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文檔簡介

矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n

階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證必要性

若

A

與 相似,

則

P可逆矩陣 使得

1P AP

,設

,p1

,

p2

,

,

pn則由AP

P得

n

P

2

1n1

2

n

1

2A

p

,

p

,

,

p

p

,

p

,

,

p

2

,

n

1

即(i

1,

2,

,

n)i

piApi

矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證必要性

n

2

1

P

可逆P

0,

pi

(i

1,2,

,n)都是非零向量,故p1

,p2

,

,pn

都是A

的特征向量,且它們線性無關.充分性設p1

,p2

,

,pn

為A

的n

個線性無關的特征向量,它們對應的特征值為1

,

2

,

n

,則有Api

i

pi

(i

1,

2,

,

n)矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證

n

2

1充分性矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)1

p1

,

n

pn

)

(

2

p2

,

,,

2

1

(

p

,

p

,

,

p

)

P1

2

n

n

矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)

(

1

p1

,

2

p2

,

,

n

pn

)

P

,矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.證 充分性

n

2

1令P

(p1

,p2

,

,pn

),易知P

可逆,且AP

A(

p1

,

p2

,

,

pn

)

(

Ap1

,

Ap2

,

,

Apn

)n

pn

)

P

,

(

1

p1

,

2

p2

,

,用

P

1

左乘上式兩端得

P

1

AP

,

即A

與 相似.證畢.矩陣與對角矩陣相似的條件定理

2

n階矩陣

A與對角矩陣

2

1相似的充分必要條件為矩陣A有n

個線性無關的特征向量.n

推論

若

n階矩陣

A有n

個相異的特征值

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