第5章拉格朗日方程課件

第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)振動理論及其應(yīng)用5.1自由度和廣義坐標(biāo)5.2虛位移原理5.3動能和勢能5.4D’Alembert原理

5.5Lagrange方程5.6哈密爾頓原理第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)振動理論及其應(yīng)用5.1自由度

完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度。5.1自由度和廣義坐標(biāo)

第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

分析力學(xué)

分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點系平衡和運動問題的工具。它從能量的觀點，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動能、勢能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動力學(xué)問題的一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法。

廣義坐標(biāo)

用某一組獨立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時的位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。

一般地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。約束

對質(zhì)點在空間的運動所加的限制稱為約束。自由度5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點的自由度

質(zhì)點在空間需要3個獨立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時的位置，因此，它的自由度為3。n個毫不相干、無任何約束的質(zhì)點組成的質(zhì)系自由度為3n。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

剛體的自由度

一個剛體在空間需要6個獨立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時的位置，因此它的自由度為6。m個無約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為6m。振動系統(tǒng)的自由度振動系統(tǒng)力學(xué)模型中若有n個質(zhì)點和m個剛體，那么它的自由度DOF必定滿足下列方程：DOF=3n+6m-（約束方程數(shù)）質(zhì)點的自由度第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由例5.1圖(a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中質(zhì)量用一根長度為l，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)2.1自由度和廣義坐標(biāo)

這樣，坐標(biāo)x、y和z就再不獨立。若用球面坐標(biāo)r、y和j來表示，必須滿足條件r=l，只要用y和j兩個坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時的位置，即廣義坐標(biāo)數(shù)為2，自由度為2。解

對圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長，因此它的約束方程為零，自由度為3。對圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長，因此在空間的位置必須滿足質(zhì)量離懸掛點的距離保持不變的條件，即滿足下列方程約束方程：(a)（b）例5.1圖(a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中例5.2右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)剛性桿l1與x軸的夾角為q

1，剛性桿l2與x軸的夾角為q

2，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置，q

1和q

2可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此，z1=0，z2=0，而雙擺的長度l1和l

2不變，即利用自由度DOF計算的公式，可得到雙擺的自由度為DOF＝３×２－４＝２

例5.2右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

完整約束當(dāng)約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時，稱為完整約束。顯然，例5.1和例5.2的約束都是完整約束。定常約束當(dāng)約束方程與時間t無關(guān)時，稱為定常約束。例5.1和例5.2的約束都是定常約束。不完整約束當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)

不完整約束當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。例5.3剛體A通過三個點放置在xoy平面上，其中的兩個接觸點可在平面上作無摩擦自由滑動，而P點有一個刀片，使其只能沿刀片方向移動，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。解由于剛體A在xoy平面中移動，因此需要三個廣義坐標(biāo)(x,y和q)描述其在任意時刻的位置。而剛體A只能沿刀片方向移動，因此有約束方程：自由度數(shù)為2，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1自由度和廣義坐標(biāo)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

虛位移

所謂非自由質(zhì)點系的虛位移是指在某一固定時刻，約束所允許發(fā)生的坐標(biāo)微小改變量。虛位移只是約束允許的可能位移，并不一定是系統(tǒng)的真實位移。它與時間t的變化無關(guān)。虛位移用d表示，真實微小位移用d表示。虛功

力在虛位移上的元功稱為虛功。在系統(tǒng)運動或平衡中處于主導(dǎo)地位。約束作用于系統(tǒng)的力。力的分類作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和主動力。理想約束

在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理虛位第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:其中，F(xiàn)i為作用于質(zhì)點系的主動力，dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。虛位移原理的另一種表述若系統(tǒng)有n個自由度，任意一點的坐標(biāo)矢量可以用n個廣義坐標(biāo)和時間t來表示，即：由于虛位移與時間無關(guān)，則有：代入虛功方程，得：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理虛位第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理

對換求和的次序，得：其中，為與廣義坐標(biāo)qk對應(yīng)的廣義力。這樣，虛功方程可以寫成：由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成立時，有：虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n個自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡的充要條件是n個廣義力都等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理對換第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能

動能

設(shè)質(zhì)量為mi的質(zhì)點在某位置時的速度是

，則質(zhì)點在此位置的動能為

其中,若振動系統(tǒng)由p個質(zhì)點組成，則系統(tǒng)的動能為

當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時，各質(zhì)點的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯含時間t。系統(tǒng)的動能可寫成：改變求和的次序，得：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能動能第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能

或：其中，和為廣義速度，為廣義質(zhì)量系數(shù)，。引入廣義質(zhì)量矩陣[M]，并引入廣義速度列陣，則動能可表示為顯然有mkl=mlk。當(dāng)質(zhì)點在平衡位置附近作小振動時可近似地取其在平衡位置附近臺勞級數(shù)展開的第一項，即將mkl取為與廣義坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)。顯然，動能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。勢力場和勢力質(zhì)點從力場中某一位置運動到另一位置時，作用力的功與質(zhì)點經(jīng)歷的路徑無關(guān)，而只與其起點及終點位置有關(guān)，這就是所謂的勢力場。重力場、萬有引力場和彈性力場都是勢力場。在勢力場中質(zhì)點所受的力稱為勢力。勢能所謂勢能是把質(zhì)點從當(dāng)前位置移至勢能零點的過程中勢力所作的功。根據(jù)勢能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢能大小與規(guī)定的勢能零點位置有關(guān)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能或：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能

勢能在線性系統(tǒng)中，勢能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)?？捎镁仃囆问奖硎境桑豪?.4右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q

1和q

2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢能零點。則系統(tǒng)的勢能為其中，[K]為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣。微振動時，系統(tǒng)的勢能在平衡位置附近展開并保留廣義坐標(biāo)的二次項：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能勢能第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能

系統(tǒng)的動能為通常，系數(shù)mij一般不是常數(shù)，這里m12和m21是廣義坐標(biāo)的函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運動時，系數(shù)mij取其在平衡位置附近臺勞級數(shù)的第一項：則系統(tǒng)的動能可寫成第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能系統(tǒng)第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能

將動能和勢能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.3動能和勢能將動第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.4D’Alembert原理質(zhì)系D’Alembert原理

作用在質(zhì)系上的外力（主動力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:其中，Ri為主動力Fi和約束反力fi的向量和。應(yīng)用D’Alembert原理可將虛位移原理推廣到動力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點上的合力，計算整個質(zhì)系的虛功，有在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有動力學(xué)普遍方程作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動力和慣性力任意瞬時在虛位移上的虛功之和等于零。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.4D’Alembe第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程Lagrange方程拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點系的運動，這組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：Lagrange方程為非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題提供了一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法。式中：L為Lagrange函數(shù)，它是系統(tǒng)動能V和勢能U之差，L=V-U。而和(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中cij為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)qj方向有單位廣義速度時，在廣義坐標(biāo)qi方向產(chǎn)生的阻尼力；Qi是在廣義坐標(biāo)方向qi的廣義力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分別是對廣義坐標(biāo)和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5右圖表示由剛性桿l1和質(zhì)量m1及剛性桿l2和質(zhì)量m2組成的兩個單擺在O’處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的振動微分方程。解由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q

1和q

2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置q

1＝q

2＝0作為勢能零點。由例5.4，系統(tǒng)的勢能與動能分別為：第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只要把前面得到的項代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動微分方程第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動時，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.5寫成矩陣的形式

一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動時，將，代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5Lagrange方程例5.6圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿水平方向移動，一擺長為質(zhì)量為l的單擺在O點與質(zhì)量M鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動的方程。質(zhì)量M的速度：質(zhì)量m的速度：

系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能Lagrange函數(shù)耗散函數(shù)其他非保守力所做的功解建立廣義坐標(biāo)x和θ，坐標(biāo)x的原點在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正。θ為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時針方向為正，擺桿處于鉛垂位置時θ為零。系統(tǒng)靜平衡時勢能為零。

第5章分析