全等三角形中的輔助線作法課件

全等三角形輔助線

專題講座

通江縣第二中學(xué)劉仕平全等三角形輔助線

專題講座通江縣第二1知識要點(diǎn)：判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL

如果題目給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理、定理來進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，問題就可以迎刃而解了。知識要點(diǎn)：判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS2構(gòu)造輔助線的方法：1.連線法2．截長補(bǔ)短法

3．作平行線法：若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對Rt△,有時可作出斜邊的中線4．倍長中線法：題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)5．翻折法：若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形構(gòu)造輔助線的方法：1.連線法31．連線法通過連線,構(gòu)造全等三角形1．連線法通過連線,構(gòu)造全等三角形4例1.如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形例1.如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACB5連線構(gòu)造全等例2.如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長.連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形ACBDO連線構(gòu)造全等例2.如圖,AB與CD交于O,且AB=CD62．截長補(bǔ)短法（通常用來證明線段和差相等）“截長法”即把結(jié)論中最大的線段根據(jù)已知條件分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補(bǔ)短法”即把兩條線段中的一條補(bǔ)長成為一條長線段，然后證明補(bǔ)成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短的線段相等。2．截長補(bǔ)短法（通常用來證明線段和差相等）“截長法”即把結(jié)論7例3.如圖AC//BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD.

分析：本題是線段和差問題的證明，基本方法是截長補(bǔ)短法，即在AB上截取AF，使AF=AC，這樣，只要證明FB=BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等。例3.如圖AC//BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA8證明：在AB上取點(diǎn)F，使AF=AC，連結(jié)EF∵EA平分∠CAB∴∠CAE=∠FAE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°又∵∠AFE+∠BFE=180°∴∠D=∠BFE∵EB平分∠ABD∴∠EBF=∠EBD∴△BFE≌△BDE（AAS）∴BD=BF∵AB=AF+BF∴AB=AC+BD證明：9例4.已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2求證:AB=AC+CDADBCE12在AB上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接DE截長F在AC的延長線上取點(diǎn)F使得CF=CD，連接DF補(bǔ)短例4.已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2ADBCE103．作平行線法如果題目中含有中點(diǎn)，可以通過中點(diǎn)作平行線對于Rt△,有時可作出斜邊的中線．3．作平行線法如果題目中含有中點(diǎn)，可以通過中點(diǎn)作平行線11例5.如圖，△ABC中，AB＝AC。E是AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，延長AC到D，使CD＝BE，連接DE交BC于F。求證：EF＝FD。例5.如圖，△ABC中，AB＝AC。E是AB上異于A、B的任124．倍長中線法如果題中條件有中線，可將中線延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。4．倍長中線法如果題中條件有中線，可將中線延長一倍，以構(gòu)造全13例6.如圖1，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD例6.如圖1，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD14例7.如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB、∠ADC的平分線交AB、AC于E、F。求證：BE+CF＞EF

分析：本題中已知D為BC的中點(diǎn)，要證BE、CF、EF間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)D將BE旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個三角形內(nèi)。例7.如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB、∠ADC的平分線155．翻折法沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形沿高線翻折構(gòu)造全等三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形5．翻折法沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形16證明：已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE=AB，連結(jié)DE。∵BD是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已證）

BD=BD（公共邊）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°

（等量代換）∴∠A＝∠3（全等三角形的對應(yīng)角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已證）∴DE=DC（等量代換）∴∠4=∠C（等邊對等角）AD=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）例8.證明：已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分17例9.如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求證：AB＋BD＝AC。例9.如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。18初中幾何常見輔助線作法口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

初中幾何常見輔助線作法口訣19三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中有中線，延長中線等中線。

三角形20解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

全等三角形中的輔助線作法ppt課件21

1.利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有結(jié)論：在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE?！鰽DE≌△ADC。ED=CD∠AED=∠C∠ADE=∠ADC。1.利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形如22方法二：ABCDF延長AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。必有結(jié)論：△ABD≌△AFD。BD=FD如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題：

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形?！螧=∠F∠ADB=∠ADF。方法二：ABCDF延長AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。必有23如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有結(jié)論：△AMD≌△ADN。DM=DN3*21

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。AM=AN∠ADM=∠ADN（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問24如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDE12證明:在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。∵AD是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等邊對等角）4∴∠C＝∠3（全等三角形的對應(yīng)角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代換）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）∴∠C=2∠B（等量代換）ED=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+25如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDF12證明:延長AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）∴AB=AC+CF=AF（等量代換）∵∠ACB=2∠F（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）∴∠ACB=2∠B（等量代換）321*在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已證）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△ABD