數(shù)學線段和(差)的最值問題

數(shù)學線段和(差)的最值問題最值問題總體理論依據(jù)：1.線段公理：兩點之間的線段最短。2.對稱性質(zhì)：①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形全等。②對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線。3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線段最短。類型一：已知兩個定點1.在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小。（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線同側(cè)：AA||B--m--PB||A'B'2.在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：A'--m--AP'--m--P|\||\|B--n--QB'--n--Q'（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）臺球兩次碰壁模型A'--m--AD--m--B|\|/|\|/B--n--EC--n--F|/|\|/|\B'--m--A'E'--m--D'變式一：已知點A、B位于直線m、n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E，使得圍成的四邊形ADEB周長最短。nm||A--D--n--E--B||mn變式二：已知點A位于直線m、n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點P、Q，使得PA+PQ+QA周長最短。nm||A--P--m--Q--A||mn例題1：一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x、y軸分別交于點A(2,0)、B(0,4)。（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標。例2：如圖，矩形OABC頂點O位于原點，OA、OC分別在x軸、y軸上。B點坐標為(3,2)，E為AB中點，F(xiàn)為BC邊的三等分點。在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。類型二：一個動點，一個定點（一）動點在直線上運動點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）。1.兩點在直線兩側(cè)：2.兩點在直線同側(cè)：B--n--AB--n--A||||PmAP||||A'B'B'A'（二）動點在圓上運動點B在圓O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）。1.點與圓在直線兩側(cè)：2.點與圓在直線同側(cè)：O--B--mO--B'--m||PP'||A'--m--AA--m--A'）為反比例函數(shù)y=k/x的圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大值時，點P的坐標是（）A．（3，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（4，0）當點A、B在直線m同側(cè)時，可以通過構(gòu)造對稱點B'，連接AB'并延長交直線m于點P，使得PB=PB'，從而得到PA-PB的最大值為AB'。當點A、B在直線m異側(cè)時，則可以通過在直線m上找到一點P'，使得P'BP與直線m垂直，連接AP'并延長交直線m于點P，同樣可以得到PA-PB的最大值。在反比例函數(shù)y=k/x的圖象上，已知點A（1，y1）和B（2，y2），動點P（x，0）在x軸正半軸上運動。要使線段AP與線段BP之差達到最大值，可以通過構(gòu)造對稱點B'，連接AB'并延長交x軸于點P，使得PB=PB