人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 同步練習(xí)(含解析)

第第頁(yè)人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義同步練習(xí)(含解析)5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用

1.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0變化到x0+Δx時(shí),函數(shù)值的改變量Δy為()

A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)

2.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為()

A.f'(x0)=B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]

C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)D.f'(x0)=

3.已知函數(shù)f(x)=ax+4,若f'(1)=2,則a=.

4.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象.

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為;

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為.

5.求函數(shù)y=在x=0處的導(dǎo)數(shù).

題組二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用

6.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是()

A.在點(diǎn)(x0,f(x0))處與y=f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率

B.過(guò)點(diǎn)(x0,f(x0))的切線的斜率

C.點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(0,0)的連線的斜率

D.函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率

7.某司機(jī)看見(jiàn)前方50m處有行人橫穿馬路,這時(shí)司機(jī)開(kāi)始緊急剎車(chē),在剎車(chē)的過(guò)程中,汽車(chē)的速度v是關(guān)于剎車(chē)時(shí)間t的函數(shù),其圖象可能是()

8.已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù),且f(x)的圖象如圖所示,則下列不等式正確的是()

A.f'(a)0

C.f>

D.f<

題組三求曲線的切線方程

7.(2023浙江金華一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P為曲線C:y=f(x)上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為()

A.B.[-1,0]C.[0,1]D.

8.(2023浙江麗水高二下期末,)已知過(guò)點(diǎn)P(-1,1)的直線m交x軸于點(diǎn)A,若拋物線y=x2上有一點(diǎn)B,使得PA⊥PB,且AB是拋物線y=x2的切線,則直線m的方程為.

9.(2023福建廈門(mén)二中高二上期中,)已知曲線y=f(x)=x2,y=g(x)=,過(guò)兩條曲線的交點(diǎn)作兩條曲線的切線,求兩切線與x軸圍成的三角形的面積.(請(qǐng)用導(dǎo)數(shù)的定義求切線的斜率,否則只得結(jié)論分)

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.D分別寫(xiě)出x=x0和x=x0+Δx時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)和f(x0+Δx),兩函數(shù)值相減就得到了函數(shù)值的改變量,所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

2.A由導(dǎo)數(shù)的定義知A正確.

3.答案2

解析由題意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,

∴=a,

∴f'(1)=a=2.

4.答案(1)(2)

解析(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為==.

(2)由函數(shù)f(x)的圖象知,

f(x)=

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為==.

5.解析Δy=-

=

=,

∴=,

∴y'x=0===0.

6.Df'(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.

7.A在剎車(chē)過(guò)程中,汽車(chē)速度呈下降趨勢(shì),排除選項(xiàng)C,D;由于是緊急剎車(chē),所以汽車(chē)開(kāi)始時(shí)速度下降非?？?圖象較陡,排除選項(xiàng)B,故選A.

8.A由題意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分別是函數(shù)f(x)在x=a、x=b和x=c處切線的斜率,則有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故選A.

9.C∵函數(shù)y=f(x)的圖象在x=5處的切線方程是y=-x+8,

∴f'(5)=-1,

又f(5)=-5+8=3,

∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故選C.

10.B由題意得,f'(1)=

=

==2+a.

∵曲線f(x)=x2+ax+b在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為3x-y-2=0,

∴2+a=3,解得a=1.

又∵點(diǎn)(1,1)在曲線y=x2+ax+b上,

∴1+a+b=1,解得b=-1,

∴a=1,b=-1.

故選B.

11.Cf'(x)=

=

=3x2+1.設(shè)P(x0,y0),則f'(x0)=3+1=4,所以x0=±1,當(dāng)x0=1時(shí),f(x0)=0,當(dāng)x0=-1時(shí),f(x0)=-4,因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4).

12.答案2x+y-5=0

解析由題意知,切線的斜率k=-2.

∴在點(diǎn)A(2,1)處的切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

13.答案2x-y-1=0

解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),y=f(x)=x2,則由題意可得,切線斜率f'(x0)==2x0=2,所以x0=1,則y0=1,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),故所求的直線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

14.解析=

=

=3xΔx+3x2+(Δx)2,

則=3x2,因此y'=3x2.

設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線與曲線y=x3+1相切于點(diǎn)P(x0,+1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為k=3①,過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)P的切線的斜率k=②,由①-②得3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此過(guò)點(diǎn)M(1,1)且與曲線y=x3+1相切的直線有兩條,方程分別為y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.

能力提升練

1.B在t0處,雖然有W甲(t0)=W乙(t0),但W甲(t0-Δt)<W乙(t0-Δt),所以在相同時(shí)間Δt內(nèi),甲廠比乙廠的平均治污率小,所以乙廠治污效果較好.

2.答案6

解析

=2=2f'(2)=6.

3.解析f'(10)=1.5表示服藥后10min時(shí),血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/(mL·min).也就是說(shuō),如果保持這一速度,每經(jīng)過(guò)1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5μg/mL.f'(100)=-0.6表示服藥后100min時(shí),血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6μg/(mL·min).也就是說(shuō),如果保持這一速度,每經(jīng)過(guò)1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降0.6μg/mL.

4.B如圖所示,f'(2)是函數(shù)f(x)的圖象在x=2(即點(diǎn)A)處切線的斜率k1,f'(3)是函數(shù)f(x)的圖象在x=3(即點(diǎn)B)處切線的斜率k2,=f(3)-f(2)=kAB是割線AB的斜率.

由圖象知0<k2<kAB<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故選B.

5.D∵f(x)在a到b之間的平均變化率是,g(x)在a到b之間的平均變化率是,f(b)=g(b),f(a)=g(a),

∴=,

∴A、B錯(cuò)誤;

易知函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),即函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的切線的斜率,

同理函數(shù)g(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)g(x)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即函數(shù)g(x)在該點(diǎn)處的切線的斜率,

由題中圖象知C錯(cuò)誤,D正確.故選D.

6.AD由題中圖象可知,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象在x軸下方,即f'(x)<0,且其絕對(duì)值越來(lái)越小,因此過(guò)函數(shù)f(x)圖象上任一點(diǎn)的切線的斜率為負(fù),并且從左到右切線的傾斜角是越來(lái)越大的鈍角,由此可得f(x)的大致圖象如圖所示.

A選項(xiàng)表示x1-x2與f(x1)-f(x2)異號(hào),即f(x)圖象的割線斜率為負(fù),故A正確;B選項(xiàng)表示x1-x2與f(x1)-f(x2)同號(hào),即f(x)圖象的割線斜率為正,故B不正確;f表示對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,即圖中點(diǎn)B的縱坐標(biāo),表示當(dāng)x=x1和x=x2時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的平均值,即圖中點(diǎn)A的縱坐標(biāo),顯然有f<,故C不正確,D正確.故選AD.

7.D設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0,則點(diǎn)P處的切線傾斜角α與x0的關(guān)系為tanα=f'(x0)==2x0+2.

∵α∈,∴tanα∈[1,+∞),

∴2x0+2≥1,即x0≥-,

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

8.答案x-y+2=0或x+3y-2=0

解析令y=f(x)=x2,設(shè)B(t,t2),

則kAB==2t,

則直線AB的方程為y=2tx-t2.

當(dāng)t=0時(shí),符合題意,此時(shí)A(-2,0),

∴直線m的方程為x-y+2=0.

當(dāng)t≠0時(shí),A,=,=(t+1,t2-1),

∵PA⊥PB,∴·=0,即(t+1)-(t2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此時(shí)A(2,0),

∴直線m的方程為x+3y-2=0.

綜上,直線