二次函數(shù)最值及函數(shù)值范圍問題

二次函數(shù)最值及函數(shù)值范圍問題1.已知二次函數(shù)$y=(x+1)^2-4$，當(dāng)$-2\leqx\leq2$時，則函數(shù)$y$的最小值和最大值分別為多少？解析：先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線$x=-1$，然后根據(jù)二次函數(shù)開口向上確定其增減性，并結(jié)合圖像解答即可。解：因為$y=(x+1)^2-4$，對稱軸為$x=-1$，且$a=1>0$，所以二次函數(shù)開口向上。當(dāng)$x>-1$時，$y$隨$x$的增大而增大；當(dāng)$x<-1$時，$y$隨$x$的增大而減小。由圖像可知，在$-2\leqx\leq2$內(nèi)，$x=2$時，$y$有最大值$(2+1)^2-4=5$；$x=-1$時，$y$有最小值$(-1+1)^2-4=-4$。因此，答案為$-4$和$5$，選項B。2.已知二次函數(shù)$y=-x+4$，當(dāng)$-2\leqx\leq3$時，函數(shù)的最小值是多少？最大值是多少？解析：由二次函數(shù)解析式可求得其開口方向、對稱軸，再利用增減性可求得答案。解：因為$y=-x+4$，所以拋物線開口向下，對稱軸為$y$軸。當(dāng)$x\leq-2$時，$y$隨$x$的增大而減?。划?dāng)$x\geq3$時，$y$隨$x$的增大而減小。當(dāng)$-2\leqx\leq3$時，$y$隨$x$的增大而增大。因此，當(dāng)$x=-2$時，$y$有最小值$-5$；當(dāng)$x=3$時，$y$有最大值$4$。因此，函數(shù)的最小值是$-5$，最大值是$4$。3.已知二次函數(shù)$y=-(x-h)^2+1$，在自變量$x$的值滿足$1\leqx\leq3$的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值$y$的最大值為$-5$，則$h$的值為多少？解析：由解析式可知該函數(shù)在$x=h$時取得最小值$1$，$x<h$時，$y$隨$x$的增大而增大，$x>h$時，$y$隨$x$的增大而減小，根據(jù)$1\leqx\leq3$時，函數(shù)的最大值為$-5$，可分如下兩種情況：①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$時，$y$取得最大值$-5$；②若$1\leqx\leq3<h$，當(dāng)$x=3$時，$y$取得最大值$-5$，分別列出關(guān)于$h$的方程求解即可。解：當(dāng)$x<h$時，$y$隨$x$的增大而增大；當(dāng)$x>h$時，$y$隨$x$的增大而減小。①如圖1，若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$時，$y$取得最大值$-5$，可得：$-(1-h)^2+1=-5$，解得：$h=1-$或$h=1+$；②如圖2，若$1\leqx\leq3<h$，當(dāng)$x=3$時，$y$取得最大值$-5$，可得：$-(3-h)^2+1=-5$，解得：$h=3+$或$h=3-$。③如圖3，當(dāng)$h$在$1\leqx\leq3$內(nèi)時，$y$最大值是不是$-5$，而是$1$，即此情況下$h$的值不存在。綜上，$h$的值為$1-$或$3+$。24.已知二次函數(shù)$y=(x-h)^2+2$，在自變量$x$的值滿足$1\leqx\leq3$的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值$y$的最小值為$6$，則$h$的值為（）A.$-1$或$1$B.$-1$或$5$C.$3$或$1$D.$3$或$5$分析：由解析式可知該函數(shù)在$x=h$時取得最小值$2$，$x>h$時，$y$隨$x$的增大而增大，當(dāng)$x<h$時，$y$隨$x$的增大而減小，根據(jù)$1\leqx\leq3$時，函數(shù)的最小值為$6$?？煞秩缦聝煞N情況：①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$時，$y$取得最小值$6$；②若$1\leqx\leq3<h$，當(dāng)$x=3$時，$y$取得最小值$6$，分別列出關(guān)于$h$的方程求解即可。解：因為$x>h$時，$y$隨$x$的增大而增大，當(dāng)$x<h$時，$y$隨$x$的增大而減小，所以①若$h<1\leqx\leq3$，$x=1$時，$2y$取得最小值$6$，可得：$(1-h)^2+2=6$，解得：$h=-1$或$h=3$（舍）；②若$1\leqx\leq3<h$，當(dāng)$x=3$時，$y$取得最小值$6$，可得：$(3-h)^2+2=6$，解得：$h=5$或$h=1$（舍）。③當(dāng)$h$在$1\leqx\leq3$內(nèi)時，$y$的最小值是$2$，此情況下不符合題意，綜上，$h$的值為$-1$或$5$，故選B。25.已知二次函數(shù)$y=x^2-6x+8$。（1）將$y=x^2-6x+8$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式；（2）當(dāng)$0\leqx\leq4$時，$y$的最小值是$\_\_\_$，最大值是$\_\_\_$；（3）當(dāng)$y<0$時，寫出$x$的取值范圍。分析：（1）由于二次項系數(shù)是$1$，所以直接加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍即可求解；（3）先求出方程$x^2-6x+8=0$的兩根，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解。解：（1）$y=x^2-6x+8=(x^2-6x+9)-9+8=(x-3)^2-1$；（2）因為拋物線$y=x^2-6x+8$開口向上，對稱軸為$x=3$，所以當(dāng)$0\leqx\leq4$時，$x=3$，$y$有最小值$-1$，$x=4$，$y$有最大值$8$；（3）因為$y<0$時，$x^2-6x+8<0$，解得$2<x<4$，所以當(dāng)$y<0$時，$2<x<4$，答案為$-1$，$8$。26.已知二次函數(shù)$y=-(x-2)^2+7$，其中$-1\leqx\leq4$，現(xiàn)有下列說法：①當(dāng)$x=2$時，$y$有最大值$7$；②當(dāng)$x=2$時，$y$有最小值$7$；③當(dāng)$x=-1$時，$y$有最小值$-2$；④當(dāng)$x=4$時，$y$有最大值$3$。其中正確的是（）A.①③B.①④C.②④D.①③④分析：根據(jù)函數(shù)的解析式畫出該二次函數(shù)的草圖，結(jié)合圖形可得函數(shù)的最值情況。解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)$x=2$時，$y$有最大值$7$，故①正確；當(dāng)$x=-1$時，$y$有最小值$-2$，故③正確；故選A。27.已知二次函數(shù)$y=-x^2+2x+3$，當(dāng)$x\geq2$時，$y$的取值范圍是（）A．$y\geq3$B．$y\leq3$C．$y>3$D．$y<3$解析：先求出$x=2$時$y$的值，再求頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的增減性得出即可。解：因為$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,4)$，對稱軸是$x=1$。當(dāng)$x=1$時，$y$最大$=4$，當(dāng)$x=2$時，$y=-4+4+3=3$。因為當(dāng)$x>1$時，$y$隨$x$的增大而減小，所以當(dāng)$x\geq2$時，$y$的取值范圍是$y\leq3$，故選B。28.已知二次函數(shù)$y=-x^2+2x+3$，當(dāng)$x\geq-2$時，$y$的取值范圍是（）。解析：根據(jù)函數(shù)中的解析式，先化為頂點(diǎn)式，從而可以得到當(dāng)$x\geq-2$時，$y$的取值范圍。解：如圖。因為$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以對稱軸是$x=1$。當(dāng)$x>1$時，$y$隨$x$的增大而減小，當(dāng)$x<1$時，$y$隨$x$的增大而增大，所以當(dāng)$x\geq-2$時，$y\leq4$，故答案為：$y\leq4$。29.已知二次函數(shù)$y=x^2-4x+2$，關(guān)于該函數(shù)在$-1\leqx\leq3$的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A.有最大值$-1$，有最小值$-2$B.有最大值，有最小值$-1$C.有最大值$7$，有最小值$-1$D.有最大值$7$，有最小值$-2$解析：把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式解析式的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。解：因為$y=x^2-4x+2=(x-2)^2-2$，所以在$-1\leqx\leq3$的取值范圍內(nèi)，當(dāng)$x=2$時，有最小值$-2$，當(dāng)$x=-1$時，有最大值為$y=9-2=7$。故選D。10.若二次函數(shù)$y=ax^2+4x+a-1$的最小值是$2$，求$a$的值。解析：根據(jù)題意：二次函數(shù)$y=ax^2+4x+a-1$的最小值是$2$，則判斷二次函數(shù)的系數(shù)$a>0$，再根據(jù)公式$y$最小值$=-\frac{b^2}{