概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程茆詩(shī)松第二章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程茆詩(shī)松第二章第1頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.1

隨機(jī)變量及其分布(1)擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X1，2，……，6.(2)n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù)Y0，1，2，……，n(3)某商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)的顧客數(shù)Z0，1，2，……(4)某種型號(hào)電視機(jī)的壽命T:

[0,+)第2頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1隨機(jī)變量的定義定義2.1.1設(shè)={}為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實(shí)值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.第3頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)(1)(1)隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，

其定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則{X=1.5}是不可能事件.

(2)若X為隨機(jī)變量，則{X=k}、{a

<

X

b}、……均為隨機(jī)事件.即{a

<

X

b}={；a

<

X()b

}

第4頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)(2)(3)注意以下一些表達(dá)式：

{X=k}={X

k}

{X<k}；{a

<

X

b}={X

b}

{X

a}；{X>b}=

{X

b}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.第5頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若隨機(jī)變量X可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或

可列個(gè)，則稱X為離散隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間[a,b]，則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量.前例中的X,Y,Z為離散隨機(jī)變量；而T為連續(xù)隨機(jī)變量.兩類隨機(jī)變量第6頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2.1.2

設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，稱F(x)=P(X

x)為

X的分布函數(shù).基本性質(zhì)：

(1)F(x)

單調(diào)不降；(2)有界：0

F(x)

1，F(xiàn)(

)=0，F(xiàn)(+)=1；(3)右連續(xù).2.1.2

隨機(jī)變量的分布函數(shù)第7頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3

離散隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散隨機(jī)變量X的可能取值為：x1，x2，……，xn，……稱pi=P(X=xi)，i=1,2,……為X的分布列.分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……第8頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分布列的基本性質(zhì)(1)pi

0，(2)(正則性)(非負(fù)性)第9頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)(1)求離散隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意：

(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;

(2)計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率.

第10頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)(2)對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的;(3)其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn);(4)其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.第11頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函數(shù).解：第12頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月X012P0.40.40.2解：例2.1.2已知X的分布函數(shù)如下,求X的分布列.第13頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.4

連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間(a,b).因?yàn)閷?duì)連續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0，所以無(wú)法仿離散隨機(jī)變量用P(X=x)來(lái)描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布.注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.第14頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2.1.4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，滿足：稱p(x)為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù).第15頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月密度函數(shù)的基本性質(zhì)滿足(1)(2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).(非負(fù)性)(正則性)第16頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)(1)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(X=x)=F(x)

F(x

0)=0;第17頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)

F(a).注意點(diǎn)(2)(5)當(dāng)F(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí),

p(x)=當(dāng)F(x)在x點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí),

可令p(x)=0.第18頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

(不唯一)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).第19頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.3設(shè)

X~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).(1)k=3.(2)解：第20頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.1.4設(shè)

X~求

F(x).解：第21頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨(dú)立，解:因?yàn)镻(A)=P(B),P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)從中解得且P(A

B)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨(dú)立，得=2P(A)

[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.5第22頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X~p(x)，且p(

x)=p(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a>0，有()

①F(

a)=1

②F(

a)=③F(

a)=F(a)④F(

a)=2F(a)

1課堂練習(xí)②第23頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分賭本問(wèn)題(17世紀(jì))甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無(wú)平局，誰(shuí)先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時(shí)，中止了賭博.問(wèn)如何分賭本?第24頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩種分法

1.按已賭局?jǐn)?shù)分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分：

因?yàn)樵儋€兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4第25頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1數(shù)學(xué)期望的概念

若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個(gè)可能取值為0或100的隨機(jī)變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.第26頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2數(shù)學(xué)期望的定義定義2.2.1設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱該級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，記為第27頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2.2.2設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),若積分絕對(duì)收斂，則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為第28頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3第29頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望.數(shù)學(xué)期望又稱為均值.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.注意點(diǎn)第30頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理2.2.1設(shè)Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則第31頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4第32頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第33頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.2.3設(shè)X~

求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.第34頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.3

隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.第35頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義2.3.1

若E(X

E(X))2存在，則稱

E(X

E(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2第36頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)稱注意點(diǎn)

X

=

(X)=(1)方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度.方差越大,則隨機(jī)變量的取值越分散.為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.第37頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.性質(zhì)2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)2.3.3(3)Var(X)=E(X2)

[E(X)]2.性質(zhì)2.3.1第38頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.3.1

設(shè)X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)

[E(X)2]=7/6

1=1/6第39頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí)

設(shè)則方差

Var(X)=()。問(wèn)題：Var(X)=1/6,為什么？第40頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X的標(biāo)準(zhǔn)化.第41頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在(這時(shí)均值也存在),則對(duì)任意正數(shù)ε，有下面不等式成立第42頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例2.3.2設(shè)X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)

(EX)2=n+1,(這里,

=n+1)由此得第43頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1第44頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.4

常用離散分布

2.4.1

二項(xiàng)分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，稱b(1,p)為0-1分布.第45頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月試驗(yàn)次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y為不合格品件數(shù)，Y

？Y~b(4,0.2)一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,每次一件,則取得合格品件數(shù)X服從二項(xiàng)分布.第46頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.4.1設(shè)X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第47頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布,

記為X~P(

).2.4.2泊松分布第48頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月泊松定理定理2.4.1(二項(xiàng)分布的泊松近似)在n重伯努里試驗(yàn)中，記pn

為一次試驗(yàn)中成功的概率.若npn

，則第49頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記為X~h(n,N,M).超幾何分布對(duì)應(yīng)于不返回抽樣模型

：N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X.2.4.3超幾何分布第50頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記為X~Ge(p)

X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).

幾何分布具有無(wú)記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4幾何分布第51頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布)記為X~Nb(r,p).X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“第r次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).第52頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)

(1)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立0-1隨機(jī)變量之和.

(2)負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.第53頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用離散分布的數(shù)學(xué)期望

幾何分布Ge(p)的數(shù)學(xué)期望=1/p

0-1分布的數(shù)學(xué)期望=p

二項(xiàng)分布b(n,p)的數(shù)學(xué)期望=np

泊松分布P(

)的數(shù)學(xué)期望=

第54頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二項(xiàng)分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1

p)/p2第55頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.5

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。第56頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記為X~N(

,

2),其中

>0，

是任意實(shí)數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).2.5.1正態(tài)分布第57頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月yxOμ第58頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)關(guān)于

是對(duì)稱的.p(x)x0μ在

點(diǎn)p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動(dòng),

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.第59頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月p(x)x0x

x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).第60頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(x)的計(jì)算(1)x

0時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時(shí),用若X~N(0,1),則(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

第61頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.1設(shè)X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.9751第62頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,故b=1.66而

(a)=0.0495<1/2,所以a<0,

(

a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=

1.65例2.5.2第63頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理2.5.1

設(shè)X~N(

,

2),則Y~N(0,1).推論:

若X~N(

,

2),則第64頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若X~N(

,

2),則

P(X<a)=，P(X>a)=

第65頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X~N(10,4),求P(10<X<13),P(|X

10|<2).解:

P(10<X<13)=

(1.5)

(0)=0.9332

0.5P(|X

10|<2)=

P(8<X<12)=2

(1)

1=0.6826=0.4332例2.5.3第66頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X~N(

,

2),P(X

5)=0.045,

P(X

3)=0.618,求

及

.例2.5.4

=1.76

=4解:

第67頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},則k=().3課堂練習(xí)(1)第68頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X~N(

,42),Y~N(

,52),記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥

+5},則()①對(duì)任意的

，都有p1=p2

②對(duì)任意的

，都有p1<p2

③只個(gè)別的

，才有p1=p2

④對(duì)任意的

，都有p1>p2①課堂練習(xí)(2)第69頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X~N(

,

2),則隨

的增大，概率P{|X

|<

}()①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定③課堂練習(xí)(3)第70頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的3

原則設(shè)X~N(

,

2),則

P(|X

|<

)=0.6828.

P(|X

|<2

)=0.9545.

P(|X

|<3

)=0.9973.第71頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記為X~U(a,b)2.5.2均勻分布第72頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

X~U(2,5).現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.解：記A={X>3},

則P(A)=P(X>3)=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~b(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第73頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5.3指數(shù)分布記為X~Exp(

),其中

>0.特別：指數(shù)分布具有無(wú)憶性，即：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)第74頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5.4伽瑪分布記為X~Ga(

,

),其中

>0，

>0.為伽瑪函數(shù).稱第75頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)

(1)

(1)=1,

(1/2)=

(n+1)=n!

(2)Ga(1,

)=Exp(

)Ga(n/2,1/2)=

2(n)第76頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5.5貝塔分布記為X~Be(a,b),其中a>0，b>0.稱為貝塔函數(shù).第77頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意點(diǎn)

(1)

(2)

B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=

(a)

(b)/

(a+b)(3)

Be(1,1)=U(0,1)第78頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望

均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2

指數(shù)分布Exp(

):E(X)=1/

正態(tài)分布N(

,2):E(X)=

伽瑪分布Ga(

,

):E(X)=

/

貝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第79頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用連續(xù)分布的方差

均勻分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12

指數(shù)分布Exp(

)的方差=1/

2

正態(tài)分布N(

,

2)的方差=

2第80頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.5.6已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,則參數(shù)n,p的值為多少？例2.5.7設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則E(X2)的值為多少？解：從2.4=np,1.44=np(1

p)中解得解：因?yàn)镋(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.

E(X2)=Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4第81頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對(duì)任意常數(shù)C，必有（）.④課堂練習(xí)第82頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題：已知X的分布，求Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=

X2.第83頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時(shí)，Y=g(X)為離散隨機(jī)變量.將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.2.6.1離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布第84頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.6.2連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理2.6.1設(shè)X~pX(x)，y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù),且h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為:第85頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.6.1

設(shè)X~求Y=eX的分布.y=ex單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù)x=h(y)=lny,所以當(dāng)y>0時(shí),由此得解：第86頁(yè)，課件共98頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2設(shè)X