歸納猜想 探索規(guī)律

精品文檔-下載后可編輯歸納猜想探索規(guī)律翻閱2022年全國(guó)各地的中考試卷，以“數(shù)與式”為背景的探索規(guī)律題愈來愈得到中考命題者的青睞.這類試題一方面能夠激發(fā)同學(xué)們主動(dòng)思考、積極參與，富有個(gè)性地解答問題，另一方面也能夠考查同學(xué)們?cè)跉w納猜想的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力.本文試舉例加以說明，以期對(duì)同學(xué)們的本輪復(fù)習(xí)有所幫助.

一、根據(jù)數(shù)列，探索規(guī)律

例1（2022?廣西玉林）一列數(shù)a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n為不小于2的整數(shù)），則a100=（）.

A.B.2C.-1D.-2

【解析】先逐次根據(jù)an=算出前面的幾個(gè)數(shù)，即可觀察到規(guī)律.因?yàn)閍1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3個(gè)數(shù)，an的數(shù)值開始循環(huán).因?yàn)?00=3×33+1，所以a100=.因此，選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題既是一道探索規(guī)律題，也是一道閱讀理解題.需要同學(xué)們?cè)趹?yīng)用新定義的基礎(chǔ)上確定這列數(shù)的前幾個(gè)數(shù)，并從中感受到整個(gè)數(shù)列的數(shù)值變化規(guī)律.

例2（2022?湖北恩施）把奇數(shù)列成下表，

根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，則上起第8行、左起第6列的數(shù)是_______.

【解析】（1）上起第n行，左起第一列的數(shù)為1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，則上起第8行，左起第一列的數(shù)為71；（2）上起第n行，左起第m列的數(shù)為（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的數(shù)為171.

【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查同學(xué)們的數(shù)感能力.能夠根據(jù)數(shù)字的排列順序，揭示隱含在其中的一般規(guī)律，從而培養(yǎng)同學(xué)們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

二、根據(jù)算式，探索規(guī)律

例3（2022?湖南衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）an=______.

【解析】觀察每個(gè)式子的右邊是兩個(gè)分子都是1的分式的差，第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分母小2.因此，第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）an=-.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

例4（2022?山東濱州）觀察下列各式的計(jì)算過程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

請(qǐng)猜測(cè)，第n個(gè)算式（n為正整數(shù)）應(yīng)表示為______________.

【解析】左邊的兩個(gè)相同的因數(shù)分別看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n個(gè)是5（2n-1），所以算式表示為5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【點(diǎn)評(píng)】探究數(shù)學(xué)式子的規(guī)律時(shí)，需要把所給的式子進(jìn)行橫向和縱向比較，注意觀察已知等式對(duì)應(yīng)數(shù)值的變化，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，即找出各部分所具有的特征，從而探究其具有的規(guī)律.不同的觀察視角有可能得到不同的等式或代數(shù)式.

三、根據(jù)圖形，探索規(guī)律

例5（2022?云南西雙版納，有改動(dòng)）如圖，下列圖形都由同樣大小的十字星圖案按一定的規(guī)律組成，其中第一個(gè)圖形有1個(gè)十字星圖案，第二個(gè)圖形有2個(gè)十字星圖案，第三個(gè)圖形有5個(gè)十字星圖案，第四個(gè)圖形有10個(gè)十字星圖案，…，則第n個(gè)圖形有______個(gè)十字星圖案.

【解析】觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形有1個(gè)十字星圖案，第二個(gè)圖形有2個(gè)，可以認(rèn)為是在第一個(gè)圖形上增加一個(gè)，即當(dāng)n=2時(shí)，第二個(gè)圖形有1+1個(gè)十字星圖案；第三個(gè)圖形有5個(gè)十字星圖案，可以認(rèn)為是在第一個(gè)圖形上增加四個(gè)，即當(dāng)n=3時(shí)，第三個(gè)圖形有4+1個(gè)十字星圖案；第四個(gè)圖形有10個(gè)十字星圖案，可以認(rèn)為是在第一個(gè)圖形上增加九個(gè)，即當(dāng)n=4時(shí)，第四個(gè)圖形有9+1個(gè)十字星圖案；…因此，第n個(gè)圖形是在第一個(gè)圖形上增加（n-1）2個(gè)十字星圖案，即第n個(gè)圖形有（n-1）2+1個(gè)十字星圖案，所以，本題應(yīng)該填（n-1）2+1.

【點(diǎn)評(píng)】探索圖形變化規(guī)律時(shí)，一般需要抓住圖形數(shù)量的增減變化特點(diǎn)，進(jìn)行分析、猜想、歸納、驗(yàn)證后得出結(jié)果.

例6（2022?山東日照）如圖，下列各圖形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與m、n的關(guān)系是（）.

A.M=mnB.M=n（m+1）

C.M=mn+1D.M=m（n+1）

【解析】根據(jù)各圖形中的三個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的數(shù)字加1后所得數(shù)值與上邊的數(shù)字的積恰好是右下角的數(shù)字，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可得出M與m、n的關(guān)系，為M=m（n+1）.因此，本題選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道以圖形為背景的探索的試題.解答時(shí)，需要仔細(xì)觀察數(shù)字和圖形之間的關(guān)系，從而找出規(guī)律.本題除上述規(guī)律外，還具有m=n-1，因此M還可以分別用含有m或n的代數(shù)式表示.

四、根據(jù)圖表，探索規(guī)律

例7（2022?山東淄博）如下表，從左到右在每個(gè)小格中都填入一個(gè)整數(shù)，使得任意三個(gè)相鄰格子所填整數(shù)之和都相等，則第2022個(gè)格子中的整數(shù)是_______.

【解析】根據(jù)題意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4.又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6.所以原表格可整理為：

從表格中的數(shù)字可以看出格子中的整數(shù)是按照-4、6、b的順序循環(huán)出現(xiàn)的，結(jié)合第三個(gè)循環(huán)可知b=-2.所以格子中的整數(shù)是按照-4、6、-2的順序循環(huán)出現(xiàn)，因?yàn)?022÷3=671，所以