張量初步及應(yīng)力應(yīng)變基本方程

巖土塑性力學(xué)參考文獻(xiàn)：龔曉南：土塑性力學(xué)徐秉業(yè)：塑性理論引論陸明萬等：彈性理論基礎(chǔ)孫炳楠等：工程彈塑性力學(xué)鄭穎人等：巖土塑性力學(xué)原理教師：徐平下載：第一章張量初步及應(yīng)力、應(yīng)變基本方程1.1張量初步1.2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.3最大(最小)剪應(yīng)力1.4應(yīng)力張量的分解1.5八面體應(yīng)力、等效應(yīng)力1.6應(yīng)力圓和洛德(Lode)參數(shù)1.7應(yīng)力空間1.8應(yīng)力路徑1.9應(yīng)變張量的分解1.10應(yīng)變空間與應(yīng)變?chǔ)衅矫?.11各種剪切應(yīng)變間的關(guān)系1.12應(yīng)力和應(yīng)變的基本方程力學(xué)中常用的量可以分成幾類：只有大小沒有方向性的物理量稱為標(biāo)量，通常用一個(gè)字母來表示，例如溫度T、密度ρ、時(shí)間t等。既有大小又有方向的物理量稱為矢量，常用黑體字母(或字母上加一箭頭)來表示，例如矢徑r()和力F()等。具有多重方向性的的更為復(fù)雜的物理量稱為張量，常用黑體字母或字母下加一橫表示，例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力張量σ()表示，它具有二重方向性，是二階張量，而標(biāo)量和矢量分別為零階和一階張量。1.1張量初步矢量可以在參考直角坐標(biāo)系下分解，以位移矢量u為例，它可以表示成位移分量ux、uy、uz與基矢ex、ey、ez的乘積之和的形式：(1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2(j)e1(i)e3(k)x2=yx3=zo圖1.1位移矢量的分解指標(biāo)：對(duì)于一組性質(zhì)相同的n個(gè)量可以用相同的名字加不同的指標(biāo)來表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，這里的i就是指標(biāo)。今后約定，如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁字母i，j，k，···均表示三維指標(biāo)，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、u2和u3三個(gè)數(shù)值，這種名字加指標(biāo)的記法稱為指標(biāo)符號(hào)。指標(biāo)符號(hào)的正確用法：(1)三維空間中任意點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)通常記為x，y和z。指標(biāo)符號(hào)可縮寫成xi，其中x1=x，x2=y，x3=z。引入愛因斯坦求和約定：如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，該重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，或簡稱啞標(biāo)。

用啞標(biāo)代替求和符號(hào)∑，則位移矢量u和點(diǎn)積a·b可表示成：u=uiei，a·b=aibi。顯然，aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：a·b=b·a；由于啞標(biāo)僅表示遍歷求和，因此可以成對(duì)地任意換標(biāo)，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。(2)矢量a和b的分量可分別記為ai和bi，它們的點(diǎn)積為：(1-2)(3)對(duì)于各向同性的均質(zhì)彈性體，物理方程可描述為：采用乎張量灶，則芳物理推方程聾可表怨示：晨(1壇-3全)i和j為自由魄指標(biāo)，表擔(dān)示輪慰流取輔該指康標(biāo)范憶圍內(nèi)清的任煮何值坐，關(guān)孩系式瘦將始宰終成年立，柿式中σij和εij分別乏表示傷9個(gè)培應(yīng)力寶和應(yīng)量變分許量：k為啞徐標(biāo)，δij為Kr括on崗ec推he燥r符號(hào)毛：δij=1敵(i=j)，δij=0嘆(i≠j)，混根據(jù)寇場論女，δij可以弊表示赴兩個(gè)兆基矢饑的點(diǎn)扣積：δij=ei·ej注意半：aibj表示瞇9個(gè)機(jī)數(shù)，協(xié)而aibi則只足是一御個(gè)數(shù)峰。自由它指標(biāo)得和啞臺(tái)標(biāo)舉難例：的應(yīng)孫用與攀計(jì)算簡示例游如下冬：(1浙)(2兆)(3糠)(4血)(5蛋)(6灰)(4周)鋪指標(biāo)龜符號(hào)跟同樣覽適用往于微利分關(guān)利系。胸例如圖，三郊維空碎間中佳線元千長ds和其鞏分量dxi之間勁的關(guān)水系：速(ds)2=外(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以搏寫成易：柴(ds)2=dxidxi。再撲如多典變量報(bào)函數(shù)f(x1,x2,x3)的洪全微李分可物寫成壩。對(duì)于罰不計(jì)寶體力占的平拳衡微李分方敢程，鉤則可剖表示剖成：原(房誠1-屢4)更進(jìn)許一步蔥可表庸示為乳：森，即這里胃下標(biāo)蜂“捉,j”表賢示對(duì)xj求偏言導(dǎo)。則幾浸何方異程可位表示形成：更進(jìn)被一步臨得可勵(lì)表示帝成：在幾星何方什程中碎，為忍了表浪示方字便，季在這么里及穴以后巾的討植論中均，統(tǒng)緒統(tǒng)采扔用ux、uy和uz來分駁別表酬示u、v和w。對(duì)于括體積誘應(yīng)變e：則檢可表效示成柜：崖(1朗-6就)(1謎-5助)(5慈)耳啞標(biāo)忽只能朋成對(duì)姑地出襲現(xiàn)，冷若要跟對(duì)在膏同項(xiàng)跳內(nèi)出遍現(xiàn)兩勺次以權(quán)上的錦指標(biāo)艘遍歷貴求和譜，必職須：綜上岡所述披，能狠過啞騙標(biāo)可陸把許在多項(xiàng)院縮成寸一項(xiàng)績，通第過自蝴由指腳標(biāo)又腰可把悠許多搶方程坐縮成鐮一個(gè)叢方程夜。一逗般來授講，緣瑞在一議個(gè)用情指標(biāo)桐符號(hào)皇寫出局的方追程中論，若循有k個(gè)自奇由指壘標(biāo)，犧它們蹈的取魂值范炸圍都枯是1帽~n，則態(tài)更有nk個(gè)分畫量方股程；藥在方庭程的省某項(xiàng)蹄中若您現(xiàn)時(shí)朱出現(xiàn)m對(duì)取袖范圍霧為1聽~n的啞閥指標(biāo)餅，則約此項(xiàng)膝表示拘了互嫁相疊汽加的nm項(xiàng)。(6蝕)隨一般桃來講均，由aibi=aici并不畏能推程導(dǎo)得宣出bi=ci。1.符2一點(diǎn)貴的應(yīng)雜力狀張態(tài)圖1苗.2所一伏點(diǎn)的泄應(yīng)力助狀態(tài)yxz圖1縣.3顏傾車斜面盲上的墳應(yīng)力xyzNτzyτzxσzσxτxzτxyσyτyxτyzo應(yīng)力融張量除：或：傾斜花面上私沿x溜方向次的力喘為yxznτzxσxτyxpxγβα同理權(quán)，可筒以得會(huì)到張棕量方紛程：如果生作用家在這停個(gè)傾斜伴面上記只有射正應(yīng)幟力，金而沒伙有(1條-8脾)(1彩-7匯)剪應(yīng)置力，院則傾斜燦面上笨的總哀應(yīng)力餐就是主應(yīng)完力，傾斜悼面的冤方向新就是主應(yīng)哈力方橋向，用σ表示琴，它欄在各罩坐標(biāo)匪軸上辜的投賓影為與：式(洗1-踩9)甚有零沾解的鐵條件利是：鍬(1緣瑞-1嚇0)將枕代噸入槽，可凈得：(1桃-9襯)(1螺-1秘1)(1針-1練2)方程焰稱潤為應(yīng)鮮力狀碼態(tài)的懲特征方方程辭，它裹有三妻個(gè)實(shí)涼根，幅并規(guī)麻定杜，當(dāng)問坐標(biāo)梅方向童改變惑時(shí)，姻應(yīng)力誕分量酸將改魄變，傷但主感應(yīng)力鏟的數(shù)既值不霞變，恐故I1、I2和I3又稱義為應(yīng)力純張量啄不變勺量，I1、I2和I3通常按又分報(bào)別叫溪做應(yīng)慨力張井量第眼一不桃變量理、第渴二不棗變量須和第撐三不睛變量炮，另膽外還勵(lì)可以爹證明征三個(gè)蚊主應(yīng)禾力方汁向是芒相互就垂直會(huì)的。吉根據(jù)快方程矛，I1、I2和I3又可茄以寫獸成：(1抄-1套3)1.回4谷主微應(yīng)力速分布漁圖例題獨(dú)：已匆知已知凝一點(diǎn)退的應(yīng)肺力狀犬態(tài)為啊以下膀一組巧應(yīng)力招分量賓所確藥定：σx=3譜，σy=0貴，σz=0玻，τxy=1點(diǎn)，τyz=2襪，τzx=1令，應(yīng)力估單位但為MP音a。試熱求該網(wǎng)點(diǎn)的疾主應(yīng)麥力值決。1.吹3最大記(最年小)紋剪應(yīng)渴力根據(jù)以，沈以及旬關(guān)系語式射可曲得傾營斜面早上的遮剪切蓄應(yīng)力弊：zyxnσ3σ1σ2pxγβα要使頂取粗得極驕值，極則須艘：獵和(1鉤-1落4)于是晌有：同理罪：(1靠-1禿4a曠)(1希-1訂4b覆)n1n2n3±1000000±1±1000000(1抖-1嬸4)表1柴.1草最動(dòng)大(鑰最小蹤蝶)剪書應(yīng)力充及方捆向主剪鈴應(yīng)力圖1樓.5推主汽剪應(yīng)茅力的變方向最大竊和最胖小的鄭剪應(yīng)躲力，肯在數(shù)翻值上姿等于喊最大飾主應(yīng)準(zhǔn)力與玻最小檔主應(yīng)運(yùn)力之尚差的糊一半恭，作埋用在綿通過態(tài)中間江主應(yīng)防力并蛾且“憲平分汪最大伍主應(yīng)算力與樓最小異主應(yīng)鋼力夾更角”膊的平犬面上劇。(1袍-1冊5)1.辨4獄應(yīng)力駁張量到的分幻玉解圖1頂.6恭應(yīng)甚力張撈量的字分解(1籠-1現(xiàn)6)◆巖土嫩材料考在球帝應(yīng)力頌張量祖作用匆下，釀一般探也會(huì)魂出現(xiàn)塑鹿性體非變，柱從而穴出現(xiàn)擇奇異魄屈服哨面。球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時(shí)，將產(chǎn)生塑性的畸變。偏斜應(yīng)力張量這里靠，等，我搏們定脅義剃為球應(yīng)險(xiǎn)力張毀量，又糊稱球形應(yīng)力秤張量，簡花稱為球張擱量，球粉形應(yīng)丘力張干量表陶示各遣向均暮勻受力狀據(jù)態(tài)，氣有時(shí)煎也稱靜水棉壓力逃狀態(tài)，蘋又柿常寫軍作陳。而則稱嗽為偏斜劫應(yīng)力綠張量，簡深稱為應(yīng)力她偏量。將朋原應(yīng)千力狀梨態(tài)減去靜東水壓棚力即歸可得健到應(yīng)姨力偏笛量狀防態(tài)。球張亮量引熱起物告體的淹體積改割變，財(cái)而應(yīng)胡力偏峰量則字引起療物體饒的形膜狀改頌變。1.截4.翻1謎主偏崇應(yīng)力(1蓋-1遇7)1.剝4.接2弱應(yīng)力格偏量鴨不變旗量(1僅-1托8)(1用-1網(wǎng)3)1.羽5八面葉體應(yīng)各力、黨等效率應(yīng)力132等斜撒面正八憐面體圖1南.7烏應(yīng)枝力張嶼量的禽分解1.挽5.涂1喂八面桿體應(yīng)雜力(1襯-1聲9a救)(1燦-1堤9b澇)(1鑼-1寬9c肥)(1索-1旋9d熔)1.策5.借2擠八面猛體剪嬌應(yīng)力游的方咸位角1八面花體剪央應(yīng)力武的方損位可吉以通奏過它祝的方株位樸來確終定。誕設(shè)應(yīng)漁力主忠軸1妖、2蹲、3摘在正駛八面桌體上零的投沒影O'A、落O'B、掩O'C，則嗽便腦是八雖面體刮剪應(yīng)慰力與O'C的反擱方向O'D之間點(diǎn)的夾踩角。23OABCO'D圖1檔.8宅八摔面體碌剪應(yīng)躲力方余位角O3CO'γ同理梢：從；由于(1南-2勉0)O'，故于是窗，由駐式(返1-瞎20哈)可史得：即：(1濾-2盟1)一點(diǎn)賭的應(yīng)間力狀肆態(tài)可復(fù)以用赴主應(yīng)燥力堆來表揪示，抗也可種以用綱另外跟三個(gè)洽量來宿表示網(wǎng)，即陜八面末體正猶應(yīng)力居，妖八面庫體剪限應(yīng)力以及川八面療體剪爬應(yīng)力倘的方萌位角紐奉。（1朋-2扶2）1.潛5.冒3倆應(yīng)力扯強(qiáng)度(1振)應(yīng)力枕強(qiáng)度又稱等效念應(yīng)力或廣義道剪應(yīng)乒力，用獻(xiàn)表盟示。材料哈處于爬單向程拉伸主應(yīng)力超狀態(tài)雕時(shí)，舉，禿；常規(guī)骨三軸丸試驗(yàn)共，武，某；純籮剪作以用時(shí)奸，(2涼)純剪夕應(yīng)力又稱剪應(yīng)合力強(qiáng)庫度，用憂表此示。（1忽-2帶3）純剪冠時(shí)：1.芒5.沒4塘應(yīng)力袍的求害解1.播6誼應(yīng)力刊圓和睜洛德虧(L今od肆e)附參數(shù)通過披某點(diǎn)呈各個(gè)諷微分跟面上絡(luò)的法召向應(yīng)扮力批和份剪應(yīng)追力獎(jiǎng)都末可以桂由應(yīng)搖力摩健爾圓鎖相應(yīng)缺點(diǎn)的投坐標(biāo)笑來表殼示。斬設(shè)該課點(diǎn)坐輩標(biāo)軸陜方向軋與主拍應(yīng)力饒方向婆一致聯(lián)，微撫分面究法線栗方向木余弦魂為陷，賭于是宵有：1.鹿6.獨(dú)1填應(yīng)力掃圓（1意-2總4）于是諸有：因?yàn)榇u，而財(cái)且這給些等呀式的絡(luò)左邊導(dǎo)部分奧皆為狹正，種所以解應(yīng)該呆有：（1打-2蟲5）經(jīng)過隸化簡瓶后得贈(zèng)：（1甚-2答6）圖1蘋.9籠應(yīng)像力摩終爾圓1.乳6.址2腎應(yīng)力差橢球圖1總.1惕0泛應(yīng)力谷橢球取坐屈標(biāo)軸霞方向據(jù)與主裳應(yīng)力仿方向錦一致客，微獸分面澤法線敗方向評(píng)余弦棚為息，晶于是范,進(jìn)純一步啞有：（1建-2裁7）1.勇6.炎3蔽Lo妙de堵(問羅德教)系漁數(shù)和渴Lo皺de橫角oAo1o2o3CB（1燭-2論8）圖1駁.1佛1免應(yīng)力濁摩爾盒圓如果遙一點(diǎn)季的主筍應(yīng)力嘉之間臨的比值值有掙了改按變，為則應(yīng)壓力摩卵爾圓結(jié)的三濕個(gè)直框徑之損間的吹比例掩也隨賤之改承變。討這種偽情況賣相當(dāng)繡于應(yīng)纖力偏痕張量濁的形凳式有紫了改遙變。戴為了暴描述匹應(yīng)力縣偏張?zhí)m量的勿形式羽，可菠以應(yīng)虜用L喝od聚e(序19廁25吃)提婆出的名系數(shù)塑，通秤常稱頂為L軍od吉e參聽數(shù)。即圖續(xù)中的O2C與O2B之比食。（1肌-2辰9）Lo葬de微參數(shù)對(duì)界于征-1攔和1慰之布間，傾即純拉淡時(shí)，純剪愧時(shí)，純壓傷時(shí)，O'（1俯-3搶0）圖1揭.1隙2注意做，四均為重負(fù)值義，常規(guī)腐三軸藏壓縮染試驗(yàn)奧時(shí)，常規(guī)熔三軸姻伸長播(拉友伸)取試驗(yàn)雪時(shí)，在巖解土塑松性理糖論中懸，常奇以牽或(污)來合表示噴應(yīng)力絞狀態(tài)度。常規(guī)遍三軸吵壓縮得(父)拋常毅規(guī)三拘軸拉擦伸(辰)在巖籍土相溪關(guān)的征課程傘中，筐往往諒以壓合為正陪。(1除-3商2)(1綿-3棟1)主應(yīng)砍力空斥間與平饅面等頃鑒線平板面應(yīng)力侵點(diǎn)等傾繞線：在杜主應(yīng)棗力空悶間，硬通過始原點(diǎn)散與三茄條坐杏標(biāo)軸靈成相陣同夾刺角的貓直線列，又喜稱主葬對(duì)角戲線。1.砌7缺應(yīng)力靜空間π平面：與愉等傾促線垂更直的晚平面程，其帝方程皂為(1貼-3獵3)子午慶面：在提主應(yīng)咬力空嗚間，尖包括叼等傾怎線的蜂平面疲。一個(gè)喘應(yīng)力去狀態(tài)匪可以錯(cuò)用應(yīng)習(xí)力空寫間中路的一熄個(gè)點(diǎn)溜表示培，或下用該罵點(diǎn)與啦坐標(biāo)糟原點(diǎn)這形成痛的矢斗量來勸表示蘇，該特點(diǎn)叫應(yīng)力順點(diǎn)，該要矢量故叫應(yīng)力棵矢量。圖1佳.1掉3晌應(yīng)力標(biāo)空間OP在應(yīng)洲力空級(jí)間等饞傾線悼上的典投影闖為OQ，則

平面番上剪俯應(yīng)力綁：(1家-3畜4)

平面運(yùn)上主知應(yīng)力漢：(1敲-3漆5)由于助

平面辜上只床有需，而址且萬本籍身只落與應(yīng)賄力偏或量有船關(guān)，背因此

平面早又叫擔(dān)作偏戚量平潤面。圖1專.1草5主輔應(yīng)力洋在

平面笨上的父投影圖1賀.1尚4幻玉

的模巧與方坊位角幼(L筒od群e角秀)如圖準(zhǔn)1.糕15振所示拳，將正應(yīng)力殿向利

平面池作投懸影，往相應(yīng)碧地得鄉(xiāng)豐到幕，在

平面嘆內(nèi)取擺坐標(biāo)蒸系ox健y，其舅中y軸方工向與稠在

平面劫上的低投影菠一致綱，如創(chuàng)圖1眾.1魔4所貧示。O'P'與x軸的次夾角面就是溉Lo嚼de顯角。(1潑-3薯6a做)(1據(jù)-3窮6b熱)(1勞-3渡6c辦)(1膠-3階6d莫)(1菠-3等6e遙)由于真，所彈以，綢，變即前面略已經(jīng)檢提到惜，物慌體中戴一點(diǎn)腫的應(yīng)腿力狀魄態(tài)可多以用捉應(yīng)力赴空間蹲中的貢一點(diǎn)比(應(yīng)匠力點(diǎn)撫)來擺表示耳，一姑點(diǎn)應(yīng)準(zhǔn)力狀爺態(tài)的甩變化藍(lán)可以怖用應(yīng)甘力點(diǎn)胖在應(yīng)搜力空鳥間的顫運(yùn)動(dòng)把軌跡戲來描燦述，猶應(yīng)力苦點(diǎn)的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)檔軌跡長稱為應(yīng)力抹路徑。在搬有效摧主應(yīng)曉力空摸間中漁，可輔得到有效厭應(yīng)力要路徑，簡替稱E枯SP死(擴(kuò)Ef彼fe載ct穴iv削e改St鵝re沃ss累P黑at覽h)幟，在沾主應(yīng)診力空著間可壯得到總應(yīng)搶力路耀徑，簡登稱T騰SP私(跪To合ta甲l叔St用re朗ss誓P刺at牌h)適。1.忌8碼應(yīng)力辦路徑圖1柱.1灣6凳有效房誠應(yīng)力墻路徑各正抄應(yīng)力槐與I1平均控應(yīng)力八面冷體正私應(yīng)力π平面刷上的埋正應(yīng)廉力分鞏量應(yīng)力株張量哄第一不負(fù)變量表1蛛.2佳各正暈應(yīng)力奇與應(yīng)奔力張槽量第拳一不認(rèn)變量I1之間憲的關(guān)系系各剪歪應(yīng)力終與J2廣義訓(xùn)剪應(yīng)葡力八面櫻體剪報(bào)應(yīng)力π平面翅上的宋剪應(yīng)簽力分他量應(yīng)力孝偏量雄第二不踢變量表1確.3浮各剪摔應(yīng)力碰與應(yīng)首力偏術(shù)量第特二不箭變量J2之間鬼的關(guān)叔系純剪中應(yīng)力不同帥加荷盤方式鉗的應(yīng)比力路僵徑等壓網(wǎng)固結(jié)K0固結(jié)三軸趴壓縮糊剪切三軸姜伸長遞剪切圖1絨.1居7三密軸儀窄上的帖應(yīng)力啞條件圖1踐.1蘆8閑各向趴等壓葛力固鋒結(jié)排扒水三倦軸試銜驗(yàn)在p-段q平面理上的殊應(yīng)力老路徑po拉伸壓縮壓縮墾破壞解線拉伸毒破壞學(xué)線各向淺等壓餅力固羞結(jié)軸向榴壓縮A徑向螞壓縮軸向豪拉伸各向勒等壓押力固慰結(jié)：纖。存(1猜)軸臺(tái)向壓聲縮試尖驗(yàn)中惑，徑臣向應(yīng)執(zhí)力保場持不詞變，且軸向拍應(yīng)力挺增加南；(躺2)膀軸向誦拉伸巴試驗(yàn)灶中，消徑向偶應(yīng)力宮保持早不變恨，軸兼向應(yīng)播力減威小；亦(3熊)徑向向壓