominatorisnotequaltozero.Afractionismeaninglesswhenthedenominatorisequaltozero.Afractionisequaltozerowhenthenumeratorisequaltozeroandthedenominatorisnotequaltozero.Thevalueofafractioncanonlybeconsideredwhenthefractionismeaningful,meaningAisnotequaltozeroandBisnotequaltozero.分式的基本性質(zhì)：如果分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于零的整式，那么分式的值不變。假設(shè)A/B*C+A/B*C/C=A，其中A、B、C是整式且C不等于零。分式的通分：和分?jǐn)?shù)一樣，分式的通分是利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成相同分母的分式。為了確定幾個式子的最簡公分母，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母。這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時應(yīng)注意以下幾點：（1）“各分母所有因式的最高次冪”是指凡出現(xiàn)的字母（或含字母的式子）為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的；（2）如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；（3）如果分母是多項式，一般應(yīng)先分解因式。分式的約分：和分?jǐn)?shù)一樣，分式的約分是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式。當(dāng)分子、分母都是乘積形式時才能進(jìn)行約分。分子、分母是多項式時，通常將分子、分母分解因式，然后再約分。找公因式的方法是：（1）當(dāng)分子、分母都是單項式時，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式；（2）當(dāng)分子、分母都是多項式時，先把多項式因式分解。在式子變形中要注意分子與分母的符號變化，一般情況下要把分子或分母前的“—”放在分?jǐn)?shù)線前。分式的運算包括分式乘法、分式除法、分式乘方、分式加減法。其中，分式乘法法則是將分式的分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式。分式除法法則是將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘除混合運算統(tǒng)一為乘法運算，順序與分?jǐn)?shù)的乘除混合運算相同，按照從左到右的順序，有括號先算括號里面的。分式乘方要把分子、分母各自乘方，確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同。分式的加減法則是同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，然后再加減。在運算時，要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分子的整體性。最終結(jié)果必須化為最簡分式或整式。分式的混合運算要注意運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減。如果有括號，要先算括號里面的。計算結(jié)果要化為整式或最簡分式。任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1，即a?=1（a≠0）。當(dāng)冪指數(shù)為正整數(shù)時，a??=1/a?。當(dāng)冪指數(shù)為負(fù)整數(shù)時，最后的計算結(jié)果要把冪指數(shù)化為正整數(shù)。整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)包括：(1)同底數(shù)的冪的乘法：a??a?=a???；(2)冪的乘方：(a?)?=a??；(3)積的乘方：(ab)?=a?b?；(4)同底數(shù)的冪的除法：a?÷a?=a???(a≠0)；(5)商的乘方：(a/b)?=a?/b?(b≠0)。規(guī)定：a?=1（a≠0），即任何不等于0的零次冪都等于1。分式方程是含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程。解分式方程的基本思想方法是將分式方程化為整式方程。解分式方程的一般方法和步驟包括：①去分母；②解整式方程；③檢驗。注意去分母時，方程兩邊的每一項都要乘以最簡公分母，解分式方程必須要驗根。含有字母的分式方程的解法和步驟與無字母的分式方程類似，需要先化簡，再去分母，解整式方程，最后驗根。數(shù)學(xué)中的字母既可以表示未知數(shù)，也可以表示已知數(shù)。在解含有字母已知數(shù)的分式方程時，需要去分母，解整式方程，并檢驗結(jié)果。要注意區(qū)分哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母表示已知數(shù)，同時也要遵守題目的限制條件，計算結(jié)果應(yīng)該用已知數(shù)表示未知數(shù)，不要混淆。解決分式方程應(yīng)用題時，需要按照以下步驟：首先審清題意，找出相等關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出分式方程，解決分式方程，檢驗根是否符合題意，最后寫出答案。應(yīng)用題主要有五種類型，包括行程問題、數(shù)字問題、工程問題、順?biāo)嫠畣栴}等。解決自變量指數(shù)問題時，需要特別注意系數(shù)這一限制條件。反比例函數(shù)可以寫成y=k/x的形式，其中自變量x的指數(shù)為-1。也可以寫成xy=k的形式，通過這種形式可以迅速求出反比例函數(shù)的解析式中的k。反比例函數(shù)的自變量不能為0，函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點。在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0，且x應(yīng)對稱取點（關(guān)于原點對稱）。反比例函數(shù)的解析式為y=k/x，自變量的取值范圍為x≠0。反比例函數(shù)的圖象為雙曲線，其形狀取決于k的大小。圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小或增大。圖象關(guān)于原點對稱，并且