廣西桂林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

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數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.

2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上答題（在本試卷上答題無(wú)效）.

第Ⅰ卷選擇題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）

A.B.2C.D.3

2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）

A.B.C.D.

3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）

A.B.C.D.

4.已知向量，，且，則（）

A.2B.C.3D.

5.下列函數(shù)為偶函數(shù)是（）

A.B.C.D.

6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）

A.B.

C.D.

7.已知是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，則D.若，，則

8.兩個(gè)粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為，，此時(shí)在上的投影向量為（）

A.B.C.D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量B.單位向量的模為1

C.零向量的模為0D.共線向量是在同一條直線上的向量

10.已知復(fù)數(shù)，，則（）

A.是純虛數(shù)B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D.

11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.

12.已知正方體，則（）

A.直線與直線所成的角為B.直線與直線所成的角為

C.直線與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為

第Ⅱ卷非選擇題

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13計(jì)算：sin150°＝_____．

14.若向量和向量垂直，則__________.

15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為_(kāi)_________平方米.

16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為_(kāi)_________.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.已知，為第二象限角.

（1）求值；

（2）求的值.

18.已知向量，滿(mǎn)足，，.

（1）求；

（2）求與的夾角；

（3）求.

19.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:

（1）平面AEC;

（2）平面AEC⊥平面PBD．

20.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.

（1）求角的大??；

（2）若，的面積，求的周長(zhǎng).

21已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的取值集合；

（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車(chē)道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車(chē)道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車(chē)，在其水平截面圖為矩形，它的寬為2.4米，車(chē)廂的左側(cè)直線與中間車(chē)道的分界線相交于、，記．

（1）若大卡車(chē)在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，且、也都在中間車(chē)道的直線上，直線也恰好過(guò)路口邊界，求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)．

（2）若大卡車(chē)在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意，此車(chē)都不越中間車(chē)道線，求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)的最大值．

（3）若某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了這兩個(gè)車(chē)道在這一路段的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計(jì)如下：

時(shí)間7:007:157:307:458:00

里側(cè)車(chē)道通行密度110120110100110

外側(cè)車(chē)道通行密度110117.5125117.5110

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①

②，請(qǐng)你根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩車(chē)道選擇最合適的一種函數(shù)來(lái)描述早七點(diǎn)以后的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時(shí)間（單位：分）的關(guān)系（其中為7:00后所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，例如7:30即分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式．

桂林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)答案解析

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.

2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上答題（在本試卷上答題無(wú)效）.

第Ⅰ卷選擇題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）

A.B.2C.D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，

故選：B.

2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】寫(xiě)出與與角的終邊相同的角的集合，根據(jù)集合即可求出結(jié)果.

【詳解】與角的終邊相同的角的集合為，

令，得到，故選項(xiàng)A正確，易知，不存在，使，故選項(xiàng)BCD均不正確.

故選：A.

3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接判斷出各選項(xiàng)中幾何體的形狀，由此確定出臺(tái)體.

【詳解】A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺(tái)，D：球，

所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的辨識(shí)，難度較易.

4.已知向量，，且，則（）

A.2B.C.3D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)形式可求的值.

【詳解】因?yàn)?，所以，?

故選：C.

5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)A，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，由的性質(zhì)知，為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，因的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．

【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得.

故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.

7.已知是三條不同直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，則D.若，，則

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】A中，若，，由平行與同一平面的兩平面平行，可得，所以A正確；

B中，若，，則與可能是異面直線，所以B錯(cuò)誤；

C中，若，，則與可能平行，所以C錯(cuò)誤；

D中，若，，則與可能相交，所以D錯(cuò)誤.

故選：A.

8.兩個(gè)粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為，，此時(shí)在上的投影向量為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?，?/p>

所以，，

所以在上的投影向量為.

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量B.單位向量的模為1

C.零向量的模為0D.共線向量是在同一條直線上的向量

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)相等向量、單位向量、零向量、共線向量的概念，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析、判斷即可.

【詳解】對(duì)于A，長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，單位向量的模為，故B正確；

對(duì)于C，零向量的模為，故C正確；

對(duì)于D，方向相同或相反的向量叫共線向量，它們不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知復(fù)數(shù)，，則（）

A.是純虛數(shù)B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D.

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A，根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B，先計(jì)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)乘法法則計(jì)算后即可判斷.

【詳解】對(duì)于A，是純虛數(shù)，故A正確；

對(duì)于B，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；

對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由最值求，由周期求，再由，可求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】由題意可得，，故，

又因?yàn)椋剩?/p>

所以，所以.

對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；

對(duì)于B，時(shí)，，則是該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，B正確；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，

因?yàn)楹瘮?shù)在不是單調(diào)減函數(shù)，

所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.

故選：AB

12.已知正方體，則（）

A.直線與直線所成的角為B.直線與直線所成的角為

C.直線與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為

【答案】BCD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，由異面直線所成角可判斷A，B；直線與平面所成角可判斷C，D.

【詳解】如圖，連接、，因?yàn)椋?/p>

所以四邊形為平行四邊形，所以，

所以直線與所成的角即為直線與所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，連接，，因?yàn)椋?/p>

則四邊形為平行四邊形，可得，

直線與所成的角即為與所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，

所以為等邊三角形，所以直線與所成的角為，故B正確；

因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得為等腰直角三角形，所以，故C正確.

連接，設(shè)，連接，

因?yàn)槠矫妫矫?，則，

因?yàn)?，，平面，平面，所以平面?/p>

所以為直線與平面所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，

所以，直線與平面所成的角為，故D正確；

故選：BCD.

第Ⅱ卷非選擇題

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計(jì)算：sin150°＝_____．

【答案】

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案.

【詳解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

14.若向量和向量垂直，則__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用向量垂直數(shù)量積為列方程即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，

所以，解得.

故答案為：.

15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為_(kāi)_________平方米.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得扇形所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，因徑長(zhǎng)為米，下周長(zhǎng)為米，即且，

所以扇形所在圓的半徑為米，

所以該扇形田的面積為平方米.

故答案為：.

16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為_(kāi)_________.

【答案】

【解析】

【分析】設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，由，可得，，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，求得，從而可得，利用基本不等式即可求解.

【詳解】設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，

取中點(diǎn)，連接,

因?yàn)榈耐饨訄A圓心為O，所以，

則，.

因?yàn)椋?/p>

所以，，

即，，

解得，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最大值為.

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：

這道題的關(guān)鍵是能夠由，推出，，從而利用數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步求得，進(jìn)而利用基本不等式即可求解.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.已知，為第二象限角.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系求出，再利用正弦倍角公式即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦的和角公式即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?，為第二象限角，所?

故.

【小問(wèn)2詳解】

由（1），，

所以.

18.已知向量，滿(mǎn)足，，.

（1）求；

（2）求與的夾角；

（3）求.

【答案】（1）1（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積夾角公式，得到，從而可求出結(jié)果；

（3）利用條件求出，即可求出結(jié)果.

小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?，，又?/p>

所以.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?，又?/p>

所以，故與的夾角.

【小問(wèn)3詳解】

，所以.

19.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:

（1）平面AEC;

（2）平面AEC⊥平面PBD．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)設(shè),連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;

(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè),連接,如圖所示:

因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,

又因?yàn)槠矫?平面,

所以平面．

【小問(wèn)2詳解】

連接,如圖所示:

因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,

又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,

因平面,平面,且,

所以平面,又因?yàn)槠矫?

所以平面平面．

20.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.

（1）求角的大?。?/p>

（2）若，的面積，求的周長(zhǎng).

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)條件求出，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻玫剑?/p>

又因?yàn)?，所以?/p>

故，得到，又因?yàn)?，所?

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?，的面積，

所以，得到，

在中，由余弦定理得，

所以，故的周長(zhǎng)為.

21.已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的取值集合；

（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

【答案】（1）

（2）函數(shù)的最大值為2，取得最大值時(shí)自變量的取值集合為.

（3）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換公式求出函數(shù)的解析式即可求解；

（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；

（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.

【小問(wèn)1詳解】

,

所以函數(shù)的最小正周期為.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)，即，

時(shí)函數(shù)取得最大值為2，

所以函數(shù)的最大值為2，

取得最大值時(shí)自變量的取值集合為.

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)，即，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車(chē)道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車(chē)道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車(chē)，在其水平截面圖為矩形，它的寬為2.4米，車(chē)廂的左側(cè)直線與中間車(chē)道的分界線相交于、，記．

（1）若大卡車(chē)在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，且、也都在中間車(chē)道的直線上，直線也恰好過(guò)路口邊界，求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)．

（2）若