相似三角形教案課件

相似三角形的判定定理1的運(yùn)用二例1：如圖，D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的長(zhǎng).解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).∴∴BC=14.BADEC相似三角形的判定定理1的運(yùn)用二例1：如圖，D,E分別是△AB1例2：如圖，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB.∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.

∴△ADE∽△EFC.（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．）例2：如圖，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，AEFBCD22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別在邊AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的邊長(zhǎng).解：∵四邊形EFCD是正方形，∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.∵∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ABC.∴DE=3,即正方形的邊長(zhǎng)為3.2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三3利用兩角判定三角形相似定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似課堂小結(jié)相似三角形的判定定理1的運(yùn)用利用兩角判定三角形相似定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似課4講授新課相似三角形的判定定理2一我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D,使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′,交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’講授新課相似三角形的判定定理2一我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論5

∵A′D=AB，∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE∽△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，6由此得到三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．由此得到三角形的判定定理2：7解：∵AE=1.5，AC=2，∴∵∴又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC(兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似)∴ ∴BC=3.∴DE=相似三角形的判定定理2的運(yùn)用二例1:如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3,且，求DE的長(zhǎng).ACBED解：∵AE=1.5，AC=2，相似三角形的判定定理2的運(yùn)用8例2:如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且求證：∠ACB=90°．ABCD解：∵CD是邊AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.例2:如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，且91.

如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD,使△ABC∽△DBA的條件是（）

A.

AC:BC=AD:BD

B.

AC:BC=AB:ADC.

AB2=CD·BCD.

AB2=BD·BCD當(dāng)堂練習(xí)ABCD1.如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD,使△A102.已知在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠

A=∠A′=90°，AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm.

求證：△A′B′C′∽△ABC.證明：

∠A=∠A′=90°，

∴△ABC∽△

A′B′C′.2.已知在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∠A=∠A′113.△ABC為銳角三角形，BD、CE為高

.

求證：△ADE∽△ABC.證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°.∴∠ABD=∠ACE.

又∵∠A=∠A，∴△ABD

∽△ACE.∴∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.

ABDCEO3.△ABC為銳角三角形，BD、CE為高.證明：∵BD⊥12利用兩邊及夾角判定三角形相似定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似課堂小結(jié)相似三角形的判定定理2的運(yùn)用利用兩邊及夾角判定三角形相似定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相13講授新課相似三角形的判定定理3一我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D,使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′,交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.又A′D=AB,△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’講授新課相似三角形的判定定理3一我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論14∴A′E=AC,DE=BC.∴△A′DE∽△ABC,∴△A′B′C′∽△ABC.由此得到三角形的判定定理3：

三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．∴A′E=AC,DE=BC15相似三角形的判定定理3的運(yùn)用二

例1:如圖所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°,求∠CAE的度數(shù).解：∵∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個(gè)三角形相似).∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC

=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°.∴∠CAE=20°.ABCDE相似三角形的判定定理3的運(yùn)用二例1:如圖所示，在△AB16例2:如圖，在Rt△ABC

與Rt△A′B′C′中，

∠C=∠C′=90°，且求證：△A′B′C′∽△ABC.

證明：由已知條件得AB=2A′B′,AC=2A′C′

從而BC2=AB2-AC2=(2A′B′)2-(2A′C′)2=4A′B′2–4A′C′2=4(A′B′2-A′C′

2)=4B′C′2=(2B′C′)2.從而由此得出，BC=2B′C′因此△A′B′C′∽△ABC.(三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似)例2:如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，17當(dāng)堂練習(xí)1.已知△ABC和△DEF,根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC＝24.

DE＝16，EF＝20，DF＝30.(2)AB=4，BC=8，

AC＝10.

DE＝20，EF＝16，DF＝8.(1)AB=3，BC=4，AC＝6.

DE＝6，EF＝8，DF＝9.是否否（注意：大對(duì)大，小對(duì)小，中對(duì)中．）當(dāng)堂練習(xí)1.已知△ABC和△DEF,根據(jù)下列條件判斷它們是182.如圖,△ABC與△A′B′C′相似嗎?你用什么方法來(lái)支持你的判斷?CBAA′B′C′解：這兩個(gè)三角形相似．設(shè)1個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則2.如圖,△ABC與△A′B′C′相似嗎?你用什么方法193.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．求證：△ABC與△A′B′C′相似．證明：∵

∴

∴△ABC∽△A′B′C′（三邊成比例的兩個(gè)三角形相似)．ACBC′A′B′3.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，證明：20利用三邊判定三角形相似定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似課堂小結(jié)相似三角形的判定定理3的運(yùn)用利用三邊判定三角形相似定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似21導(dǎo)入新課問題：相似三角形的判定方法有哪些？①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.③三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.導(dǎo)入新課問題：相似三角形的判定方法有哪些？①兩角對(duì)應(yīng)相等，22講授新課證明相似三角形的判定定理一在上兩節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，稍候我們將對(duì)它們進(jìn)行證明．定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'中，∠A

=∠A'，∠B

=∠B'.求證：△ABC

∽△A'B'C'．A′B′C′ABC講授新課證明相似三角形的判定定理一在上兩節(jié)中，23A′B′C′ABC證明：在

△ABC

的邊AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC

于點(diǎn)E，則∠1=∠B，∠2=∠C，過點(diǎn)

D

作

AC

的平行線,交

BC

于點(diǎn)

F,則∴ ∴∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形

DFCE

是平行四邊形．∴DE=CF.∴ ∴EDF12A′B′C′ABC證明：在△ABC的邊AB（或它的延長(zhǎng)24而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'

．∴△ABC∽△A'B'C.

A′B′C′ABCEDF12而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=25定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'

中，∠A=∠A'，求證：△ABC

∽△A'B'C'.A′B′C′ABCED12證明：在△ABC

的邊AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D

作BC

的平行線，交AC

于點(diǎn)E，則

定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在26則∠

B=∠1，∠

C=∠2，∴△ABC

∽△ADE∴∵ ，AD=A'B'，∴ ∴∴AE=A'C'.而∠A=∠A'，∴△ADE

≌△A'B'C'.△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ABCED12則∠B=∠1，∠C=∠2，A′B′C′AB27定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC

和△A'B'C'

中，求證：△ABC

∽

△A'B'C'.A′B′C′ACEDB證明：在△ABC

的邊AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D

作BC

的平行線，交AC

于點(diǎn)E，則

定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.已知：如圖，在△ABC28∵ ，AD=A'B'，AE=A'C'，∴ 而

∠

BAC=∠

DAE，∴△ABC

∽△ADE.∴又 ，AD=A'B'，∴ ∴ ∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.A′B′C′ACEDB∵ ，AD=A'B'，AE=A'C'，A′B′C29相似三角形判定定理的運(yùn)用

二例：已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.CDAB解：

∵∠

A=∠

A,∠ABD=∠C,

∴△ABD

∽△ACB

,∴AB

:

AC=AD

:

AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.相似三角形判定定理的運(yùn)用二例：已知:如圖,∠ABD=∠C，301.如下圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）①②③④①③當(dāng)堂練習(xí)1.如下圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是①312.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=

，求AD的長(zhǎng).解:∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=∴

又∠B=∠ACD,∴△ABC∽△DCA，∴∴AD=ABCD2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=632相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.定理的運(yùn)用定理證明定理2:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.課堂小結(jié)相似三角形判定定理的證明定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似33講授新課運(yùn)用相似三角形解決高度(長(zhǎng)度)測(cè)量問題一例1：如下圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.

我們來(lái)試著用學(xué)過的知識(shí)解決前面提出的問題．講授新課運(yùn)用相似三角形解決高度(長(zhǎng)度)測(cè)量問題一例1：如下圖34解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF，∴=，∴=，

∴BO=134.因此金字塔高134m.

解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，因此金字塔高35物1高：物2高=影1長(zhǎng)：影2長(zhǎng)測(cè)高方法一：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.物1高：物2高=影1長(zhǎng)：影2長(zhǎng)測(cè)高方法一：測(cè)36例2：如圖，小明為了測(cè)量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m的時(shí)候，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹的頂端在同一條直線上.已知小明的眼高1.6m，求樹的高度.解析：人、樹、標(biāo)桿是相互平行的，添加輔助線，過點(diǎn)A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，則可得△AEM∽△ACN.AECDFBN例2：如圖，小明為了測(cè)量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立37AECDFBN解：過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因?yàn)槿?、?biāo)桿、樹都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴ ,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故樹的高度為5.2m.AECDFBN解：過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，38測(cè)高方法二：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用標(biāo)桿測(cè)量高度”的原理解決.測(cè)高方法二：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“39例3：為了測(cè)量一棵大樹的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，①在距離樹AB底部15m的E處放下鏡子；②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m；③觀察鏡面，恰好看到樹的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹的大約高度嗎？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴ ,解得BA=18.75（m）.因此，樹高約為18.75m.DBACE21例3：為了測(cè)量一棵大樹的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮40測(cè)高方法三：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.測(cè)高方法三：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“411.鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí),長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高_(dá)_____m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時(shí)刻樹的影長(zhǎng)為8米,同一時(shí)刻身高為1.5米的人的影長(zhǎng)為3米,則樹高為______.4米當(dāng)堂練習(xí)1.鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0423.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D，此時(shí)如果測(cè)得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的寬度AB.（精確到0.1米）ADCEB3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作43解：∵∠ADB=∠EDC∠ABD=∠ECD=90゜

答：河的寬度AB約為96.7米.∴⊿ABD∽⊿ECD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），∴解得解：∵∠ADB=∠EDC答：河的寬度AB約為96.7米.∴⊿444.某同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高.他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.5米時(shí)，其影長(zhǎng)為1.2米，當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長(zhǎng)時(shí)，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測(cè)量，地面部分影長(zhǎng)為6.4米，墻上影長(zhǎng)為1.4米，那么這棵大樹高多少米?ED6.41.2？1.51.4ABC解：作DE⊥AB于E得∴AE=8米，∴AB=8+1.4=9.4米物體的影長(zhǎng)不等于地上的部分加上墻上的部分4.某同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高.他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.545講授新課相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比一解:∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠AD′B=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD

(兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似).從而(相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例).問題：如圖，△A′B′C′∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求證：講授新課相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比一解:∵△A′B′C46由此得到：

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．類似的，我們可以得到其余兩組對(duì)應(yīng)邊上的高的比也等于相似比．由此得到：類似的，我們可以得到其余兩組對(duì)應(yīng)邊上的高的比也47相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比二問題：把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比等于多少？圖中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊上的中線，BE、B′E′分別為對(duì)應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都二問題：把上圖中的48證明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′.∴

∠B′=∠B,．又AD,AD′分別為對(duì)應(yīng)邊的中線.

∴△ABD∽△A′B′D′.證明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k49由此得到：

相似三角形對(duì)應(yīng)的中線的比也等于相似比．同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對(duì)應(yīng)邊上的角平分中線的比等于相似比．由此得到：同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對(duì)應(yīng)邊上的50證明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴

∠B′=∠B,∠B′A′C′=∠BAC．又AD,AD′分別為對(duì)應(yīng)角的平方線∴△ABD∽△A′B′D′.證明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k513．兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為，則對(duì)應(yīng)高的比為______.當(dāng)堂練習(xí)2.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么對(duì)應(yīng)角的角平分線的比為______.2∶

31．兩個(gè)相似三角形的相似比為,則對(duì)應(yīng)高的比為_________,

則對(duì)應(yīng)中線的比為_________.3．兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為，當(dāng)堂練習(xí)2.相似三角52解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的長(zhǎng)為3.2cm.AGBCDEFH（相似三角形對(duì)應(yīng)角平線的比等于相似比），4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長(zhǎng).解：∵△ABC∽△DEF，解得,EH＝3.2(cm).53相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比課堂小結(jié)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比課堂小結(jié)相似三54講授新課相似三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比一相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.分析：△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，問題：求證三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比ABCA1B1C1講授新課相似三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比一相似三角形周長(zhǎng)的比55相似三角形面積的比等于相似比的平方二

問題：如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k1,它們對(duì)應(yīng)高的比是多少？面積比是多少？ABCA′B′C′如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△AB