數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）4-3-1 對(duì)數(shù)的概念（分層作業(yè)）

4.3.1對(duì)數(shù)的概念（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以A錯(cuò)誤，B正確；若，則，故C錯(cuò)誤；，而沒(méi)有意義，故D錯(cuò)誤．故選：B.2．（2022·江蘇省南通中學(xué)高一階段練習(xí)）已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)式的意義列不等式組求解可得.【詳解】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C．（，） D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，真數(shù)為，而不是，故A不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于B，底數(shù)為常數(shù)，且，真數(shù)為，且函數(shù)系數(shù)為1，故B是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于C，真數(shù)為常數(shù)，而不是，故C不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于D，真數(shù)為，而不是，故D不是對(duì)數(shù)函數(shù)．故選：B．4．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D5．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若，則（

）A．81 B． C． D．3【答案】D【分析】將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，故選：D.6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若logx＝z，則（

）A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x【答案】B【分析】對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，然后由冪的運(yùn)算法則求解．【詳解】解析由logx＝z，得xz＝，∴()7＝(xz)7，則y＝x7z．故選：B．二、多選題7．（2022·湖南湘西·高一期末）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ACD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)的概念可知：可轉(zhuǎn)化為，故A正確；由對(duì)數(shù)的概念可知：可轉(zhuǎn)化為，故B錯(cuò)誤；由對(duì)數(shù)的概念可知：可轉(zhuǎn)化為，故C正確；由對(duì)數(shù)的概念可知：可轉(zhuǎn)化為，故D正確；故選：ACD.8．（2022·江蘇·高一）(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化中正確的是（

）A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，相互轉(zhuǎn)化逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】B選項(xiàng)中，＝?log27＝－.故選：ACD9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的概念進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式為，故D正確.故選：ACD.三、填空題10．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)__________；【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】即，解得：故答案為：11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以，解得．故答案為：2.12．（2022·浙江·杭十四中高一期末）設(shè)，則__________．【答案】16【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化即可求解.【詳解】由得.故答案為：1613．（2022·貴州·凱里一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（且），且，則___________.【答案】【分析】由指對(duì)數(shù)互化可得出答案.【詳解】因?yàn)椋瑒t,化為對(duì)數(shù)式，可得,所以，故答案為：.14．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則______．【答案】0【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，列式求的值.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，知，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，不符合題意，時(shí)，，符合題意．故．故答案為：16．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）方程log2(5－x)＝2，則x＝________．【答案】1【分析】由對(duì)數(shù)的定義求解．【詳解】解：5－x＝22＝4，∴x＝1．故答案為：1．四、解答題17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由對(duì)數(shù)的定義改寫(xiě)；（2）由對(duì)數(shù)的定義改寫(xiě)；（3）由對(duì)數(shù)的定義改寫(xiě)；（4）由對(duì)數(shù)的定義改寫(xiě)．(1)由對(duì)數(shù)定義得；(2)由對(duì)數(shù)定義得；(3)由對(duì)數(shù)定義得；(4)由對(duì)數(shù)定義得．18．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化即可得解.(1)解：因?yàn)?，所以?2)解：因?yàn)?，所以?3)解：因?yàn)?，所以?4)解：因?yàn)椋裕?5)解：因?yàn)?，所以?6)解：因?yàn)椋裕?7)解：因?yàn)?，所以?8)解：因?yàn)?，所?19．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）在銀行存元，假設(shè)年利率為，每年結(jié)算自動(dòng)轉(zhuǎn)存.多少年達(dá)到萬(wàn)元？多少年達(dá)到萬(wàn)元？【答案】答案見(jiàn)解析【分析】后本息和為萬(wàn)元，分別解不等式、，可得出結(jié)論.【詳解】解：在銀行存元，后本息和為萬(wàn)元，由可得，即年達(dá)到萬(wàn)元，由可得，即年達(dá)到萬(wàn)元.20．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125(2)(3)(4)【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，從而可得出答案.(1)解：因?yàn)?，所以?2)解：因?yàn)?，所以，解?3)解：因?yàn)?，所以，所以?4)解：因?yàn)?，所以，所?【能力提升】一、多選題1．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其關(guān)系求出、、，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，即，A正確；，即，B錯(cuò)誤，D正確；由，則，C正確；故選：ACD二、填空題2．（2022·河南·信陽(yáng)高中高一階段練習(xí)（理））已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任都有，則m的取值范圍是_________．【答案】，．【分析】作出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將其圖象分別向左、向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的或2倍），得到函數(shù)的圖象，令，求得的最大值，可得所求范圍．【詳解】解：因?yàn)闈M足，即；又由，可得，畫(huà)出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將在，的圖象向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍），再向左平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍），由此得到函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)，時(shí)，，，，又，所以，令，由圖像可得，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，滿足對(duì)任意的，，都有，故的范圍為，．故答案為：，．3．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）方程正實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是___________.【答案】1【分析】先證，再把改寫(xiě)為，，可得，再由在R上遞減，又時(shí)，即時(shí)，有，可得原方程的解有且只有一個(gè).【詳解】先證，可令，兩邊取b為底的對(duì)數(shù)，可得，，則，可得，即則即為，，可得，由于，在R上遞減，可得在R上遞減，又時(shí)，即時(shí)，有，則原方程的解有且只有一個(gè).故答案為：1.4．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，則的值為_(kāi)__________．【答案】【分析】由題得，再化簡(jiǎn)代入即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：5．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0，b>0，若，則=________.【答案】【分析】設(shè)，可得，構(gòu)造方程即可求.【詳解】設(shè)，則，∴，∴整理得，又a>0，b>0，∴，故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用指對(duì)數(shù)的互化，結(jié)合已知條件構(gòu)造方程求解.6．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，分別求出，及關(guān)于t的表達(dá)式，再由進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是設(shè)，從而將，及利用t進(jìn)行表示，再進(jìn)行計(jì)算.三、解答題7．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知且.(1)求的解析式；(2)解關(guān)于x的不等式：.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組求出，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)已知條件求出，進(jìn)而得出不等式，利用換元法及一元二次不等式得出的范圍，再根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化解指數(shù)不等式即可.(1)由，得，解得.所以的解析式為.(2)由（2）知，，所以，由，得，即，令，則，解得或所以，即，解得.所以不等式的解集為.8．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求的值．【答案】-1【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，表示出,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算，即可求得答案.【詳解】由可得：，故.9．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）我們知道當(dāng)時(shí)，對(duì)一切恒成立，學(xué)生小賢在進(jìn)一步研究指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這么一個(gè)等式，帶著好奇，他進(jìn)一步對(duì)進(jìn)行深入研究.（1）當(dāng)時(shí)，求的值（2）當(dāng)時(shí)，求證：是不存在的；（3）求證：只有一對(duì)正整數(shù)對(duì)使得等式成立.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，整理后將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式即可求解；（2）由題意求得的表達(dá)式，令，然后分類(lèi)和討論即可求證；（3）將，分離到等式的兩側(cè)，然后討論左右兩側(cè)的值即可證得題中的結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，所以，（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，且，?dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，由可得，因?yàn)?，，，所以不成立，綜上所述：當(dāng)時(shí)，是不存在的；（3）由可得，當(dāng)，均為正整數(shù)時(shí)，等號(hào)左側(cè)為的指數(shù)冪，故右側(cè)也是的指數(shù)冪，所以，即時(shí)符合題意，此時(shí)，所以只有一對(duì)正整數(shù)對(duì)使得等式成立.10．（2022·安徽蚌埠·高一期末）已知函數(shù).（1）若在上的最大值為，求的值；（2）若為的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）2；（2）詳見(jiàn)解析.【解析