函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性練習(xí)題 本部

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性練習(xí)題本部1.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+1)+f(x)=3，當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)，f(x)=2+x，則求f(-2007.5)的值。根據(jù)函數(shù)f(x)的偶性，可以得到f(-2007.5)=f(2007.5)，又因?yàn)閒(x+1)+f(x)=3，所以f(x+2)+f(x+1)=3，進(jìn)而可以得到f(2007.5)+f(2009.5)=3。又因?yàn)閒(x)=2+x，所以f(0)=2，將其代入f(x+1)+f(x)=3中，可以得到f(1)+f(0)=3，即f(1)=1。將f(x)的表達(dá)式代入f(x+2)+f(x+1)=3中，可以得到2x+5=f(x+2)，代入f(-2007.5)=f(2007.5)中，可以得到f(-2007.5)=2-2007.5+5=-2000.5，因此答案為C.-1.5。2.定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈R，都有f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，且f(2)=1，則求f(2016)的值。由f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，可以得到f(x+4)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。又因?yàn)閒(2)=1，所以f(4)=0，f(6)=-1，f(8)=-∞，f(10)=1，f(12)=0?？梢园l(fā)現(xiàn)，f(x)的值在每個(gè)周期內(nèi)都是循環(huán)的，因此f(2016)的值與f(2)的值相同，即為1，因此答案為A.1113。3.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)=-x^2+x，則求函數(shù)f(x)的最小值。由f(x)+f(-x)=0，可以得到f(0)=0，因此f(x)是奇函數(shù)。又因?yàn)閒(x-1)=f(x+1)，可以得到f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。在一個(gè)周期內(nèi)，f(x)的最小值為f(3/4)=-3/16，因此f(x)的最小值為-3/16，因此答案為B.-3/16。4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(-x)=-f(x+4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增，如果x1<x2，且x1+x2<4，則求f(x1)+f(x2)的值。由f(-x)=-f(x+4)，可以得到f(x+4)=-f(-x)=f(x)，因此f(x)是以4為周期的函數(shù)。又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)在區(qū)間(2,6)上單調(diào)遞增，且f(x+4)=f(x)。因此，對(duì)于x1<x2，若x1+x2<4，則x2=x1+a(0<a<2)，此時(shí)f(x2)=f(x1+a)，且f(x1)+f(x2)=2f(x1+a/2)。因?yàn)閒(x)在區(qū)間(2,6)上單調(diào)遞增，因此f(x1+a/2)的值唯一確定。又因?yàn)閤1+x2<4，所以a<2，因此f(x1)+f(x2)的值唯一確定，即為一個(gè)常數(shù)，因此答案為A.可正可負(fù)。5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f(x+1)和f(x-1)都是奇函數(shù)，則求證f(x)是偶函數(shù)。因?yàn)閒(x+1)和f(x-1)都是奇函數(shù)，所以f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)。將x替換為-x-2，可以得到f(x-1)=-f(-x-1)，將x替換為-x+2，可以得到f(x+1)=-f(-x+1)。因此f(x+1)+f(x-1)=-f(-x+1)-f(-x-1)=-f(x-1)-f(x+1)，即f(x)是偶函數(shù)。6.函數(shù)f(x)=x+3/(x+1)關(guān)于點(diǎn)(-1,4)對(duì)稱(chēng)。對(duì)于任意點(diǎn)(x,y)，如果點(diǎn)在(-1,4)的上方，則與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(x,y-2(y-4)/(x+1))；如果點(diǎn)在(-1,4)的下方，則與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(x,y+2(4-y)/(x+1))。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像是開(kāi)口向上的雙曲線，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(-1,4)對(duì)稱(chēng)。7.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x)，當(dāng)|x|≤1時(shí)，f(x)=x，則求f(7.5)的值。因?yàn)閒(x+2)=-f(x)，所以f(7.5)=f(1.5)=-f(5.5)=-f(-1.5)=f(0.5)=0.5，因此答案為0.5。8.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1,1)上，f(x)=x，在區(qū)間[1,2)上，f(x)=-4x^2+2，則求f(3/2)的值。因?yàn)閒(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(3/2)=f(-1/2)。因?yàn)?1/2∈[-1,1)，所以f(-1/2)=-1/2。因此f(3/2)=-1/2，在區(qū)間[-1,1)上f(x)=x，在區(qū)間[1,2)上f(x)=-4x^2+2，因此f(3/2)=1/2*(-4)+2=3/2，因此答案為3/2。9.已知f(x+1)=f(x-1)，f(x)=f(-x+2)，方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根，則[0,2016]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為多少？因?yàn)閒(x+1)=f(x-1)，所以f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。因?yàn)閒(x)=f(-x+2)，所以f(x)是偶函數(shù)。因?yàn)榉匠蘤(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值符號(hào)相反，且f(0)=0。因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值絕對(duì)值相等，因此f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值分別為正數(shù)和負(fù)數(shù)。因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，所以f(x)在[1,2)和[2,3)內(nèi)的值符號(hào)相反，且f(2)=0。因?yàn)閒(x)在[1,2)內(nèi)是偶函數(shù)，在[2,3)內(nèi)是奇函數(shù)，所以f(x)在[1,2)內(nèi)的值為正數(shù)，[2,3)內(nèi)的值為負(fù)數(shù)。因此f(x)在[0,1]內(nèi)的值從正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)，因此方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個(gè)根。因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]內(nèi)的值符號(hào)相反，且f(-2016)=f(2016)=0。因?yàn)閒(x)在[-1,-2015]內(nèi)的值為負(fù)數(shù)，在[2015,2016]內(nèi)的值為正數(shù)，因此f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]內(nèi)的值分別為負(fù)數(shù)和正數(shù)。因此方程f(x)=0在[0,2016]內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為1，因此答案為1。10.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1,1]上，f(x)=bx+2，在區(qū)間(1,2)上，f