第5章拉格朗日方程課件

第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)理論及其應(yīng)用5.1自由度和廣義坐標(biāo)5.2虛位移原理5.3動(dòng)能和勢(shì)能5.4D’Alembert原理

5.5Lagrange方程5.6哈密爾頓原理第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)理論及其應(yīng)用5.1自由度

完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度。5.1自由度和廣義坐標(biāo)

第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

分析力學(xué)

分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動(dòng)問題的工具。它從能量的觀點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法。

廣義坐標(biāo)

用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)的位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。

一般地，建立振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。約束

對(duì)質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)所加的限制稱為約束。自由度5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)的自由度

質(zhì)點(diǎn)在空間需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時(shí)的位置，因此，它的自由度為3。n個(gè)毫不相干、無(wú)任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為3n。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

剛體的自由度

一個(gè)剛體在空間需要6個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時(shí)的位置，因此它的自由度為6。m個(gè)無(wú)約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為6m。振動(dòng)系統(tǒng)的自由度振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型中若有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)和m個(gè)剛體，那么它的自由度DOF必定滿足下列方程：DOF=3n+6m-（約束方程數(shù)）質(zhì)點(diǎn)的自由度第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由例5.1圖(a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中質(zhì)量用一根長(zhǎng)度為l，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)2.1自由度和廣義坐標(biāo)

這樣，坐標(biāo)x、y和z就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo)r、y和j來(lái)表示，必須滿足條件r=l，只要用y和j兩個(gè)坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時(shí)的位置，即廣義坐標(biāo)數(shù)為2，自由度為2。解

對(duì)圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長(zhǎng)，因此它的約束方程為零，自由度為3。對(duì)圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長(zhǎng)，因此在空間的位置必須滿足質(zhì)量離懸掛點(diǎn)的距離保持不變的條件，即滿足下列方程約束方程：(a)（b）例5.1圖(a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中例5.2右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個(gè)單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)剛性桿l1與x軸的夾角為q

1，剛性桿l2與x軸的夾角為q

2，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時(shí)的位置，q

1和q

2可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，因此，z1=0，z2=0，而雙擺的長(zhǎng)度l1和l

2不變，即利用自由度DOF計(jì)算的公式，可得到雙擺的自由度為DOF＝３×２－４＝２

例5.2右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

完整約束當(dāng)約束方程本身或約束方程通過(guò)積分后可以用下式所示的形式表示時(shí)，稱為完整約束。顯然，例5.1和例5.2的約束都是完整約束。定常約束當(dāng)約束方程與時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，稱為定常約束。例5.1和例5.2的約束都是定常約束。不完整約束當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

不完整約束當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。例5.3剛體A通過(guò)三個(gè)點(diǎn)放置在xoy平面上，其中的兩個(gè)接觸點(diǎn)可在平面上作無(wú)摩擦自由滑動(dòng)，而P點(diǎn)有一個(gè)刀片，使其只能沿刀片方向移動(dòng)，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。解由于剛體A在xoy平面中移動(dòng)，因此需要三個(gè)廣義坐標(biāo)(x,y和q)描述其在任意時(shí)刻的位置。而剛體A只能沿刀片方向移動(dòng)，因此有約束方程：自由度數(shù)為2，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

虛位移

所謂非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是指在某一固定時(shí)刻，約束所允許發(fā)生的坐標(biāo)微小改變量。虛位移只是約束允許的可能位移，并不一定是系統(tǒng)的真實(shí)位移。它與時(shí)間t的變化無(wú)關(guān)。虛位移用d表示，真實(shí)微小位移用d表示。虛功

力在虛位移上的元功稱為虛功。在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)或平衡中處于主導(dǎo)地位。約束作用于系統(tǒng)的力。力的分類作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和主動(dòng)力。理想約束

在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理虛位第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:其中，F(xiàn)i為作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力，dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。虛位移原理的另一種表述若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量可以用n個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間t來(lái)表示，即：由于虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān)，則有：代入虛功方程，得：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理虛位第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

對(duì)換求和的次序，得：其中，為與廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義力。這樣，虛功方程可以寫成：由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成立時(shí)，有：虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n個(gè)自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡的充要條件是n個(gè)廣義力都等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理對(duì)換第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能

動(dòng)能

設(shè)質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)在某位置時(shí)的速度是

，則質(zhì)點(diǎn)在此位置的動(dòng)能為

其中,若振動(dòng)系統(tǒng)由p個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則系統(tǒng)的動(dòng)能為

當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯含時(shí)間t。系統(tǒng)的動(dòng)能可寫成：改變求和的次序，得：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能

或：其中，和為廣義速度，為廣義質(zhì)量系數(shù)，。引入廣義質(zhì)量矩陣[M]，并引入廣義速度列陣，則動(dòng)能可表示為顯然有mkl=mlk。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)可近似地取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開的第一項(xiàng)，即將mkl取為與廣義坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)。顯然，動(dòng)能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)力質(zhì)點(diǎn)從力場(chǎng)中某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān)，而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān)，這就是所謂的勢(shì)力場(chǎng)。重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為勢(shì)力。勢(shì)能所謂勢(shì)能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中勢(shì)力所作的功。根據(jù)勢(shì)能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢(shì)能大小與規(guī)定的勢(shì)能零點(diǎn)位置有關(guān)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能或：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能

勢(shì)能在線性系統(tǒng)中，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)?？捎镁仃囆问奖硎境桑豪?.4右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個(gè)單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q

1和q

2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢(shì)能零點(diǎn)。則系統(tǒng)的勢(shì)能為其中，[K]為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對(duì)稱、半正定矩陣。微振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置附近展開并保留廣義坐標(biāo)的二次項(xiàng)：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能勢(shì)能第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能

系統(tǒng)的動(dòng)能為通常，系數(shù)mij一般不是常數(shù)，這里m12和m21是廣義坐標(biāo)的函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，系數(shù)mij取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)：則系統(tǒng)的動(dòng)能可寫成第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能系統(tǒng)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能

將動(dòng)能和勢(shì)能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動(dòng)能和勢(shì)能將動(dòng)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.4D’Alembert原理質(zhì)系D’Alembert原理

作用在質(zhì)系上的外力（主動(dòng)力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:其中，Ri為主動(dòng)力Fi和約束反力fi的向量和。應(yīng)用D’Alembert原理可將虛位移原理推廣到動(dòng)力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個(gè)質(zhì)系的虛功，有在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有動(dòng)力學(xué)普遍方程作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動(dòng)力和慣性力任意瞬時(shí)在虛位移上的虛功之和等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.4D’Alembe第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程Lagrange方程拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來(lái)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，這組方程以系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：Lagrange方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法。式中：L為L(zhǎng)agrange函數(shù)，它是系統(tǒng)動(dòng)能V和勢(shì)能U之差，L=V-U。而和(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中cij為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)qj方向有單位廣義速度時(shí)，在廣義坐標(biāo)qi方向產(chǎn)生的阻尼力；Qi是在廣義坐標(biāo)方向qi的廣義力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分別是對(duì)廣義坐標(biāo)和對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，是對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個(gè)單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)微分方程。解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q

1和q

2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢(shì)能零點(diǎn)。由例5.4，系統(tǒng)的勢(shì)能與動(dòng)能分別為：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5由于系統(tǒng)無(wú)阻尼、無(wú)外力，因此只要把前面得到的項(xiàng)代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5寫成矩陣的形式

一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.6圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿水平方向移動(dòng)，一擺長(zhǎng)為質(zhì)量為l的單擺在O點(diǎn)與質(zhì)量M鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動(dòng)的方程。質(zhì)量M的速度：質(zhì)量m的速度：

系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能Lagrange函數(shù)耗散函數(shù)其他非保守力所做的功解建立廣義坐標(biāo)x和θ，坐標(biāo)x的原點(diǎn)在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正。θ為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，擺桿處于鉛垂位置時(shí)θ為零。系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為零。

第5章分析