§5.5 全同粒子系統(tǒng)

前面我們學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的四個(gè)基本原理：原理3體系狀態(tài)的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)來展開（測(cè)量假設(shè)或平均值假設(shè)）原理2力學(xué)量可以用厄米算符來描述（算符假設(shè)）原理1微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)完全描述原理4體系狀態(tài)的波函數(shù)要滿足Schr?dinger

方程。今天我們開始學(xué)習(xí)第五個(gè)基本原理----全同性原理521§5.5全同粒子系統(tǒng)和波函數(shù)的交換對(duì)稱性1、全同粒子經(jīng)典粒子：有軌跡，可分辨(熱統(tǒng)中有介紹)①概念：在量子力學(xué)中，把固有性質(zhì)如電荷、質(zhì)量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子稱為全同粒子。故全同粒子在本質(zhì)上是不可分辨的。因而不能編號(hào)，交換任意兩粒子不影響體系522②性質(zhì)用量子力學(xué)的的第五個(gè)基本原理描述:全同性原理：全同粒子體系的狀態(tài)不因粒子的交換而改變?nèi)Ｗ泳哂械男再|(zhì)：任何可觀測(cè)量，特別是Hamiltonian量，對(duì)于任意兩個(gè)粒子的交換是不變的，即交換對(duì)稱性。523例1He原子中兩個(gè)電子組成的體系（只研究電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律）電子的Hamiltonian表達(dá)式可以寫為兩電子動(dòng)能兩電子與核庫(kù)侖能兩電子相互作用能顯然當(dāng)兩個(gè)電子交換時(shí)，Hamiltonian不變。設(shè)交換算符為P12，則有故e2e+r1-er2-524例2考慮N個(gè)全同粒子組成的多粒子體系，其量子態(tài)用波函數(shù)來描述。其中表示第i個(gè)粒子的全部坐標(biāo)（空間和自旋）。若Pij表示第i個(gè)粒子與第j個(gè)粒子的全部坐標(biāo)變換，即525根據(jù)全同性原理，有但從而有所以526可見，全同粒子系統(tǒng)波函數(shù)滿足下列關(guān)系之一：（交換對(duì)稱）（交換反對(duì)稱）結(jié)論：對(duì)全同粒子波函數(shù)的一個(gè)很強(qiáng)的限制，即全同粒子的波函數(shù)對(duì)兩個(gè)粒子的交換要么是對(duì)稱的，要么是反對(duì)稱的。這一點(diǎn)務(wù)必記??！527③全同粒子的本征態(tài)對(duì)于全同粒子，由前述可知比如對(duì)任意全同粒子系的波函數(shù)528？即在此情況下，我們推不出或滿足交換對(duì)稱或反對(duì)稱，則所有的都是對(duì)易的。試分析。529事實(shí)上，對(duì)全同粒子體系來說，所有的Pij所處的地位應(yīng)該是相同的。唯一可能的選擇是量子態(tài)是所有Pij的共同本征態(tài)。仔細(xì)分析表明，這種共同本征態(tài)是存在的----完全對(duì)稱波函數(shù)或完全反對(duì)稱波函數(shù)。既然所有Pij都是守恒量，所以其對(duì)稱性不隨時(shí)間變化,即全同粒子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)(Bose或Fermi統(tǒng)計(jì))是不變的。

結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間變化。5210④全同粒子的分類所有的基本粒子可分為兩類：玻色子Fermion和費(fèi)米子Boson1）玻色子：遵從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)的粒子。

波函數(shù)滿足交換對(duì)稱，如π介子（s=0）、光子（s=1

）等。5211引力子(Graviton)引力子(Graviton)，又稱重力子，在物理學(xué)中是一個(gè)傳遞引力的假想粒子。為了傳遞引力，引力子必須永遠(yuǎn)相吸、作用范圍無限遠(yuǎn)及以無限多的型態(tài)出現(xiàn)。在量子力學(xué)中，引力子被定義為一個(gè)自旋為2、質(zhì)量為零的玻色子。

提出引力子的存在純因?yàn)榱孔永碚撛诟鞣矫娑挤浅３晒?，譬如電磁學(xué)可用光子的量化來解釋（量子電動(dòng)力學(xué)），而宇宙其他方面的基本作用力（弱核力和強(qiáng)核力）亦可用量子理論得到完美的描述；人們自然希望量子理論亦能解釋重力，故假想有一種未發(fā)現(xiàn)的引力子存在，其性質(zhì)與光子類似，而最終可發(fā)展出量子引力理論?？墒沁@種理論的數(shù)學(xué)運(yùn)算十分復(fù)雜且無法自洽。52122）費(fèi)米子：波函數(shù)對(duì)粒子的交換是反對(duì)稱，遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)的粒子。3）復(fù)合粒子：由基本粒子組成，視其總自旋而定。奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的粒子仍為費(fèi)米子；由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子或玻色子組成的粒子均為玻色子。如電子、質(zhì)子、中子等，s=1/25213如：質(zhì)量數(shù)（核子數(shù)）質(zhì)子數(shù)中子數(shù)核子數(shù)為偶數(shù)，玻色子核子數(shù)為奇數(shù)，費(fèi)米子一般粒子的標(biāo)記：5214任意子：Anyon近年來，在凝聚態(tài)物理研究中，還提出所謂任意子（Anyon）的概念。波函數(shù)對(duì)兩粒子坐標(biāo)交換不是獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的正或負(fù)號(hào)，而是獲得一個(gè)附加的相位因子：

當(dāng)θ=0或θ=π，分別回到玻色或費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，但對(duì)一般0<θ<2π，便是一種新的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)了。5215⑤全同粒子波函數(shù)的構(gòu)造方法在忽略粒子間相互作用的情況下，完全對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)可通過單粒子態(tài)基矢乘積形式構(gòu)造出來；若有相互作用，則可按無相互作用基矢進(jìn)行展開。我們下面分別以雙全同粒子體系和N全同粒子體系為例來進(jìn)行說明。52162、兩個(gè)全同粒子組成的體系①簡(jiǎn)介忽略相互作用，Hamiltonian可表為故則有5217則它們組成的雙粒子態(tài)對(duì)應(yīng)的能量都是-----能量交換簡(jiǎn)并。按照全同粒子波函數(shù)的特點(diǎn)----滿足交換對(duì)稱。但任意兩粒子態(tài)的乘積不一定滿足這種交換對(duì)稱，比如則與不滿足交換對(duì)稱。如何構(gòu)造對(duì)稱波函數(shù)？針對(duì)不同體系！5218②波函數(shù)的構(gòu)造1）對(duì)玻色子，交換對(duì)稱，分兩種情況a.歸一化波函數(shù)可表成（量子態(tài)不同）其中symmetry5219b.（量子態(tài)相同）這是自然的結(jié)果。2）對(duì)費(fèi)米子，交換反對(duì)稱，歸一化波函數(shù)可表成歸一化波函數(shù)可表成以上兩種情況所構(gòu)造的波函數(shù)都是交換對(duì)稱的。5220同樣，由上式可知，則（不存在）泡利不相容原理asymmetry5221泡利不相容原理：在全同費(fèi)米子體系中，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于同一個(gè)單粒子態(tài)中（包括坐標(biāo)、自旋量子數(shù)完全相同）統(tǒng)計(jì)排斥性③*全同性原理對(duì)散射體系的影響設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子都處在動(dòng)量本征態(tài)，本征值為討論它們?cè)诳臻g距離的幾率分布5222（1）無交換對(duì)稱性兩粒子的波函數(shù)可表示為作變換以及上式中相對(duì)坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)相對(duì)動(dòng)量質(zhì)心總動(dòng)量（或不考慮交換對(duì)稱性）5223則此時(shí)波函數(shù)可表為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（不考慮）相對(duì)運(yùn)動(dòng)（研究目標(biāo)）5224即令其等于rdr5225（2）考慮交換反對(duì)稱波函數(shù)-----費(fèi)米子根據(jù)前述現(xiàn)在讓5226這樣由前面的知識(shí)可知5227rdr5228即這就是兩全同粒子波函數(shù)交換反對(duì)稱時(shí)在空間相對(duì)距離的幾率分布，見下圖。5229（3）考慮交換對(duì)稱波函數(shù)-------玻色子此時(shí)同理可得見下頁(yè)圖。5230可以看出，在空間波函數(shù)對(duì)稱情況下，兩個(gè)粒子靠近的幾率最大，而在交換反對(duì)稱的情況下兩個(gè)粒子靠近的幾率最小。無交換對(duì)稱時(shí)，15231這說明，玻色子統(tǒng)計(jì)吸引，費(fèi)米子統(tǒng)計(jì)排斥說明交換對(duì)稱性只在兩單粒子波函數(shù)交疊處起作用，即此時(shí)才明顯地體現(xiàn)出交換對(duì)稱性。注意：全同粒子相對(duì)距離的幾率分布與波函數(shù)的交換對(duì)稱性密切相關(guān)。這是可觀測(cè)效應(yīng)，尤其在電子-電子散射及介子-介子散射中，這種全同性效應(yīng)可觀測(cè)到。52323、N個(gè)全同費(fèi)米子體系波函數(shù)的特點(diǎn)：反對(duì)稱(1)先考慮三個(gè)全同費(fèi)米子體系，無相互作用，設(shè)三個(gè)粒子處于不同的單粒子態(tài)其中k1,k2,k3表示量子數(shù)集即波函數(shù)可以用單粒子態(tài)波函數(shù)來進(jìn)行展開即不僅僅表示動(dòng)量，還可能同時(shí)表示其它量子數(shù)，如自旋量子數(shù)等。5233其中則反對(duì)稱波函數(shù)為稱為反對(duì)稱算子。5234(2)考慮N個(gè)全同費(fèi)米子體系設(shè)N個(gè)全同費(fèi)米子體系處于不同的單粒子態(tài)同樣k1,k2,…,kN表示量子數(shù)集，則5235其中稱為反對(duì)稱算子。對(duì)N個(gè)粒子，單粒子態(tài)有N個(gè)。排列數(shù)？N!個(gè)P表示允許的置換奇置換偶置換上述行列式稱為Slater行列式。為歸一化因子。5236比如原序123則231→123偶置換（2次）321→123奇置換（3次）很明顯，所有置換奇偶各半。此時(shí)-1奇置換1偶置換δp=5237Slater行列式由于全同粒子的不可區(qū)分性，由二個(gè)或二個(gè)以上全同費(fèi)米子組成的系統(tǒng)的任何可觀測(cè)量必須具有坐標(biāo)交換的不變性。由此要求全同費(fèi)米子系的波函數(shù)有坐標(biāo)交換的反對(duì)稱性，即把任意二個(gè)粒子的坐標(biāo)相互交換，波函數(shù)將改變它的符號(hào)。體現(xiàn)這種反對(duì)稱性的簡(jiǎn)便方法是把有N個(gè)全同費(fèi)米子的系統(tǒng)的波函數(shù)寫成一個(gè)有N行和N列的行列式即斯萊特行列式。交換系統(tǒng)中任意兩個(gè)粒子的坐標(biāo)就相當(dāng)于將該行列式中兩個(gè)對(duì)應(yīng)列相互交換，因而行列式改變符號(hào)，精確地體現(xiàn)了全同費(fèi)米子系波函數(shù)的反對(duì)稱性。52384、N個(gè)全同玻色子體系波函數(shù)的特點(diǎn)：對(duì)稱波函數(shù)由于不受Pauli原理的限制，可以有任意數(shù)目的粒子處于同一狀態(tài)。n1個(gè)粒子n2個(gè)粒子5239P指那些只對(duì)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換而構(gòu)成的置換。這種置換共有因此歸一化對(duì)稱波函數(shù)為比如也可以有5240特例：（1）N=2粒子體系，單粒子態(tài)有2個(gè)粒子的填充情況有兩種對(duì)稱波函數(shù)有兩個(gè)（見前面的討論）5241（2）N=3粒子體系:單粒子態(tài)有3個(gè)①則對(duì)稱波函數(shù)可以寫為這種對(duì)稱態(tài)有1個(gè)[111]5242②則對(duì)稱波函數(shù)可以寫為這種對(duì)稱態(tài)有6個(gè)，即[210]書寫方式同5243③則對(duì)稱波函數(shù)可以寫為這種對(duì)稱態(tài)有3個(gè)，即[300]書寫方式同5244全同粒子波函數(shù)的這種表達(dá)方式比較繁瑣，比較方便的方法是二次量子化和占有數(shù)表象全同粒子狀態(tài)遵從全同性原理。這是因?yàn)椋喝Ｗ硬豢勺粉?，即不能編?hào)。但為了描述方便又必須編號(hào)，交換對(duì)稱性這種表達(dá)形式的目的就是使這些編號(hào)不起作用。5245二次量子化（正則量子化）普通的量子力學(xué)方法只能處理粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)。但在相對(duì)論量子力學(xué)中，粒子可以產(chǎn)生和湮沒，普通量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述方法不再適用。二次量子化通過引入產(chǎn)生算符和湮沒算符處理粒子的產(chǎn)生和湮沒，是建立相對(duì)論量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的必要數(shù)學(xué)手段。相比普通量子力學(xué)表述方式，二次量子化方法能夠自然而簡(jiǎn)潔的處理全同粒子的對(duì)稱性和反對(duì)稱性，所以即使在粒子數(shù)守恒的非相對(duì)論多體問題中，也被廣泛應(yīng)用。5246

例:

一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成？解:狀態(tài)數(shù)=(1)三個(gè)玻色子處在同一個(gè)狀態(tài)。(2)兩個(gè)玻色子處在同一個(gè)狀態(tài)，另一個(gè)玻色子處于另一狀態(tài)。有兩種情況：設(shè)兩單粒子態(tài)為和。5247第一種情況有：三粒子同處于態(tài)：三粒子同處于態(tài)：

第二種情況有：兩粒子同處于態(tài)：兩粒子同處于態(tài)：5248例：一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。可能的單粒子態(tài)有三個(gè)，問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？狀態(tài)數(shù)=解:（1）三個(gè)玻色子分別處于三個(gè)單態(tài)上：（2）三個(gè)粒子處于同一個(gè)單態(tài)上5249