高中物理帶電粒子在磁場中的運動知識點匯總

::難點之九：帶電粒子在磁場中的運動一、難點突破策略〔一〕明確帶電粒子在磁場中的受力特點產(chǎn)生洛倫茲力的條件：①電荷對磁場有相對運動．磁場對與其相對靜止的電荷不會產(chǎn)生洛倫茲力作用．②電荷的運動速度方向與磁場方向不平行．洛倫茲力大?。寒?dāng)電荷運動方向與磁場方向平行時，洛倫茲力f=0；當(dāng)電荷運動方向與磁場方向垂直時，洛倫茲力最大，f=qυB；當(dāng)電荷運動方向與磁場方向有夾角θ時，洛倫茲力f=qυB·sinθ洛倫茲力的方向：洛倫茲力方向用左手定則推斷洛倫茲力不做功．〔二〕明確帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律帶電粒子在只受洛倫茲力作用的條件下：θ＝0°或180°υ做勻速直線運動．假設(shè)帶電粒子的速度方向與勻強磁場方向垂直，即θ＝90°時，帶電粒子在勻強磁場中以入射速度υ做勻速圓周運動．qvBmv2①向心力由洛倫茲力供給： RRmv②軌道半徑公式： qBT2R2m m③周期：

v qB，可見Tq有關(guān)，與v、R無關(guān)。〔三〕充分運用數(shù)學(xué)學(xué)問〔尤其是幾何中的圓學(xué)問，切線、弦、相交、相切、磁場的圓、軌跡的圓〕構(gòu)建粒子運動的物理學(xué)模型，歸納帶電粒子在磁場中的題目類型，總結(jié)得出求解此類問題的一般方法與規(guī)律?！皫щ娏Ｗ釉趧驈姶艌鲋械膱A周運動”的根本型問題定圓心、定半徑、定轉(zhuǎn)過的圓心角是解決這類問題的前提。確定半徑和給定的幾何量之間的關(guān)系是解題的根底，t T或tT 有時需要建立運動時間t和轉(zhuǎn)過的圓心角α之間的關(guān)系〔兩種方法。

360 2 〕作為關(guān)心。圓心確實定，通常有以下①入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心〔9-1中P為入射點，M為出射點。9-11:..9-29-3②入射方向和出射點的位置，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心〔9-11:..9-29-32:..:9-6:9-6半徑確實定和計算：利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑或圓心角。并留意以下兩個重要的特點：①粒子速度的偏向角等于盤旋角α，并等于AB弦與切線的夾角〔弦切角θ〕的2倍，如圖9-3所示。即：＝＝2t。②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ/互補，即θ＋θ/＝180o。運動時間確實定粒子在磁場中運動一周的時間為 T，當(dāng)粒子運動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運動時間可由下式表示t T或tT360 2 。留意：帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動具有對稱性。出射速度方向與邊界的夾角相等；②在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。應(yīng)用對稱性可以快速地確定運動的軌跡。19-4y0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B，一帶正電的粒子以速度從Oxyx軸正向的夾角為θ，假設(shè)粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子電量與質(zhì)量之比。圖9-4 圖9-5【審題】此題為一側(cè)有邊界的勻強磁場，粒子從一側(cè)射入，肯定從邊界射出，只要依據(jù)對稱規(guī)律①畫出軌跡，并應(yīng)用弦切角等于盤旋角的一半，構(gòu)建直角三角形即可求解。【解析】依據(jù)帶電粒子在有界磁場的對稱性作出軌跡，如圖9-5所示，找出圓心A，向x軸作垂線，垂足為H，由與幾何關(guān)系得：①帶電粒子在磁場中作圓周運動，由解得 ②①②聯(lián)立解得【總結(jié)】在應(yīng)用一些特別規(guī)律解題時，肯定要明確規(guī)律適用的條件，準(zhǔn)確地畫出軌跡是關(guān)鍵。例2：電視機的顯像管中，電子〔質(zhì)量為m，帶電量為e〕束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進(jìn)入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖9-6所示，磁場方向垂直于圓面，磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點打到屏幕的中心M點。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一角度θ，此時磁場的磁感強度B應(yīng)為多少？【審題】此題給定的磁場區(qū)域為圓形，粒子入射方向，則由對稱性，出射方向肯定沿徑向，而粒子出磁場后作勻速直線運動，相當(dāng)于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂線即可確定圓心，構(gòu)建出與磁場區(qū)域半徑r和軌跡半徑R有關(guān)的直角三角形即可求解?！窘馕觥咳鐖D9-7所示，電子在勻強磁場中做圓周運動，圓周上的兩點a、b分別為進(jìn)入和射出的點。做a、b點速度的垂線，交點O1即為軌跡圓的圓心。設(shè)電子進(jìn)入磁場時的速度為v，對電子在電場中的運動過程有：

eU

mv22::3:..對電子在磁場中的運動〔設(shè)軌道半徑為R〕有：

evBmv2Rtanr由圖可知，偏轉(zhuǎn)角θ與r、R的關(guān)系為： 2 RB1 2mU

tan聯(lián)立以上三式解得：

r e 2【總結(jié)】此題為根本的帶電粒子在磁場中的運動，題目中入射方向，出射方向要由粒子射出磁場后做勻速直線運動打到P點推斷出，然后依據(jù)第一種確定圓心的方法即可求解?！皫щ娏Ｗ釉趧驈姶艌鲋械膱A周運動”的范圍型問題39-8所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強度為B的勻強磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-qCD成θ角的速度V0垂直射入磁場中。要使粒子必能從EF射出，則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？【審題】如圖9-9所示，當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何學(xué)問即可求解速度的臨界值；對于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可。AEFA并與EF9-10所示，作出A、P點速度的垂線相交于O/即為該臨界軌跡的圓心。圖9-8 圖9-9 圖9-10R RCosθd R d臨界半徑R0由0 0

有:

1Cos；故粒子必能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0Rmv0 d

v qBd即: qB 1Cos 有: 0 m(1Cos) 。由圖知粒子不行能從P點下方向射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；A進(jìn)入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不行能從AGEF中有粒子射出的區(qū)域為PG，PGRSindcot dSin dcot且由圖知: 0

1Cos ?！究偨Y(jié)】帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“放縮法”探究出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時關(guān)鍵查找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑RR與R0的大小關(guān)系確定范圍。49-11S360°范圍內(nèi)向各個方向放射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS＝L，擋板左側(cè)布滿垂直紙面對里的勻強磁場；①假設(shè)電子的放射速率為V0，要使電子肯定能經(jīng)過點O，則磁場的磁感應(yīng)強度B的條件？②假設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度為B，要使S放射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的放射速率多大？2eBL③假設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度為B，從S放射出的電子的速度為m，則檔板上消滅電子的范圍多大？圖9-11 圖9-12【審題】電子從點S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運動，由于電子從點S射出的方向不同將使其SSO成銳角且位于SO上方放射出的電子才可能經(jīng)過點O；由于粒子從同一點向各個方向放射，粒子的軌跡構(gòu)成繞S點旋轉(zhuǎn)的一動態(tài)圓，動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖9-12所示，最低點為動態(tài)圓與MN相切時的交點，最高點為動態(tài)圓與MN相割，且SP2為直徑時P為最高點?！窘馕觥竣僖闺娮涌隙芙?jīng)過點O，即SO為圓周的一條弦，RL

mv0L

B2mv0則電子圓周運動的軌道半徑必滿足

2，由eB 2 得： eL

RL

mv0L②要使電子從SO

2，由eB 2v eBL有：0 2m

2eBL R/

mv2L③當(dāng)從S發(fā)出的電子的速度為m 時，電子在磁場中的運動軌跡半徑 qB作出圖示的二臨界軌跡，故電子擊中檔板的范圍在P1P2間；對SP1弧由圖知OP1 L作出圖示的二臨界軌跡，故電子擊中檔板的范圍在P1P2間；

3L(4L)2L2SP2(4L)2L2

15L【總結(jié)】此題利用了動態(tài)園法查找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑RRR0的大小關(guān)系確定范圍。“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的極值型問題查找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。5：圖9-13中半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面對內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面對各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；αm=6.6×10-27kgq=3.2×10-19c，則α粒子通過磁場空間的最大偏::轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運動的最長時間t各多少？【審題】此題α粒子速率肯定，所以在磁場中圓周運動半徑肯定，由于α粒子從點O進(jìn)入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同，要使α粒子在運動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ最大，則必使粒子在磁場中運動經(jīng)過的弦長最大，因而圓形磁場區(qū)域的直徑即為粒子在磁場中運動所經(jīng)過的最大弦，依此作【解析】α粒子在勻強磁場后作勻速圓周運動的運動半徑：R【解析】α粒子在勻強磁場后作勻速圓周運動的運動半徑：Rmv0.2m2rqBα粒子從點O入磁場而從點P出磁場的軌跡如圖圓O/所對應(yīng)的圓弧所示，該弧所對的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ。由上面計算知△SO/P必為等邊三角形，故θ＝60°9-139-13此過程中粒子在磁場中運動的時間由即為粒子在磁場中運動【總結(jié)】當(dāng)速度肯定時，弧長〔或弦長〕越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。6：一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點沿等邊三角形ABC的AB方向射入強度為B的垂直于紙面的圓形勻強磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。AB進(jìn)入磁場而從BC射出磁場的PQ場的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實線圓所示?！窘馕觥坑深}意知，圓形磁場區(qū)域的最小面積為圖中實線所示的圓的面積。2rPQ2rPQ2RCos則：3mv0qBSr 23mv2 20故最小磁場區(qū)域的面積為4q2B2 。9-14【總結(jié)】依據(jù)軌跡確定磁場區(qū)域，把握住“直徑是圓中最大的弦“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的多解型問題抓住多解的產(chǎn)生緣由：帶電粒子電性不確定形成多解。磁場方向不確定形成多解。臨界狀態(tài)不唯一形成多解。運動的重復(fù)性形成多解。79-15所示，第一象限范圍內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為Bmq的帶電粒子在xoy平面里經(jīng)原點O射入磁場中，初速度v0x軸夾角θ=60o，試分析計算：帶電粒子從何處離開磁場？穿越磁場時運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大？9-159-155:..9-16::【解析】粒子運動半徑：9-16，有帶電粒子沿半徑為R的圓運動一周所用的時間為〔1〕假設(shè)粒子帶負(fù)電，它將從x軸上A點離開磁場，運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角A點與O【解析】粒子運動半徑：9-16，有帶電粒子沿半徑為R的圓運動一周所用的時間為〔1〕假設(shè)粒子帶負(fù)電，它將從x軸上A點離開磁場，運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角A點與O點相距假設(shè)粒子帶正電，它將從y軸上B點離開磁場，運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角B點與O點相距〔2〕假設(shè)粒子帶負(fù)電，它從O〔2〕假設(shè)粒子帶負(fù)電，它從O到A所用的時間為假設(shè)粒子帶正電，它從O到B所用的時間為A.B.C.D.例8mq的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動，假設(shè)磁場方向垂直于它的運動平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運動的角速A.B.C.D.【審題】依題中條件“磁場方向垂直于它的運動平面反的兩個勻強磁場中，由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛侖茲力的方向也是相反的。因此分兩種狀況應(yīng)用牛頓其次定律進(jìn)展求解。，得此種狀況下，負(fù)電荷運動的角速度為，得此種狀況下，負(fù)電荷運動的角速度為當(dāng)負(fù)電荷所受的洛侖茲力與電場力方向相反時，有，得6:.當(dāng)負(fù)電荷所受的洛侖茲力與電場力方向相反時，有，得::BqvBqvv2由于0m0r所以即:當(dāng)粒子從右邊射出時，假設(shè)運動軌跡半徑最小，則其圓心為圖中O2點，半徑為。9-17由幾何關(guān)系可得:此種狀況下，負(fù)電荷運動的角速度為應(yīng)選A、C。此種狀況下，負(fù)電荷運動的角速度為【總結(jié)】此題中只告知了磁感應(yīng)強度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強度的方向，此時必需要考慮磁感應(yīng)強度方向不確定而形成雙解。小為B，方向垂直紙面對里，一個質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感9小為B，方向垂直紙面對里，一個質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感線的方向射入磁場。求在什么范圍內(nèi)，粒子能從磁場內(nèi)射出？【解析】如圖9-17乙所示，當(dāng)粒子從左邊射出時，假設(shè)運動軌跡半徑最大，則其圓心為圖中O1點，半徑。因此粒子從左邊射出必需滿足。線的方向射入磁場。求在什么范圍內(nèi)，粒子能從磁場內(nèi)射出？【解析】如圖9-17乙所示，當(dāng)粒子從左邊射出時，假設(shè)運動軌跡半徑最大，則其圓心為圖中O1點，半徑。因此粒子從左邊射出必需滿足。因此粒子從右邊射出必需滿足的條件是，即所以當(dāng)或時，粒子可以從磁場內(nèi)射出?！究偨Y(jié)】此題只問帶電粒子在洛倫茲力作用下飛出有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，因此粒子從右邊射出必需滿足的條件是，即所以當(dāng)或時，粒子可以從磁場內(nèi)射出。109-18所示，在x軸上方有一勻強電場，場強為E，方向豎直向下。在x軸下方有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度B，方向垂直紙面對里。在x軸上有一點P，離原點的距離為a?，F(xiàn)有一帶電量+q的粒子，質(zhì)量為m，從y軸上某點由靜止開頭釋放，要使粒子能經(jīng)過P點，其初始坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？〔重力作用無視不計〕9-18P點，由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)到達(dá)P點時可能經(jīng)過的半圓個數(shù)不確定，導(dǎo)致多解?！?〕粒子從y軸上由靜止釋放，在電場加速下進(jìn)入磁場做半徑為R的勻速圓周運動。由于粒子可能偏轉(zhuǎn)一個、二個……半圓到達(dá)P點，故 ①設(shè)釋放處距O的距離為y1，則有:7:..圖9-19::10:..③②由①、②、③式有③②【總結(jié)】帶電粒子在局部是磁場，局部是電場的空間運動時，運動往往具有重復(fù)性，因而形成多解。帶電粒子在幾種“有界磁場”中的運動〔1〕帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運動例11：核聚變反響需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內(nèi)〔否則不行能發(fā)生核反響，通常承受磁約束的方法〔托卡馬克裝置。如圖9-19所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子R1=0.5磁場的磁感強度B=1.0T，假設(shè)被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×107C/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度。試計算：粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。全部粒子不能穿越磁場的最大速度。【審題】此題也屬于極值類問題，尋求“臨界軌跡”是解題的關(guān)鍵。要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必需要與外圓相切；要使全部粒子都不穿越磁場，應(yīng)保證沿內(nèi)圓切線方向射出的粒子不穿越磁場，即運動軌跡與內(nèi)、外圓均相切。r1〔1〕9-20r1由圖中知r2

(R r2，解得r

0.375m1 1 2 1 1V2 Bqrr1BqV m 1 V r1由 1 得1

11.5107m/sm所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為

圖9-20。V 1.5107m/s。1OO2〔2〕當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖9-21OO2

則以V1速度沿r由圖中知2

R2

R10.25m2V2 BqrBqV m 2 V 2 r 2由 2得

21.0107m/sm

圖9-21所以全部粒子不能穿越磁場的最大速度V2

1.0107m/s【總結(jié)】帶電粒子在有界磁場中運動時，運動軌跡和磁場邊界“相切”往往是臨界狀態(tài)，對于解題起到關(guān)鍵性作用。帶電粒子在有“圓孔的磁場中運動129-22所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫aSSU應(yīng)是多少？〔不計重力，整個裝置在真空中〕a 【審題】帶電粒子從S點動身，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場S S點的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿d o c

過了d，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重進(jìn)入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點?！窘馕觥咳鐖D9-23所示，設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速度大小為V，依據(jù)動能定理，有qU

1mV