2023學(xué)年完整公開課版聚焦中考

第2講整式及其運(yùn)算要點(diǎn)梳理

1．單項(xiàng)式：由或相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做__，數(shù)字因數(shù)叫做．單獨(dú)的數(shù)、字母也是單項(xiàng)式．?dāng)?shù)與字母字母與字母單項(xiàng)式的次數(shù)單項(xiàng)式的系數(shù)要點(diǎn)梳理

2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)，其中不含字母的項(xiàng)叫做．3．整式：統(tǒng)稱為整式．4．同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含相同并且

也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．單項(xiàng)式相加多項(xiàng)式的次數(shù)常數(shù)項(xiàng)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式字母相同字母的指數(shù)要點(diǎn)梳理

5．冪的運(yùn)算法則(1)同底數(shù)冪相乘：；(2)冪的乘方：；(3)積的乘方：；(4)同底數(shù)冪相除：．a(chǎn)m·an＝am＋n(m，n都是整數(shù)，a≠0)(am)n＝amn(m，n都是整數(shù)，a≠0)(ab)n＝an·bn(n是整數(shù)，a≠0，b≠0)am÷an＝am－n(m，n都是整數(shù)，a≠0)要點(diǎn)梳理

6．整式乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m(a＋b)＝；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：(a＋b)(c＋d)＝.ma＋mbac＋ad＋bc＋bd要點(diǎn)梳理

7．乘法公式(1)平方差公式：；(2)完全平方公式：．(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2要點(diǎn)梳理

8．整式除法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后把所得的商相加．一座“橋梁”用字母表示數(shù)是從算術(shù)過渡到代數(shù)的橋梁，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，用字母表示數(shù)能夠簡(jiǎn)明地表示出事物的規(guī)律及本質(zhì)特征．只有借助字母，才能把一些數(shù)量規(guī)律及數(shù)量更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表示出來．用字母表示數(shù)：(1)注意字母的確定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．二種思維方法法則公式既可正向運(yùn)用，也可逆向運(yùn)用．逆向運(yùn)用和靈活變式運(yùn)用既可簡(jiǎn)化計(jì)算，又能進(jìn)行較復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較．當(dāng)直接計(jì)算有較大困難時(shí)，考慮逆向運(yùn)用，可起到化難為易的功效．三種數(shù)學(xué)思想(1)觀察、比較、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想觀察才能獲取大量信息，成為智慧的源泉，比較才能發(fā)現(xiàn)信息的異同；通過歸納使共同點(diǎn)浮出水面，總結(jié)歸納的結(jié)果獲得猜想、有所發(fā)現(xiàn)，這就是歸納的思想，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法．(2)整體思想在進(jìn)行整式運(yùn)算或求代數(shù)式值時(shí)，若將注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，把一些緊密聯(lián)系的代數(shù)式作為一個(gè)整體來處理．借助“整體思想”，可以拓寬解題思路，收到事半功倍之效．整體思想最典型的是應(yīng)用于乘法公式中，公式中的字母a和b不僅可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，如(x－2y＋z)(x＋2y－z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋4yz－z2.(3)數(shù)形結(jié)合思想在列代數(shù)式時(shí)，常常能遇到另外一種類型的題：給你提供一定的圖形，通過對(duì)圖形的觀察探索，搜集圖形透露的信息，并根據(jù)相關(guān)的知識(shí)去列出相應(yīng)的代數(shù)式，也能用圖形驗(yàn)證整式的乘法和乘法公式．

1．(2014·河南)下列各式計(jì)算正確的是()A．a(chǎn)＋2a＝3a2

B．(－a3)2＝a6C．a(chǎn)3·a2＝a6D．(a＋b)2＝a2＋b2B2．(2014·江西)下列運(yùn)算正確的是()A．a(chǎn)2＋a3＝a5

B．(－2a2)3＝－6a5C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1D．(2a3－a2)÷a2＝2a－1D3．(2014·襄陽)下列計(jì)算正確的是()A．a(chǎn)2＋a2＝2a4

B．4x－9x＋6x＝1C．(－2x2y)3＝－8x6y3

D．a(chǎn)6÷a3＝a2C4．(2014·湖州)計(jì)算2x(3x2＋1)的結(jié)果是()A．5x3＋2xB．6x3＋1C．6x3＋2xD．6x2＋2xC5．(2014·棗莊)如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為(a＋2)的小正方形(a＞2)，將剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為()A．a(chǎn)2＋4B．2a2＋4aC．3a2－4a－4D．4a2－a－2C整式的加減運(yùn)算

【例1】

(1)(2014·邵陽)下列計(jì)算正確的是()A．2x－x＝x

B．a(chǎn)3·a2＝a6C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2(2)(2014·威海)已知x2－2＝y(tǒng)，則x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值是(

)A．－2

B．0

C．2

D．4(3)計(jì)算：3(2xy－y)－2xy＝．AB4xy－3y【點(diǎn)評(píng)】整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號(hào)的，先去括號(hào)，只要算式中沒有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果．1．(1)(2014·威海)下列運(yùn)算正確的是(

)

A．2x2÷x2＝2x

B．(－12a2b)3＝－16a6b3

C．3x2＋2x2＝5x2

D．(x－3)3＝x3－9

C(2)化簡(jiǎn)14(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一個(gè)結(jié)果(

)

A．－16x－10

B．－16x－4

C．56x－40

D．14x－10

(3)(2014·廈門)先化簡(jiǎn)下式，再求值：

(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中x＝2＋1.

D同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng)【例2】若－4xay＋x2yb＝－3x2y，則a＋b＝____．【點(diǎn)評(píng)】

(1)判斷同類項(xiàng)時(shí)，看字母和相應(yīng)字母的指數(shù)，與系數(shù)無關(guān)，也與字母的相關(guān)位置無關(guān)，兩個(gè)只含數(shù)字的單項(xiàng)式也是同類項(xiàng)；(2)只有同類項(xiàng)才可以合并．32．(1)(2012·畢節(jié))已知12xn－2my4與－x3y2n是同類項(xiàng)，則(mn)2010的值為(

)

A．2010

B．－2010

C．1

D．－1

(2)(2014·濟(jì)寧)化簡(jiǎn)－5ab＋4ab的結(jié)果是(

)

A．－1

B．a(chǎn)

C．b

D．－ab

CD【例3】

(1)(2014·濟(jì)南)下列運(yùn)算中，結(jié)果是a5的是()A．a(chǎn)3·a2B．a(chǎn)10÷a2C．(a2)3D．(－a)5(2)(2012·南京)計(jì)算(a2)3÷(a2)2的結(jié)果是()A．a(chǎn)B．a(chǎn)2C．a(chǎn)3D．a(chǎn)4AB【點(diǎn)評(píng)】

(1)冪的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時(shí)要明確運(yùn)算的類型，正確運(yùn)用法則；(2)在運(yùn)算的過程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處理．3．(1)(2014·新疆)下列各式計(jì)算正確的是()A．a(chǎn)2＋2a3＝3a5B．(a2)3＝a5C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．a(chǎn)·a2＝a3D(2)(2014·隨州)計(jì)算(－12xy2)3，結(jié)果正確的是(

)

A.14x2y4

B．－18x3y6

C.18x3y6

D．－18x3y5

B整式的混合運(yùn)算及求值【例4】

(2014·紹興)先化簡(jiǎn)，再求值：

a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)，其中a＝1，b＝－12.

【點(diǎn)評(píng)】注意多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，另外去括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變化，最后把所得式子化簡(jiǎn)，即合并同類項(xiàng)，再代值計(jì)算．4．(2012·杭州)化簡(jiǎn)2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]，若m是任意整數(shù)，請(qǐng)觀察化簡(jiǎn)后的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)原式表示一個(gè)什么數(shù)？解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3個(gè)－2m相乘，或者說是一個(gè)立方數(shù)，8的倍數(shù)等乘法公式【例5】

(2013·義烏)如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖②的等腰梯形．(1)設(shè)圖①中陰影部分面積為S1，圖②中陰影部分面積為S2，請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示S1和S2；(2)請(qǐng)寫出上述過程所揭示的乘法公式．【點(diǎn)評(píng)】

(1)在利用完全平方公式求值時(shí)，通常用到以下幾種變形：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的變式及整體代入的思想．(2)算式中的局部直接使用乘法公式、簡(jiǎn)化運(yùn)算，任何時(shí)候都要遵循先化簡(jiǎn)，再求值的原則．5．(1)整式A與m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，則A＝.4mn(2)(2014·廣州)已知多項(xiàng)式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.①化簡(jiǎn)多項(xiàng)式A；②若(x＋1)2＝6，求A的值．試題一個(gè)兩位數(shù)，將它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，證明所得的數(shù)與原來的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．審題視角通過舉例子的辦法來理解題意，例如28，將它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得82，它與原來的兩位數(shù)之差為54，是9的倍數(shù)．但是，兩位數(shù)很多，要一個(gè)一個(gè)去驗(yàn)證，顯然很麻煩．為此想到利用字母去表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，用式子表示這個(gè)兩位數(shù)和對(duì)調(diào)數(shù)字后所得的新兩位數(shù)，通過計(jì)算來證明一般的結(jié)論．規(guī)范答題證明：設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，那么這個(gè)兩位數(shù)就等于10a＋b.將十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的新數(shù)的十位數(shù)字是b，個(gè)位數(shù)字是a，它等于10b＋a.于是，所得的新數(shù)與原來的兩位數(shù)之差為：(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a＝9(b－a)．因?yàn)閎－a是一個(gè)整數(shù)，所以9(b－a)是9的倍數(shù)，即所得的新數(shù)與原來的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．答題思路第一步：先考慮特殊的情形，寫出任意一個(gè)兩位數(shù)，以此為立足點(diǎn)探索一般規(guī)律；第二步：利用字母去表示兩位數(shù)的十位數(shù)字和