云南省玉溪市易門一中2023年數(shù)學高二下期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．402．利用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項3．已知函數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．4．六安一中高三教學樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進該教學樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．1085．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若,則()A． B． C． D．8．在等比數(shù)列中，若，，則A． B．C． D．9．雙曲線與雙曲線有相同的（）A．頂點 B．焦點 C．漸近線 D．離心率10．如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（）A．21 B． C．7 D．11．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．12．函數(shù)f(x)=x3+ax2A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的有理項共有__________項．14．若角滿足，則＝_____；15．甲、乙兩名運動員進行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為．如果比賽采用“五局三勝”制，求甲以獲勝的概率______16．在極坐標系中，點到圓的圓心的距離為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．18．（12分）某車間名工人年齡數(shù)據(jù)如表所示：（1）求這名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）求這名工人年齡的方差．年齡（歲）工人數(shù)（人）合計19．（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).21．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動．（1）當為線段的中點時，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.22．（10分）由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．①求該團隊能進入下一關(guān)的概率；②該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學期望達到最小，并說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D.點睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應關(guān)系.2、D【解析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結(jié)果.【詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.【點睛】項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.3、C【解析】

首先計算出，再把的值帶入計算即可．【詳解】根據(jù)題意得，所以，所以選擇C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)求值的問題，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計數(shù)原理，計算出所有可能的情況，求得結(jié)果.【詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.【點睛】該題主要考查排列組合的有關(guān)知識，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計數(shù)，屬于簡單題目.5、C【解析】

根據(jù)特殊位置的所對應的的值，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】因為所以當時，，故排除A、D選項，而，所以即是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B項，故選C項.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象，屬于簡單題.6、C【解析】

由約束條件作出可行域，由直線過定點，數(shù)形結(jié)合求得定點與可行域內(nèi)動點連線的斜率的范圍，則答案可求．【詳解】由不等式組作出可行域，如圖.直線表示過點斜率為的直線.直線的圖象經(jīng)過區(qū)域即將軸繞點沿逆時針旋轉(zhuǎn)到點的位置..所以直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，其斜率.故選：C【點睛】本題考查了直線系方程，考查了直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．7、B【解析】

對求導,在導函數(shù)里取,解得,代入函數(shù),再計算【詳解】答案為B【點睛】本題考查了導數(shù)的計算,屬于簡單題.8、A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，.故選A.9、C【解析】

根據(jù)選項分別寫出兩個雙曲線的幾何性質(zhì)，比較后得到答案.【詳解】的頂點是，焦點是，漸近線方程是，離心率是；的頂點是，焦點是，漸近線方程是，離心率，比較后可知只有漸近線方程一樣.故選C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.10、A【解析】

令，則該式等于系數(shù)之和，可求出n，由二項展開式公式即可求得展開式中某項的系數(shù).【詳解】令，則，解得：，由二項展開式公式可得項為：，所以系數(shù)為21.故選A.【點睛】本題考查二項展開式系數(shù)之和與某項系數(shù)的求法，求系數(shù)之和時，一般令，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，二項式系數(shù)之和為.11、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

題意說明f'(1)=0，f(1)=7，由此可求得a,b【詳解】f'(x)=3x∴f(1)=1+a+b+a2+a=7f'(1)=3+2a+b=0，解得a=3,b=-9時，f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3)，當-3<x<1時，f'(x)<0，當x>1時，f'(x)>0a=-3,b=3時，f'(x)=3x2-6x+3=3∴a=3．故選C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，對于可導函數(shù)f(x)，f'(x0)=0是x0為極值的必要條件，但不是充分條件，因此由二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】，，因為有理項，所以，共三項。填3.14、【解析】

由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡后，把tanα的值代入即可．【詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為【點睛】本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

利用二項分布可求甲以獲勝的概率.【詳解】設(shè)“甲班以3:1”獲勝為事件.若甲班以3:1獲勝，則前3局甲班恰好勝2局，然后第4局勝．所以，.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算，注意利用常見的分布（如二項分布、超幾何分布等）來幫助計算概率，本題為基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：先根據(jù)圓的極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標系方程，求得圓心坐標，把點轉(zhuǎn)化成直角坐標，最后利用兩點間的距離公式求得答案.詳解：，，，即，圓心為，點的直角坐標為，.故答案為：.點睛：求解與極坐標有關(guān)的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標系，用直角坐標求解．使用后一種方法時，應注意若結(jié)果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）求出，分或兩種情況討論（2）由，得恒成立，則恒成立，然后利用導數(shù)求出右邊的最大值即可【詳解】解：（1）易知，，（i）當時對任意的恒成立；（ⅱ）當時，若，得若，得，綜上，當時在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，得恒成立，則恒成立，令，，則令，，則，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴在上，即；在上，即，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，故，即的取值范圍為．【點睛】恒成立問題首選的方法是通過分離變量，轉(zhuǎn)化為最值問題.18、（1）眾數(shù)為30，極差為21；（2）見解析；（3）方差,12.6【解析】

（1）根據(jù)眾數(shù)和極差的定義，可以求出眾數(shù)、極差；（2）按照制作莖葉圖的方法制作即可；（3）先求出30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后按照方差計算公式求出方差.【詳解】（1）這20名工人年齡的眾數(shù)為30，極差為；（2）莖葉圖如下：（3）年齡的平均數(shù)為，故這20名工人年齡的方差為.【點睛】本題考查了眾數(shù)、極差的定義，考查了繪制莖葉圖，考查了方差的計算公式.19、(1)證明見解析.(2).【解析】

分析：（1）只要求得在時的最小值即可證；（2）在上有兩個不等實根，可轉(zhuǎn)化為在上有兩個不等實根，這樣只要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，由直線與的圖象有兩個交點可得的范圍．詳解：（1）證明：當時，函數(shù).則，令，則，令，得.當時，，當時，在單調(diào)遞增，（2）解：在有兩個零點方程在有兩個根，在有兩個根，即函數(shù)與的圖像在有兩個交點．，當時，，在遞增當時，，在遞增所以最小值為，當時，，當時，，在有兩個零點時，的取值范圍是．點睛：本題考查用導數(shù)證明不等式，考查函數(shù)零點問題．用導數(shù)證明不等式可轉(zhuǎn)化這求函數(shù)的最值問題，函數(shù)零點問題可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點問題，這可用分離參數(shù)法變形，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得圖象的大致趨勢．20、(1)見解析；(2)見解析【解析】

（1）先對函數(shù)求導，分別討論，，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得時，函數(shù)的最大值，分別討論，，，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.【詳解】解：（1），，當時，，當時，，當時，；當時，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當，即時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當，即時，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當，即時，由于，，，若，即時，，由函數(shù)單調(diào)性知使得，使得,故此時函數(shù)在內(nèi)有兩個零點；若，即時，，且，，由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的零點，在內(nèi)沒有零點，從而在內(nèi)只有一個零點綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點．【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，通常需要對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，屬于?？碱}型.21、（1）①見解析；②；（2）.【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直和計算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標法求得設(shè)設(shè)由導數(shù)法求得范圍．【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.因為分別是棱的中點，所以（1）當為線段的中點時，則①因為所以即②因為設(shè)平面的一個法向量為由可得，取，則所以又因為是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則.因為為銳角，所以所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（2）因為在線段上，所以設(shè)（），解得，所以.因為設(shè)平面的一個法向量為由可得，取則所以設(shè)直線與平面所成的角為則因為所以設(shè)則所以，設(shè)則，設(shè)可求得的取值范圍為，進一步可求得的取值范圍為所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.【點睛】本題全面考查利用空間向量坐標法證明線線垂直，求二面角，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，并利用導數(shù)求范圍，運算難度較大．22、（1），，甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均為計算出中位數(shù)，可得出、的值，再分別計算甲、乙在分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率值；（2）①利用獨立事件概率的乘法公式可計算出所求事件的概率；②分別求出先派甲和