“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課件

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一般地，對于nN*有二項(xiàng)定理:新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個？下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？一般地，對于nN*有二項(xiàng)定理:新課引入二項(xiàng)展開式中計算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表n(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111計算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表n(a+b)(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？

3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?對稱性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1(a+b)1(a《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x楊輝三角《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x楊輝三角二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時，其圖象是右圖中的7個孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次①對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等．這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等．2、若（a+b）n的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，練習(xí)：1、在(a＋b)６展開式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等是()A第２項(xiàng)B第３項(xiàng)C第４項(xiàng)D第５項(xiàng)則n=__________B82、若（a+b）n的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第七項(xiàng)的二②增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)由：即二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。可知，當(dāng)時，②增減性與最大值由于：所以相對于的增減情況由因此,當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時取得最大值。②增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)因此,當(dāng)n為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)1.在(1+x)10的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為

；在(1-x)11的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為

.3.在二項(xiàng)式(x-1)11的展開式中,求系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)。最大的系數(shù)呢？練習(xí)2.指出（a+2b）15的展開式中哪些項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，并求出其最大的二項(xiàng)式系數(shù)最大。解:第8、9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即6435最大。1.在(1+x)10的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為變式:若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？解變式:若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？解③各二項(xiàng)式系數(shù)的和

在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)③各二項(xiàng)式系數(shù)的和在二項(xiàng)式定理中，令，則：例證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。在二項(xiàng)式定理中，令，則：

賦值法證明：例證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等例題2.求證：證明：∵倒序相加法例題2.求證：證明：∵倒序相加法(1)二項(xiàng)式系數(shù)的三個性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想

a單調(diào)性；b圖象；c最值。小結(jié)(1)二項(xiàng)式系數(shù)的三個性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想a求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和(1)(2)求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和(1)(2)求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和所以（3）求奇數(shù)(次)項(xiàng)偶數(shù)(次)項(xiàng)系數(shù)的和所以（3）例題點(diǎn)評求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值例題點(diǎn)評求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)(系數(shù))例2.的展開式中,的系數(shù)等于___________解:仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得的系數(shù)是求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)(系數(shù))例2.的展開式中,的系例3:求

的展開式中項(xiàng)的系數(shù).解的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是例3:求由題意知解得所以的系數(shù)為:

例題點(diǎn)評對于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算由題意知解得所以的系數(shù)為:例題點(diǎn)評求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解:設(shè)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng),則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng),即所以它們的比是求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解:設(shè)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng),例5在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，則所以當(dāng)時，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為例5在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)解：解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有由此確定r的取值例題點(diǎn)評解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第項(xiàng)是系數(shù)最由此確定三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得=1107三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)______________解：原式化為其通項(xiàng)公式為240例題點(diǎn)評括號里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),合并時要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二項(xiàng)式.______________解：原式化為其通項(xiàng)公式為240例問題探究:(1)今天是星期五，那么7天后的這一天是星期幾呢?（星期五）(2)如果是15天后的這一天呢？（星期六）(3)如果是24天后的這一天呢？（星期一）(4)如果是

天后的這一天呢？

問題探究:(1)今天是星期五，那么7天后的這一天

余數(shù)是1，所以是星期六(4)今天是星期五，那么天后的這一天是星期幾？變式:若將除以9，則得到的余數(shù)是多少？余數(shù)是1，所以是星期六(4)今天是星期五，那么變式:若將除以9，則得到的余數(shù)是多少？所以余數(shù)是1，思考：若將除以9，則得到的余數(shù)還是1嗎？8變式:若將除以9，則得到的余數(shù)是多少？所以2.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)3.9192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿.由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100整除所以9192除以100的余數(shù)是812.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x4、已知a,b∈N，m,n∈Z，且2m+n=0，如果二項(xiàng)式(