2023年全國統(tǒng)考教師資格考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》（高級中學(xué)）題庫【歷年真題＋章節(jié)題庫＋模擬試題】

第一部分歷年真題及詳解2015年下半年全國統(tǒng)考教師資格考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》（高級中學(xué)）真題及詳解一、單項選擇題（共8題，每小題5分，共40分）1．若多項式和，則和）的公因式為（）。A．x+1B．x+3 C．x-1D．x-2【答案】A查看答案【解析】由輾轉(zhuǎn)相除法可得。 2．已知變換矩則A將空間曲面 變成（）。A．球面B．橢球線C．拋物線 D．雙曲線【答案】B查看答案【解析】由已知的條件設(shè)曲面經(jīng)矩陣A變化后為=,則x=,y=,z=故其方程為。 3．為研究7至10歲兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了某城市100名和1000名兩組調(diào)查樣本，若甲、乙抽取的兩組樣本平均身高分別記為α、β（單位:cm），大小關(guān)系為（）。A.α＞βB.α＜βC.α=βD.不能確定【答案】D查看答案【解析】隨機抽樣的結(jié)果之間關(guān)系無法確定。 4．已知數(shù)列與數(shù)列，n=1,2,3…則下列結(jié)論不正確的是（）。A．若對任意的整數(shù)n,有;B．若且則對任意的正整數(shù)n,C．若且存在正整數(shù)N，使得當n>N時，則D．若對任意的正整數(shù)n,有且b>0,則a>0【答案】B查看答案【解析】取而,，因此結(jié)論不正確。5．下列關(guān)系不正確的是（）。D．【答案】B查看答案【解析】由向量積的性質(zhì)可得6．函數(shù)級數(shù) 的收斂區(qū)間為（）。A．（-3，3）B．（］ C．［） D．[-3,3]【答案】C查看答案【解析】先求收斂半徑 又當x=時級數(shù)發(fā)散，x=-時級數(shù)收斂，故收斂半徑為［）。7．20世紀初對國際數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生重要影響的是（）。A．貝利-克萊因運動B．大眾教學(xué)C．新數(shù)學(xué)運動 D．PISA項目【答案】A查看答案【解析】第一次數(shù)學(xué)課程改革發(fā)生在20世紀初，史稱“克萊因-貝利運動”。英國數(shù)學(xué)家貝利提出“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該面向大眾”“數(shù)學(xué)教育必須重視應(yīng)用”的改革指導(dǎo)思想；德國數(shù)學(xué)家克萊因認為，數(shù)學(xué)教育的意義、內(nèi)容、教材、方法等，必須緊跟時代步伐，結(jié)合近代數(shù)學(xué)和教育學(xué)的新進展，不斷進行改革。8．《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》提出了五種基本能力，其中不包括（）。A.抽象概括B.推理論證C.觀察操作 D.數(shù)據(jù)處理【答案】C查看答案【解析】《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》提出了五項基本能力，包括:抽象概括、推理論證、數(shù)據(jù)處理、空間想象、運算求解。二、簡答題（共5題，每題7分，共35分）9．一條光線斜射在一水平放置的平面上，入射角為，請建立空間直角坐標系，并求出反射光線的方程，若將反射光線繞平面鏡的法線旋轉(zhuǎn)一周，求出旋轉(zhuǎn)曲面的方程。答：以此光線與平面的交點為原點建立空間直角坐標系，如下圖:則入射光線所在直線過原點且在yoz坐標面上，所以入射光線的直線方程為，反射光線為，法線為z軸。若將反射光線繞法線旋轉(zhuǎn)一周，也就是繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，則得出旋轉(zhuǎn)曲面的方程是。10．求證：非齊次線性方程組 有唯一解當且僅當向量 線性無關(guān)。答：（1）若向量線性無關(guān)時，滿足方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩相等這一條件，則方程組有解。先證明唯一性：設(shè)方程組有兩個解：即兩式作差得因為線性無關(guān)所以（2）若線性方程組 有唯一解，假設(shè)線性相關(guān)，所以存在不全為0的實數(shù)使得，則也是線性方程組的解，與線性方程組有唯一解矛盾。綜上所述，線性方程組有唯一解當且僅當向量線性無關(guān)。11．某飛行表演隊由甲乙兩隊組成。甲隊由噴紅色霧和綠色霧的飛機組成，各3架，乙隊僅有3架噴紅色霧的飛機。在一次表演中，需要從甲隊抽3架到乙隊組合混合表演隊，并且任意指定一架為領(lǐng)飛機，求領(lǐng)飛機是綠色霧的概率。答：。第一步:選出甲中噴綠色煙霧的飛機，設(shè)X為選出的噴綠色煙霧的飛機的數(shù)量第二步:6架飛機中有1架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領(lǐng)飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：6架飛機中有2架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領(lǐng)飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：6架飛機中有3架噴綠色煙霧的飛機時，所選到領(lǐng)飛機是噴綠色煙霧的飛機的概率為：所以，領(lǐng)飛機是綠色霧的概率為：。12．闡述確定數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的依據(jù)。答：在普通高中課程標準中規(guī)定數(shù)學(xué)課程標準、單元目標和具體數(shù)學(xué)知識點三者的結(jié)合。確定教學(xué)內(nèi)容時，特別要注意以下三點:（1）是數(shù)學(xué)知識的主要特征。一個數(shù)學(xué)知識點內(nèi)容是極為龐雜的，應(yīng)該選擇該數(shù)學(xué)知識點最本質(zhì)的東西作為教學(xué)的重點。（2）是學(xué)生的需要。確定知識點的教學(xué)內(nèi)容也不是由教材一個要素決定的，還涉及到學(xué)生認知發(fā)展階段性的問題。因此也不可能是教材有什么就教什么、學(xué)什么，只能選擇教材內(nèi)容與學(xué)生認知發(fā)展相一致的內(nèi)容作為教學(xué)內(nèi)容。（3）是編者的意圖。編者的意圖主要是通過例題以及課后的練習(xí)題來體現(xiàn)的。數(shù)學(xué)例題以及課后練習(xí)題的重要性在數(shù)學(xué)課程中要遠遠高于其他學(xué)科，因為數(shù)學(xué)例題以及練習(xí)題是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容建設(shè)一個不可或缺的組成部分。在其他課程中，練習(xí)０題最多只是課程內(nèi)容的重現(xiàn)，有的只屬于教學(xué)領(lǐng)域，作為一種教學(xué)手段，對課程本身并沒有很大影響。但數(shù)學(xué)課不是這樣，數(shù)學(xué)課“教什么”在相當程度上是由練習(xí)題或明或暗指示給教師的。13．舉例說明向量內(nèi)容的學(xué)習(xí)對高中生理解數(shù)學(xué)運算的作用。答：平面向量是高中數(shù)學(xué)引入的一個新概念，利用平面向量的定義、定理、性質(zhì)及有關(guān)公式，可以簡化解題過程，便于學(xué)生的理解和掌握。向量運算主要作用可以提高學(xué)生針對數(shù)學(xué)運算的理解層次，學(xué)生最初接觸的運算都是數(shù)與數(shù)之間的運算，而加入向量運算之后，向量運算涉及到數(shù)學(xué)元素更多，比如實數(shù)、字母，向量甚至還可以把幾何圖形加入運算當中，這本身對數(shù)學(xué)層次有更大的一個提高。而且向量運算對數(shù)學(xué)的思想也體現(xiàn)的比較多，在解析幾何當中，或者是在平面幾何當中，向量應(yīng)用確實很方便，一個運算既有代數(shù)運算又有幾何意義，但是到了立體幾何，向量運算僅僅就變成算術(shù)了，算術(shù)對立體幾何本身還是沒有一點想象。（1）向量在代數(shù)中的應(yīng)用。根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來表示復(fù)數(shù)，這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實上已沒有太多的實質(zhì)性內(nèi)容，因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對應(yīng)也可用來證明代數(shù)中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數(shù)模型，可以較靈活地給出證題方法。（2）向量在三角中的應(yīng)用。當利用單位圓來研究三角函數(shù)的幾何意義時，表示三角函數(shù)就是平面向量，利用向量的有關(guān)知識可以導(dǎo)出部分誘導(dǎo)公式，由于用向量解決問題時常常是從三角形入手的，這使它在三角里解決有關(guān)三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理。證明:只要根據(jù)向量三角形得出關(guān)系式的兩邊平方，就可利用向量的運算性質(zhì)得出要證的結(jié)論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。（3）向量在平面解析幾何中的應(yīng)用。由于向量是作為一種有向線段，本身就是有向量上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關(guān)直線的部分保持著一種天然的聯(lián)系。平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離公式，也就是平面內(nèi)相應(yīng)的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點坐標，可根據(jù)相應(yīng)的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量（a，b）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向量在a=0時的特殊情形。另外向量的平移也可用化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸變換達到同樣的效果。（4）向量在幾何中的應(yīng)用。在解決幾何中的有關(guān)度量、角度、平行、垂直等問題時，用向量解決也很方便，特別是平面向量可以推廣到空間用來解決立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內(nèi)容中，解決平行、相交、包含以及計算夾角、距離等問題用傳統(tǒng)的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數(shù)量積和向量和以后，一切都歸結(jié)為數(shù)字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統(tǒng)的方法要容易得多。總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學(xué)生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識可助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此在職中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強向量這一章的教學(xué)，為更好地學(xué)習(xí)其它知識做好必要的準備工作就顯得尤為重要。但傳統(tǒng)教學(xué)思想對向量抵觸較大，許多教者認為向量法削弱了學(xué)生的空間想象能力，且學(xué)生初學(xué)向量時接受較為困難，這就要求教育工作者不斷探索，找出最佳的教和學(xué)的方法，發(fā)揮向量的作用，使向量真正地面為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三、問答題（共1題，10分）14．敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡述拉格朗日中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。答：如果函數(shù)滿足（1）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（2）在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)；則存在使得。證明：如果函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，構(gòu)造輔助函數(shù)，可得：又因為函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，，根據(jù)羅爾定理可知在內(nèi)至少有一點使得即：，證畢。拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個重要的理論基礎(chǔ)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的有力工具。拉格朗日中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，如利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些特性、證明不等式和方程根的存在性、描繪函數(shù)的固像、解決極值、最值等等。四、論述題（共1題，15分）15．敘述“嚴謹性與量力性相結(jié)合”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的內(nèi)涵，并以“是無理數(shù)”的教學(xué)過程為例說明在教學(xué)中如何體現(xiàn)該教學(xué)原則。答：（1）數(shù)學(xué)的嚴謹性，是指數(shù)學(xué)具有很強的邏輯性和較高的精確性，即邏輯的嚴格性和結(jié)論的確定性，量力性是指學(xué)生的可接受性。這一原則，說明教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識的邏輯嚴謹性與學(xué)生的可接受性之間相適應(yīng)的關(guān)系。理論知識的嚴謹程度要適合學(xué)生的一般知識結(jié)構(gòu)與智力發(fā)展水平，隨著學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的不斷完善，心理發(fā)展水平的提高，逐漸增強理論的嚴謹程度；反過來，又要通過恰當?shù)睦碚搰乐斝灾饾u促進學(xué)生的接受能力。顯然這一原則是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點及學(xué)生心理發(fā)展的特點提出的，但是在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的心理發(fā)展是逐步形成的，不同的年齡階段，其感知、記憶、想象、思維、能力等心理因素都有不同的發(fā)展水平。這種心理發(fā)展的漸變性決定了在教學(xué)中不可能對數(shù)學(xué)理論的研究達到完全嚴密的程度，而應(yīng)該在不同的教學(xué)階段，依據(jù)不同的教學(xué)目的和內(nèi)容而提出不同的嚴謹性要求，即數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴謹性是相對的。（2）在證明“是無理數(shù)”的教學(xué)過程中，對嚴謹性要求，應(yīng)設(shè)法安排使學(xué)生逐步適應(yīng)的過程與機會，逐步提高其嚴謹程度，要求做到推理有據(jù)，證明要步步有根據(jù)、處處有邏輯。在推理有據(jù)的同時并不排斥直觀和猜想，強調(diào)思維的嚴謹性，允許猜想，辯證地處理好推理的有據(jù)和猜想的關(guān)系。由于學(xué)生對無理數(shù)不熟悉，在實際教學(xué)過程中采用反證法，先假設(shè)是有理數(shù)，教學(xué)中可以由教師給出證明步驟，讓學(xué)生只填每一步的理由，鼓勵學(xué)生發(fā)揚“跳一跳夠得到”的精神，逐步過渡到學(xué)生自己給出嚴格證明，最后要求達到立論有據(jù)，論證簡明?！耙驗槿绻鹸是有理數(shù)，那么x可以寫成最簡分數(shù)（p，q是整數(shù)，且互質(zhì)）的形式，于是，所以p也是偶數(shù)。不妨設(shè)p=2a，可得，所以q應(yīng)該也是偶數(shù)，這樣與p,q互質(zhì)矛盾，因此，x是無理數(shù)。在教學(xué)過程中，不能消極適應(yīng)學(xué)生，降低理論要求，必須在符合內(nèi)容科學(xué)性的前提下，結(jié)合學(xué)生實際組織教學(xué)。五、案例分析題（1題，20分）閱讀案例，并回答問題。16．在“三角函數(shù)求值”的教學(xué)中，教師給出來如下問題。已知α，β為銳角， 求cosβ的值。教師讓兩位學(xué)生板書演示，他們的演示過程如下：學(xué)生1：因為，α為銳角，所以當時,當時,學(xué)生2:因為，α為銳角，所以由,即設(shè) ,因為α為銳角,所以則問題:（1）你如何評價這兩位學(xué)生的解題過程。（10分）（2）假如你是該教師，針對學(xué)生扮演的情況，如何組織進一步的教學(xué)，完成課題的教學(xué)任務(wù)。（10分）答：（1）①學(xué)生一的解題思路從開始看是比較清晰的，利用兩次,后又結(jié)合分類討論利用兩角差的余弦公式求出cosβ的值，但是分類討論后忘記驗證兩種情況是否成立，原因是對公式 認識不清，掌握不全面，應(yīng)該驗證得出結(jié)果為：若則 所以，sinα與已知矛盾，所以。所以會與老師期望得到的結(jié)果不同。②學(xué)生二利用兩角和正弦公式，化為解一元二次方程得出兩個結(jié)果，最后也是沒有驗證結(jié)果的正確性，和學(xué)生一犯了一樣的錯誤。整體來說學(xué)生對三角函數(shù)公式掌握的比較牢固，運用的也比較熟練，只是在熟練的基礎(chǔ)之上還不能更好地內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，即驗證結(jié)果的成立與分類討論的應(yīng)用。（2）首先請全班同學(xué)同桌兩人為一組討論扮演同學(xué)的答案是否正確，若對，說出解題思路以及解題亮點，若不對應(yīng)該如何糾正。時間為兩分鐘，在此期間我會到學(xué)生中間巡場，走進學(xué)生，找到學(xué)生的疑惑點。兩分鐘后，請學(xué)生代表來分析此題，井說出正確結(jié)果。因為學(xué)生對此知識點掌握相對薄弱，我會在此處著重強調(diào)在得到答案之后驗證的重要性，讓學(xué)生從題目中總結(jié)所學(xué)到的方法。六、教學(xué)設(shè)計題（1題，30分）17．“基本不等式”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，請完成下列任務(wù)。（1）在“基本不等式”起始課的“教學(xué)重點”設(shè)計中，有兩種方案①強調(diào)基本不等式在求數(shù)值中的應(yīng)用，將基本不等式的應(yīng)用作為重點。②強調(diào)基本不等式的背景、過程與意義，將學(xué)生感受和體驗“基本不等式”中“基本”的意義作為重點。你贊同哪種方案？簡述理由。（10分）（2）給出 以及 的幾何解釋。（10分）（3）為了讓高中生充分認識“基本不等式”中“基本”的意義，作為教師應(yīng)該對此有多個維度的理解，請至少從兩個維度談?wù)勀銓Α盎尽币饬x的認識。（10分）答：（1）我更贊同第二種方案，理由如下:①本節(jié)課定位為“基本不等式”的起始課，它是在學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等式關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，學(xué)生對于“基本不等式”還處于初步感知階段，不能一步就理解如何實現(xiàn)基本不等式在求解簡單最大（?。┲诞斨械膽?yīng)用，因此，在“基本不等式”的起始課當中，應(yīng)當先讓學(xué)生結(jié)合基本不等式的背景和意義進行自主探索，了解不等式的證明過程，加深印象及存在原因后再學(xué)習(xí)應(yīng)用會更好。②從新課程標準的要求出發(fā)，高中數(shù)學(xué)課程標準是指導(dǎo)教師進行課程安排、課程設(shè)計難易度的標尺