數(shù)值分析課后習題答案市公開課金獎市賽課一等獎課件

1-1.下列各數(shù)都是通過四舍五入得到近似值,試分別指出它們絕對誤差限,相對誤差限和有效數(shù)字位數(shù).x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.一.習題1（第10頁）

解絕對誤差限分別為:

1=0.510-3,2=0.510-4,

3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104.相對誤差限分別為:

r1=0.510-3/5.420=0.00923%,r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.有效數(shù)位分別為:4位,4位,3位,4位,1位.1-2.下列近似值絕對誤差限都是0.005,試問它們有幾位有效數(shù)字.a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032

解有效數(shù)位分別為:3位,1位,0位.第1頁第1頁1-3.為了使101/2相對誤差小于0.01%,試問應取幾位有效數(shù)字?

解由于101/2=3.162…=0.3162…10,若含有n位有效數(shù)字,則其絕對誤差限為0.5101-n,于是有

r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01%

因此只需n=5.即取101/2=3.1623

解x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.0178631-4.求方程x2-56x+1=0兩個根,使它們至少含有四位有效數(shù)字第2頁第2頁2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程組

解

二.習題2(第50頁)回代得解:x3=1,x2=-1,x1=0第3頁第3頁2-3(1).對矩陣A進行LU分解,并求解方程組Ax=b,其中

解

，因此第4頁第4頁2-4.對矩陣A進行LDM分解和Crout分解，其中

解

第5頁第5頁2-5.對矩陣A進行LDLT分解和GGT分解，并求解方程組Ax=b，其中

解

第6頁第6頁2-6(1).給定方程組a.用Cramer法則求其準確解.b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比較結(jié)果.(用兩位浮點計算).

解a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899

b.用Gauss消元法第7頁第7頁2-8.用追趕法求解方程組:回代得解:y=1,x=0.

再用列主元Gauss消元法回代得解:y=1,x=1.第8頁第8頁

解第9頁第9頁2-10.證實下列不等式:(1)x-yx-z+z-y;(2)|x-y|x-y;

證實(1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y

(2)由于x=(x-y)+yx-y+y

因此x-yx-y,同理可證y-xx-y于是有|x-y|x-y.第10頁第10頁2-11.設為一向量范數(shù),P為非奇異矩陣,定義x

p=Px,證實x

p也是一個向量范數(shù).

證實(1)

x

p=Px0,并且Px=0Px=0

x=0

(3)

x+y

p=P(x+y)=Px+Py

Px+Py=x

p+y

p(2)

x

p=P(x)=Px=||Px=||x

p因此x

p是一個向量范數(shù).2-12.設A為對稱正定矩陣,定義

x

A=,證實

A是一個向量范數(shù).

證實由Cholesky分解有A=GGT,因此

x

A=GTx2,由上題結(jié)果知x

A是一向量范數(shù).第11頁第11頁2-16.對任意矩陣范數(shù),求證:

證實(1)由于

A=AE

A

E,因此E1.(2)1E=AA-1

A

A-1

,故2-17.證實:(1)假如A為正交矩陣,則Cond2(A)=1;(2)假如A為對稱正定矩陣,則Cond2(A)=

1/n,1和n分別為A最大和最小特性值.

證實(1)A正交,則ATA=AAT=E,Cond2(A)=

A

2

A-1

2=1.

(2)A對稱正定,ATA=A2,A

2=1.

A-1

2=1/n.(3)

A-1-B-1=A-1(B-A)B-1

A-1

B-1

A-B

第12頁第12頁三.習題3(第75頁)3-2.討論求解方程組Ax=bJ迭代法和G-S迭代法收斂性.其中

解(1)J迭代法迭代矩陣為

得(2+5/4)=0,即1=0,2=,3=,故(B)=因此J迭代法不收斂.第13頁第13頁(2)類似可得(B)=0,(G)=2,故J迭代法收斂,G-S迭代法不收斂.因此,(G)=1/2,故G-S迭代法收斂.

G-S迭代法迭代矩陣為:,得(2+1)2=0,故(G)=1/2.第14頁第14頁3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程組J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T,x(1)-x(0)

=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,問各需迭代多少次才干使誤差

x(k)-x*

10-6.

解J迭代法和G-S迭代法迭代矩陣分別為

G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T,x(1)-x(0)

=2.11

B

=1/3=0.33333,G

=1/4=0.25第15頁第15頁易得:(B)=||,(G)=2.故當||<1時兩種辦法都收斂.3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程組Ax=b,其中J迭代法:

,取k=14.G-S迭代法:

,取k=11.問取何值時這兩種迭代法是收斂?

解J迭代法和G-S迭代法迭代矩陣分別為

3-7.給定方程組第16頁第16頁計算結(jié)果下列:取x(0)=(1.01,1.01)T,分別用J迭代法和G-S迭代法求解,問是否收斂?若收斂哪一個辦法收斂得快?

解(1)J迭代法和G-S迭代法迭代格式分別為

kJ法x1(k)J法x2(k)G-S法x1(k)G-S法x2(k)01234561.010.982.031.945.094.8214.271.010.4850.53-1.045-0.91-5.635-5.231.010.981.944.8213.4639.38117.141.010.53-0.91-5.23-18.19-57.07-173.71第17頁第17頁計算結(jié)果下列:可見,J迭代法和G-S迭代法均不收斂.

kJ法x1(k)J法x2(k)G-S法x1(k)G-S法x2(k)01234561.010.660.670.5533330.5566670.5177780.5188891.010.9951.171.1651.2233331.2216671.2411111.010.660.5533330.5177780.5059260.5019750.5006581.011.171.2233331.2411111.2470371.2490121.249671

(2)J迭代法和G-S迭代法迭代格式分別為

可見,J迭代法和G-S迭代法均收斂,且G-S迭代法收斂快.

事實上,(B)=31/2>1,(G)=3>1.第18頁第18頁3-8.鑒定求解下列方程組SOR辦法收斂性.

解直接可驗證系數(shù)矩陣A是負定矩陣,因此-A是對稱正定矩陣,故當0<<2時,SOR辦法收斂.3-9.給定方程組試建立一個收斂迭代格式,并闡明收斂理由.

解可建立下列形式迭代格式

第19頁第19頁由于迭代矩陣為

因此此迭代法收斂.

第20頁第20頁四.習題4(第102頁)4-1.證實方程1-x-sinx=0在[0，1]內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差小于0.510-4根需要計算多少步?

解記(x)=1-x-sinx,則(x)在[0,1]連續(xù),(0)=1>0,(1)=-sin1<0,故方程在[0,1]內(nèi)有根,又(x)=-1-cosx<0,x[0,1],因此方程在[0,1]內(nèi)僅有一個根.可見,需要計算14步.由于,因此k4/log2=13.294-3.比較使用下述辦法求方程ex+10x-2=0正根，準確到三位小數(shù)所需要計算量:(1)在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法;(2)用迭代法,取x0=0.第21頁第21頁

解(1)由

(2)迭代法迭代函數(shù)為(x)=(2-ex)/10,|(x)|=ex/10e/10<1,取L=e/10,且x1=0.1,由k3/log2=9.97,因此需要計算10步.,可得因此,只需迭代5步.可得若取L=e0.1/10,可得k2.46,因此只需迭代3次.4-4.設(x)=cosx,證實:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k=0,1,2,…,均收斂于方程x=(x)根.第22頁第22頁

證實由于對任意x0,都有x1=cosx0[-1,1],因此只需證實迭代式在區(qū)間[-1,1]收斂.由于(x)=cosx連續(xù)可導,|(x)|=|sinx|sin1<1,因此(x)是區(qū)間[-1,1]上壓縮映射,因此結(jié)論成立.這里迭代函數(shù)(x)=

解記(x)=x3+2x-5C[0,2],且(0)=-5<0,(2)=7>0,因此方程在區(qū)間[0,2]內(nèi)有根,建立迭代格式

4-5.驗證區(qū)間[0,2]是方程x3+2x-5=0有根區(qū)間,并建立一個收斂迭代格式,使對任何初值x0[0,2]都收斂,并闡明理由.,由于第23頁第23頁0<1(x)

因此(x)是區(qū)間[0,2]上壓縮映射,故迭代式收斂.

證實這里(x)=x-(x),由于對任意(0,2/M)均收斂于(x)=0根.

4-7.給定函數(shù)(x),設對一切x,(x)存在且0<m(x)M,證實對任意(0,2/M),迭代式<2,x[0,2]

且|(x)|=

2/3<1,x[0,2]

-1=1-2<(x)=1-(x)<1因此|()|<1,故迭代法收斂.第24頁第24頁

解將x=(x)化為x=-1(x),建立迭代格式xk+1=-1(xk)

取x0=4.5,實際計算時用格式xk+1=+arctanxk,k=0,1,2,…計算結(jié)果下列

4-8.已知x=(x)在[a,b]內(nèi)僅有一個根,而當x[a,b]時,|(x)|k>1,試問如何將x=(x)化為適于迭代形式?將x=tanx化為適于迭代形式,并求在x=4.5附近根.由于|[-1(x)]|=1/|(x)|1/k<1,故迭代法收斂.

將x=tanx化為x=arctanx,建立格式xk+1=arctanxk,kxk|xk+1-xk|kxk|xk+1-xk|0124.54.4937204.4934240.006280.0002963454.4934104.4934094.4934090.0000140.0000010.000000已得到準確到小數(shù)點后6位近似值x5=4.493409.第25頁第25頁一個近似值,用Newton迭代法求

取x0=1.3,計算結(jié)果下列

4-10.已知1.3是解對方程(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式,則有

k0123xk1.31.31637461.31607411.3160740|xk+1-xk|0.01637460.00030050.0000001因此取x3=1.3160740,已準確到小數(shù)點后6位.更加好近似值,要求準確到小數(shù)點后五位.

4-12.用Newton迭代法于方程xn-a=0,和1-a/xn=0,(a>0),分別導出求迭代公式,并求第26頁第26頁由于解迭代格式分別為

因此對(1)有

4-13.證實迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0,1,2,…是求,對(2)有證實設

三階辦法.,則有:=(2+3a)/(32+a)

故

2=a,即第27頁第27頁又由于

因此有因此是三階辦法.第28頁第28頁五.習題5(第131頁)5-1.用Gerschgorin圓盤定理預計下列矩陣特性值.

解(1)三個圓盤為|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是互相獨立,因此,三個特性值分別為;(2)三個圓盤為|-4|2,|-2|1,|-9|2.前兩個圓盤連通,后一個獨立,因此,1,2,落在前兩個圓盤連通區(qū)域內(nèi),7311.0.811.2,1.622.4,2.733.35-5.求矩陣A按模最大和最小特性值.其中第29頁第29頁

解用冪法求A按模最大特性值,計算公式為:

v(k)=Au(k-1)

k=max(v(k))

u(k)=v(k)/k,k=1,2,….取初值u(0)=(1,1,1)T,計算結(jié)果下列:取1

7=19.301k01234567u1(k)11111111u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499

k2717.148220.135818.979819.398419.244619.301第30頁第30頁

解用反冪法求A按模最小特性值,計算公式為:

Av(k)=u(k-1)

k=max(v(k))

u(k)=v(k)/k,k=1,2,….取初值u(0)=(1,1,1)T,計算結(jié)果下列:k01234567u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689-0.0590-0.2550u2(k)1-0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204

k0.11310.1204-0.1353-0.2192-0.1659-0.2225-0.1724k89101112131415u1(k)-0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)-0.7168-0.9940-0.7713-0.9089-0.8119-0.8765-0.8319-0.8618u3(k)11111111

k-0.23300.17940.23450.19380.21970.0.21370.2054取n1/15=4.8686第31頁第31頁5-7.利用帶位移反冪法計算矩陣特性值.

解作位移矩陣B=A-7E,建立計算公式:

Bv(k)=u(k-1)

k=max(v(k))

u(k)=v(k)/k,k=1,2,….取初值u(0)=(1,1,1)T,計算結(jié)果下列:k01234567u1(k)11111111u2(k)10.750.72220.71620.71480.71440.71430.7143u3(k)1-0.4-0.8044-0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998

k-2-1.125-1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6第32頁第32頁5-9(2)利用Jacobi辦法求矩陣A所有特性值，其中

解記取p=1，q=2，則有cos=(1+t2)-1/2=0.7071,sin=tcos0.7071第33頁第33頁類似地有因此取17.37228,22.99991,31.627815-10.設矩陣H=E-2xxT,向量x滿足xTx=1,證實:(1)H為對稱矩陣,即HT=H;(2)H為正交矩陣,即HTH=E;(3)H為對合矩陣,即H2=E.第34頁第34頁

證實(1)由于HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H對稱.6-1.當x=1,-1,2時,(x)分別為0,-3,4,求(x)二次插值多項式p2(x).(2)由于HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定.(3)由(1)和(2)即得,H是對合矩陣.六.習題6(第180頁)

解法一.基函數(shù)法:p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x)第35頁第35頁6-2.設l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3為插值節(jié)點3次插值基函數(shù),求

解法二.待定系數(shù)法,設p2(x)=(x-1)(ax+b),則有p2(x)=-3l1(x)+4l2(x)2(a-b)=-3,2a+b=4,解得,a=5/6,b=7/3,因此p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)第36頁第36頁6-3.設l0(x),l1(x),…,ln(x)是以x0,x1,…,xn為節(jié)點n次Lagrange插值基函數(shù),求證:

解

證實(1)記(x)=xk,則yj=(xj)=xjk,j=0,1,…,n.于是第37頁第37頁6-4.設(x)C2[a,b],且(a)=(b)=0,證實

證實以a,b為節(jié)點作(x)線性插值有L1(x)=0,故(2)記(t)=(t-x)k,則yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,…,n.于是取t=x,則有其中,|(x)|=|(x)-L1(x)|第38頁第38頁6-5.利用y=近似值,并由誤差公式給出誤差界,同時與實際誤差作比較.

解由二次Lagrange插值得:在x=100,121,144點函數(shù)值,用插值辦法求實際誤差：第39頁第39頁6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商[20,21,…,25]和[20,21,…,26].

解[20,21,…,25]=

[20,21,…,26]=06-9.設(x)=x5+x3+1,取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5,x4=1,作出(x)關于x0,x1,x2,x3,x4差商表,給出(x)關于x0,x1,x2,x3Newton插值多項式,并給出插值誤差.

解差商表為xk?(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商x0=-1x1=-0.8x2=0x3=0.5x4=1-10.1603211.1562535.80161.04960.31253.6875-4.752-0.5673.3752.792.19-0.3第40頁第40頁Newton插值多項式為:|R3(x)|=|[-1,-0.8,0,0.5,x](x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|6-10.設(x)=x4+2x3+5,在區(qū)間[-3,2]上,對節(jié)點x0=-3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)分段三次Hermite插值多項式在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上表示式及誤差公式.

解在[-3,-1]上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8)+2.79(x+1)(x+0.8)x5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,因此

0(x)=(x+1)2(x+4)/4第41頁第41頁同理可得:

0(x)=(x+3)(x+1)2/4

1(x)=-(x+3)2x/4

1(x)=(x+3)2(x+1)/4H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1)=-6x3-22x2-24x-4因此有誤差為R(x)=(x+3)2(x+1)2類似地,在區(qū)間[-1,1]上有H3(x)=2x3+2x2+4R(x)=(x+1)2(x-1)2第42頁第42頁H3(x)=寫到一起就是R(x)=在區(qū)間[1,2]上有H3(x)=8x3-13x2+12x+1R(x)=(x-1)2(x-2)2-6x3-22x2-24x-4,-3x-12x3+2x2+4,-1x18x3-13x2+12x+1,1x2(x+3)2(x+1)2,-3x-1(x+1)2(x-1)2,-1x1(x-1)2(x-2)2,1x26-12.擬定a，b，c使函數(shù)第43頁第43頁是一個三次樣條函數(shù)。

解由于S(x)是分段三次多項式,故只需S(x)C2[0,3]由1=S(1-0)=S(1+0)=c,得c=1因此,當a=b=3,c=1時,S(x)是三次樣條函數(shù).6-13.擬定a，b，c,d,使函數(shù)由3=S(1-0)=S(1+0)=b,得b=3由6=S(1-0)=S(1+0)=2a,得a=3是一個三次樣條函數(shù),且S(2)=12.

解由已知可得:a+b+c+d=2,b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12,解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.第44頁第44頁6-19.給出函數(shù)表

解線性擬合,即形如y=a+bx擬合曲線.結(jié)構(gòu)向量

0=(1,1,1,1,1,1)T,

1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,

=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.則得正則方程組:

6a+0.5b=13.52xi-1-0.500.250.751yi0.220.822.53.84.2試分別作出線性,二次曲線擬合,并給出最佳均方誤差.

0.5a+2.875b=7.055

解得:因此,線性擬合曲線為:y=2.078971+2.092353x最佳均方誤差為:‖*‖2==0.38659第45頁第45頁二次擬合,即形如y=a+bx+cx2擬合曲線.結(jié)構(gòu)向量

0=(1,1,1,1,1,1)T,

1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,

2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T，=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.則得正則方程組:

6a+0.5b+2.875c=13.52

0.5a+2.875b+0.3125c=7.055解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次擬合曲線為:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.最佳均方誤差為:‖*‖2==0.06943.

2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.913756-20.用最小二乘法求一個形如y=a+bx2經(jīng)驗公式,使與下列數(shù)據(jù)擬合,并計算均方誤差.第46頁第46頁

解這里基函數(shù)為0(x)=1,1(x)=x2,結(jié)構(gòu)向量

0=(1,1,1,1,1)T,

1=(361,625,961,1089,1936)T,

=(19,32.2,49,73.3,97.8)T.則得正則方程組:

5a+4972b=271.3

4972a+6378484b=343237.5解得:a=3.33339,b=0.051213.所求擬合曲線為:y=3.33339+0.051213x2.最佳均方誤差為:‖*‖2==15.93299xi1925313344yi1932.24973.397.86-22.用最小二乘法求下列方程組近似解:第47頁第47頁

解記G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2

就是求G(x,y)最小值,令解得:x=2.977413,y=1.225873第48頁第48頁7-1.建立右矩形和左矩形求積公式,并導出誤差式.七.習題7(第213頁)

解法.右矩形公式為：由于(x)-(a)=(x)(x-a),(x)-(b)=(x)(x-b)左矩形公式為：因此有第49頁第49頁7-2.闡明中矩形公式幾何意義,并證實

證實由Taylor展開式有因此有7-3.若(x)>0,證實用梯形公式計算定積分所得結(jié)果比準確值大,闡明幾何意義.

證實由于(x)>0,因此y=(x)是凹函數(shù),故結(jié)論成立.第50頁第50頁7-5.確定以下積分公式中待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡也許高，并說明代數(shù)精度是多少？

解令公式對(x)=1,x,x2都準確成立,則有解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3.A-1+A0+A1=2h-hA-1+hA1=0h2A-1+h2A1=2h3/3求積公式為:(x)=x3時,左=右=0,公式也準確成立(x)=x4時,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不準確成立因此公式代數(shù)準確為3.第51頁第51頁

解令公式對(x)=1,x,x2都準確成立,則有解得:2=22x1+3x2-1=02x12+3x22+1=2求積公式為:(x)=x3時,公式都不準確成立,故代數(shù)精度為2.

解當(x)=1時,左=h，右=h，對所有都成立。第52頁第52頁(x)=x時有左=右=h2/2，對所有都成立。故公式代數(shù)精度為3.

解令公式對(x)=1,x準確成立,則有(x)=x2時,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,則有(x)=x3時,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也準確成立.(x)=x4時,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不準確成立.A0=2/3A0x0=0解得A0=2/3,x0=0.因此公式為,其代數(shù)精度為1.第53頁第53頁7-7.設

解由于|(lnx)|=1/x21,|(lnx)(4)|=6/x46要|I-Tn|<10-3,只要即n>9.13,故取n=10.IS2=1/12[ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75]=0.386260導出兩點Gauss型求積公式.若取=10-3,分別求出n使復化梯形公式Tn,復化Simpson公式Sn截斷誤差滿足:|I-Tn|<,及|I-Sn|<,并計算Sn.要|I-Sn|<10-3,只要即n>1.201,故取n=2.7-10.對積分

解區(qū)間[0,1]上權函數(shù)為ln(1/x)正交多項式為:P0(x)=1,p1(x)=x-1/4,p2(x)=x2-(5/7)x+17/252令p2(x)=0，解出Gauss點為：第54頁第54頁再令公式對(x)=1,x準確成立,可得A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4,由此解出因此兩點Gauss型求積公式為:7-11.用兩點Gauss型求積公式計算下列積分近似值.

解兩點Gauss-Legendre求積公式為:第55頁第55頁因此有

解兩點Gauss-Laguerre求積公式為:A1=0.8535533905,A2=0.1464466094,x1=0.5858864376,x2=3.4142135623,因此有第56頁第56頁因此有

解兩點Gauss-Laguerre求積公式為:A1=A2=0.0.8862269254,-x1=x2=0.7071067811因此有

解兩點Gauss-Hermit求積公式為:7-12.證實下列數(shù)值微分公式：第57頁第57頁其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。

(x)=[(x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)]/2h2

(x0)=[-3(x0)+4(x1)-(x2)]/2h+R2(x0)(2)

(x)=[(x0)-2(x1)+(x2)]/h2+R2(x)

證實(1)以x0,x1,x2為節(jié)點二次Lagrange插值為:+

(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

(x)=[(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)]/2h2+R2(x)

(x0)=[-3(x0)+4(x1)-(x2)]/2h+h2

()/3第58頁第58頁容易證實

(x1)[(x0)-2(x1)+(x2)]/h2對

(x)取次數(shù)不超出3次多項式準確成立.結(jié)構(gòu)三次多項式p3(x)使p3(x0)=(x0),p3(x1)=(x1),p3(x2)=(x2),p3

(x1)=(x1),則有

(x)-p3(x)=

(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是有R2(x1)=(x1)-p3

(x1)=

(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12因此

(x1)=[(x0)-2(x1)+(x2)]/h2-(h2/12)(4)()(3)以x0=-h,x1=0,x2=2h為節(jié)點二次Lagrange插值為:(x)=[2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)]/6h2

+

(x)x(x+h)(x-2h)/6第59頁第59頁

(0)=[-4(-h)+3(0)+(2h)]/6h+R2(0)

(x)=[4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)]/6h2+R2(x)

(0)=[-4(-h)+3(0)+(2h)]/6h-h2

()/3八.習題8(第250頁)8-5.用梯形辦法和四階原則R-K辦法求解初值問題y+y=0，0<x1

y(0)=1取步長h=0.1,并與準確解y=e-x相比較.

解這里(x,y)=-y,故梯形公式為:

yn+1=yn-0.05(yn+yn+1),也就是

yn+1=(0.95/1.05)yn

y0=1四階原則R-K公式為:第60頁第60頁K1=-yn,K2=-(yn+0.05