中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)“PA+kPB”最值探究(胡不歸+阿氏圓) 學(xué)案

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)“PA+kPB”最值探究(胡不歸+阿氏圓)學(xué)案近年來(lái)，中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題，其中當(dāng)k取1時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，使用常見(jiàn)的“飲馬問(wèn)題”模型來(lái)處理。但當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，問(wèn)題就變得更加困難，需要轉(zhuǎn)換思路。胡不歸問(wèn)題是指動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，求PA+k·PB的最小值或最大值的問(wèn)題。這種問(wèn)題無(wú)法使用常規(guī)的軸對(duì)稱思想來(lái)解決，需要采用其他方法。阿氏圓問(wèn)題是指動(dòng)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)，求PA+k·PB的最小值或最大值的問(wèn)題。解決這種問(wèn)題需要利用阿氏圓的性質(zhì)。三角形三邊關(guān)系是解決線段最值問(wèn)題的基礎(chǔ)思想之一。在平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，可以通過(guò)將軍飲馬問(wèn)題、費(fèi)馬點(diǎn)、將軍飲馬特例、平行線間垂線段最短、直角三角形斜邊大于直角邊、圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離最值垂徑定理等來(lái)體現(xiàn)。阿氏圓問(wèn)題和胡不歸問(wèn)題是解決“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題的兩種分類。在處理這種問(wèn)題時(shí)，需要采用特殊的方法，而不是常規(guī)的軸對(duì)稱思想。從前，有一個(gè)小伙子在外地讀書(shū)。當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于著急的不行，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況。當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…何以歸”。這個(gè)古老的傳說(shuō)引起了人們的思索：小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問(wèn)題”。已知：AC上方為砂地，速度為V2，AC上則為平地，速度為V1。路線1為走AB，路線2為走AD后再走DB。求解：D在何處所花時(shí)間最短？解決方法：路線1時(shí)間為tAB1=V2。路線2時(shí)間為tADDB2=V1+V2。關(guān)鍵點(diǎn)：將V1轉(zhuǎn)化為V2作∠CAE=∠α，使得sinα=V2/V1。過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AE交AC于點(diǎn)D，則D為所求點(diǎn)。此時(shí)，ADDE=αV=DE/sinα=DE×V2/V1。則路線2時(shí)間變?yōu)閠BE2=V2×DE×V2/V1。模型歸納：當(dāng)V2等于1個(gè)單位每秒，V1等于0.1個(gè)單位每秒時(shí)，PA+k·PB型的最值問(wèn)題為t=11kAD+DB。模型說(shuō)理：A、B為定點(diǎn)，P為射線BM上一點(diǎn)，求PA+k·PB的最小值及確定P點(diǎn)的位置。關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化k·PB的大小，構(gòu)造∠NBM，使sin∠NBM=k，過(guò)P作PQ⊥BN與點(diǎn)Q，此時(shí)PQ=PB·sin∠NBM=k·PB。求PA+k·PB的最小值轉(zhuǎn)化為求PA+PQ的最小值，則過(guò)A作AQ⊥BN與點(diǎn)Q交BM于點(diǎn)P，此時(shí)AQ即為最小值，P為所求點(diǎn)。解題步驟：1.將所求線段寫成PA+k·PB的形式（0<k<1）。2.在PB一側(cè)，PA異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使sinα=k。3.過(guò)A做構(gòu)造的角的另一邊的垂線，則垂線段即為所求最小值。4.計(jì)算即可。例1：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，求解AM+BM的最小值。詳解：如圖，作AN⊥于BC垂足為N，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠ABC=60°，所以∠DBC=30°，即sinDBC1/2，因此1/BM=MN，所以AM+1/BM=AM+MN，即AM+BM的最小值為AN=2√3。變式思考：(1)改為求2AM+BM的最小值？解：2√3+2。(2)改為求AM+2BM的最小值？解：2。例2：如圖所示，點(diǎn)A為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)B,C為直線l上兩點(diǎn)，且AB=2，∠ABC=15°，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使AP+1/BP最小，并求出這個(gè)最小值。解：如圖，作AN⊥于BC垂足為N，在Rt△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=2·sin15°，因此AP+1/BP的最小值為2sin15°。變式思考：改為求2AP+2BP的最小值？解：4sin15°。例3：如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則AP+BP+CP的最小值為_(kāi)____解：如圖，作AE⊥于BD垂足為E，因?yàn)锳P+BP+CP=AE+BE+CE，所以AP+BP+CP的最小值為2√2。例4：如圖，一條筆直的公路l穿過(guò)草原，公路邊上有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居名點(diǎn)B，A，B的直線距離是13千米.居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)5/2小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B.（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛）解：如圖，設(shè)消防車從公路上某點(diǎn)O進(jìn)入草地，則在公路上行駛的時(shí)間為t1，行駛的路程為80t1，在草地上行駛的時(shí)間為t2，行駛的路程為40t2，因?yàn)橄儡囋诔霭l(fā)后最快經(jīng)5/2小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B，所以80t1+40t2=13，且t1+t2=5/2，解得t1=1，t2=3/2，因此消防車在出發(fā)后最快經(jīng)5/2小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B。例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)G，求BG+1/3AG的最小值.解：如圖，設(shè)G的坐標(biāo)為(0,y)，則BG+1/3AG=√(1+y^2)+1/3√y^2+16，因此BG+1/3AG的最小值為4。例6：如圖，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD=9/2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為3秒.解：如圖，設(shè)DP=x，則AP=9/2-x，因?yàn)锳D-DC=BC=2，所以CD=2-x，因此運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=AD/3+CD=3+(2-x)/1=5-x，因此運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為3秒，此時(shí)x=2。例7：如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB+PD的最小值為6。解：如圖，作AN⊥于BC垂足為N，因?yàn)椤螦BC=150°，所以∠DBC=30°，因此1/BM=MN，所以PA+PB+PD=AN+BN+DN=6。剔除下面文章的格式錯(cuò)誤，刪除明顯有問(wèn)題的段落，然后再小幅度的改寫每段話。阿氏圓簡(jiǎn)介：阿氏圓，又稱阿波羅尼斯圓，是一個(gè)以定比m:n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓。這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，因此得名阿氏圓(k=m:n)。證明：設(shè)點(diǎn)A(a，0)，B(0,0)，P(x,y)，則PA的長(zhǎng)度為√((x-a)^2+y^2)，PB的長(zhǎng)度為√(x^2+y^2)。因?yàn)镻A/PB=k且不等于1，所以有√((x-a)^2+y^2)/√(x^2+y^2)=k。將其平方得到(x-a)^2+k^2y^2=k^2x^2+k^2y^2，整理后可得到x=(k^2a)/(k^2-1)，y=(ka)/(k^2-1)。因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)可以表示為((k^2a)/(k^2-1),(ka)/(k^2-1))。因此，阿氏圓的軌跡為以線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)為直徑的圓。例8：在平面四邊形ABCD中，AB=BC=1，AD=CD=2，∠DAB=∠DCB=90°，點(diǎn)P為AD中點(diǎn)，M，N分別在線段BD，BC上，則PM+2MN的最小值為多少？首先，我們可以通過(guò)畫圖來(lái)確定點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)。然后，根據(jù)阿氏圓的性質(zhì)，我們可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)。接下來(lái)，我們可以使用距離公式計(jì)算PM和MN的長(zhǎng)度，然后求和得到PM+2MN的值。最后，我們可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)確定這個(gè)式子的最小值，得到最終答案。例9：在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)，B(0,-3)，C(2,0)，其中對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則1/2PB+PD的最小值為多少？首先，我們可以通過(guò)已知點(diǎn)求出二次函數(shù)的系數(shù)，然后求出對(duì)稱軸的方程。接下來(lái)，我們可以確定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1)，然后使用距離公式計(jì)算出PD和PB的長(zhǎng)度。最后，我們可以根據(jù)最小值原理來(lái)求出1/2PB+PD的最小值，得到最終答案。例10：已知拋物線y=(8/3)(x+2)(x-4)與x軸從左至右依次交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=-3x+43與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D(-5,33/3)。設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-2,23)時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少。首先，我們可以通過(guò)已知點(diǎn)求出拋物線的方程和點(diǎn)B的坐標(biāo)。然后，我們可以使用求根公式來(lái)求出拋物線和直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。接下來(lái)，我們可以使用距離公式計(jì)算出AF和FD的長(zhǎng)度。然后，我們可以使用時(shí)間公式計(jì)算出點(diǎn)M到點(diǎn)F和點(diǎn)F到點(diǎn)D的時(shí)間。最后，我們可以將兩個(gè)時(shí)間相加得到總時(shí)間，并通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)確定F的坐標(biāo)，使得總時(shí)間最小。例11：拋物線y=x^2-2x-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交拋物線于點(diǎn)E，且tan∠EBA=4/3。有一只螞蟻從A(3,0)出發(fā)，先以1單位/秒的速度爬到線段BE的點(diǎn)D處，再以1.25單位/秒的速度沿著DE爬到E處覓食。螞蟻從A到E的最短時(shí)間是多少秒？首先，我們可以通過(guò)已知點(diǎn)求出拋物線的方程和點(diǎn)B的坐標(biāo)。然后，我們可以使用tan的定義來(lái)求出直線BE的斜率。接下來(lái)，我們可以使用點(diǎn)斜式來(lái)確定直線BE的方程。然后，我們可以使用距離公式計(jì)算出AD、BD、BE、DE的長(zhǎng)度。接下來(lái)，我們可以使用時(shí)間公式計(jì)算出點(diǎn)A到點(diǎn)D和點(diǎn)D到點(diǎn)E的時(shí)間。最后，我們可以將兩個(gè)時(shí)間相加得到總時(shí)間，并通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)確定D的坐標(biāo)，使得總時(shí)間最小。$x-a)^2+y^2=kx^2+y^2/2$化簡(jiǎn)得：$2x-a=kx^2/(1-k)$∴點(diǎn)P的軌跡是以$(a/2,0)$為圓心，半徑為$a/(2\sqrt{1-k^2})$的圓。重要結(jié)論：$AM/AN=AP/AN=AP/AM=k$$OP/OA=OP/OB=AP/BP=k$（母子型相似）模型考法：考慮阿波羅尼斯圓模型時(shí)，已知阿波羅尼斯圓P和一個(gè)定點(diǎn)A（大前提：$OA_1=k$），要求找到AP，則需要找出B點(diǎn)，使得$BP$為所求。但是如何找到B點(diǎn)呢？法一：根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義構(gòu)造母子相似。法二：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，連接$AC$即為所求。解題步驟：1.連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O，連接$OP$、$OB$。2.計(jì)算出所連接的這兩條線段$OP$、$OB$的長(zhǎng)度。3.計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比。4.在$OB$上取點(diǎn)C，使得$OC=k*OP$。5.連接$AC$，與圓$O$交點(diǎn)即為點(diǎn)P。6.計(jì)算$AC$的長(zhǎng)度即可。例1：在直角三角形$ABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$CB=4$，$CA=6$，圓$C$半徑為$2$，$P$為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接$AP$、$BP$，求$AP+BP$的最小值為多少？解：連接$CP$，在$CB$上取點(diǎn)$D$，使得$CD=1$，則$PD=BP$，$AP+BP=AD$。由相似三角形可得$PD=BP=2/3$，$CD=1$，$AD=37/6$，故$AP+BP=AD=37/6$。例1變式：已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{2x-x^2}$，$x\in[0,2]$，$AB$為$f(x)$的圖像上的一條弧，$O$為坐標(biāo)系原點(diǎn)，$P$為$AB$上一動(dòng)點(diǎn)，$PC$垂直于$x$軸，$PD$垂直于$y$軸，求$PC+PD$的最小值。首先可以求出$f(x)$的定義域?yàn)?[0,2]$，然后可以求出$f(x)$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，即$f(x)$在$x=1$處取得最大值$\sqrt{2}$。因?yàn)?AB$是$f(x)$的圖像上的一條弧，所以可以知道$AB$的長(zhǎng)度為$\int_0^2\sqrt{1+f'(x)^2}dx=\int_0^2\sqrt{2-x}dx=\frac{4}{3}(2\sqrt{2}-1)$。由于$PC$垂直于$x$軸，所以$PC$的長(zhǎng)度為$f(P_x)$，其中$P_x$為$P$的橫坐標(biāo)。同理，$PD$的長(zhǎng)度為$f^{-1}(P_y)$，其中$P_y$為$P$的縱坐標(biāo)。因此，$PC+PD=f(P_x)+f^{-1}(P_y)$。由于$f(x)$在$x=1$處取得最大值，所以當(dāng)$P_x=1$時(shí)，$f(P_x)$取得最大值$\sqrt{2}$。又因?yàn)?f(x)$是關(guān)于直線$x=1$對(duì)稱的，所以當(dāng)$P_x=1$時(shí)，$f^{-1}(P_y)$也取得最大值$\sqrt{2}$。因此，$PC+PD$的最小值為$2\sqrt{2}$。例2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)$O$為圓心作半徑為4的圓交$x$軸正半軸于點(diǎn)$A$，點(diǎn)$M$坐標(biāo)為$(6,3)$，點(diǎn)$N$坐標(biāo)為$(8,0)$，點(diǎn)$P$在圓上運(yùn)動(dòng)，求$PM+PN$的最小值。由于圓心在原點(diǎn)，半徑為4，所以圓的方程為$x^2+y^2=16$。點(diǎn)$A$的坐標(biāo)為$(4,0)$。由于點(diǎn)$P$在圓上運(yùn)動(dòng)，所以可以設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,\sqrt{16-x^2})$，其中$x\in[0,4]$。因此，$PM+PN=\sqrt{(x-6)^2+(\sqrt{16-x^2}-3)^2}+\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt{16-x^2}-0)^2}$。為了方便計(jì)算，可以先將式子化簡(jiǎn)為$\sqrt{x^2-12x+45}+\sqrt{x^2-16x+80}$。因?yàn)?x\in[0,4]$，所以可以對(duì)每個(gè)根號(hào)內(nèi)的式子求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)為0，解得$x=2$。因此，$PM+PN$的最小值為$\sqrt{2^2-12\times2+45}+\sqrt{2^2-16\times2+80}=2\sqrt{5}$。例3：正$\triangleABC$的內(nèi)切圓半徑為1，$P$為圓上一點(diǎn)，$BP+CP$的最小值為_(kāi)___。由于$\triangleABC$的內(nèi)切圓半徑為1，所以可以知道$\triangleABC$的面積為$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$分別為$\triangleABC$的三條邊長(zhǎng)。又因?yàn)閮?nèi)切圓的半徑為1，所以可以知道$\triangleABC$的半周長(zhǎng)為$p=s=1+\frac{BP+CP}{2}$，即$BP+CP=2p-2$。由海倫公式，可以知道$\triangleABC$的面積為$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。又因?yàn)?\triangleABC$是正三角形，所以可以知道$a=b=c=2p/3$。因此，$BP+CP=2p-2=2\sqrt{3}-2$。例4：如圖，半圓的半徑為1，$AB$為直徑，$AC$、$BD$為切線，$AC=1$，$BD=2$，$P$為$AB$上一動(dòng)點(diǎn)，求$PC+PD$的最小值。由于半圓的半徑為1，所以可以知道圓的方程為$x^2+y^2=1$。因?yàn)?AC$、$BD$為切線，所以可以知道$AC\perpOD$，$BD\perpOC$，其中$O$為圓心。因此，$AC$的斜率為$-1$，$BD$的斜率為$1/2$。又因?yàn)?AC=1$，$BD=2$，所以可以知道$C$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$，$D$的坐標(biāo)為$(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$。設(shè)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則$PC=\sqrt{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$，$PD=\sqrt{(x-\frac{2}{\sqrt{5}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{5}})^2}$。因此，$PC+PD=\sqrt{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}+\sqrt{(x-\frac{2}{\sqrt{5}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{5}})^2}$。為了方便計(jì)算，可以先將式子化簡(jiǎn)為$\sqrt{2-2x\sqrt{2}+2y\sqrt{2}}+\sqrt{5-4x\sqrt{5}+y\sqrt{5}}$。對(duì)每個(gè)根號(hào)內(nèi)的式子求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)為0，解得$x=\frac{1}{\sqrt{10}}$，$y=\frac{2}{\sqrt{10}}$。因此，$PC+PD$的最小值為$\sqrt{2-2\times\frac{1}{\sqrt{10}}\times\sqrt{2}+2\times\frac{2}{\sqrt{10}}\times\sqrt{2}}+\sqrt{5-4\times\frac{1}{\sqrt{10}}\times\sqrt{5}+\frac{2}{\sqrt{10}}\times\sqrt{5}}=2\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{10}$。例5：已知扇形$COD$中，$\angleCOD=90^\circ$，$OC=6$，$OA=3$，$OB=5$，點(diǎn)$P$是$CD$上一點(diǎn)，則$2PA+PB$的最小值為_(kāi)______。因?yàn)?\angleCOD=90^\circ$，所以可以知道扇形$COD$的面積為$\frac{1}{2}\times6\times5=15$。又因?yàn)?OA=3$，$OB=5$，所以可以知道扇形$COD$的弧長(zhǎng)為$3\pi+5\pi-2\times6\pi=2\pi$。因此，$PA+PB$的最小值為$\frac{2}{\pi}\times15=10$。因?yàn)?2PA+PB$是$PA+PB$的兩倍，所以$2PA+PB$的最小值為$20$。例6：如圖，菱形$ABCD$的邊長(zhǎng)為2，銳角大小為60°，$\odotA$與$BC$相切與點(diǎn)$E$，在$\odotA$上任取一點(diǎn)$P$，求$PB+PD$的最小值。因?yàn)榱庑?ABCD$的邊長(zhǎng)為2，所以可以知道$\triangleABD$的邊長(zhǎng)為2。又因?yàn)殇J角大小為60°，所以可以知道$\triangleABD$是等邊三角形。因此，$AB=BD=2$。又因?yàn)?\odotA$與$BC$相切于點(diǎn)$E$，所以可以知道$AE$為$\odotA$的切線，即$AE=1$。設(shè)$\odotA$的半徑為$r$，則可以知道$BE=BC-CE=2-r$。因此，$PE=\sqrt{r^2-(1-r)^2}=2\sqrt{r-r^2}$。因?yàn)?\trianglePBE$是直角三角形，所以可以知道$PB=\sqrt{(2-r)^2+(2\sqrt{r-r^2})^2}=2\sqrt{2-2r+3r^2}$。又因?yàn)?\trianglePDC$是等邊三角形，所以可以知道$PD=2$。因此，$PB+PD=\sqrt{2-2r+3r^2}+2$。對(duì)根號(hào)內(nèi)的式子求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得$r=\frac{1}{3}$。因此，$PB+PD$的最小值為$\sqrt{2-2\times\frac{1}{3}+3\times(\frac{1}{3})^2}+2=\frac{10}{3}$。例7：在平面直角坐標(biāo)系中，$A(2,0)$，$B(0,2)$，$C(4,0)$，$D(3,2)$，$P$是$\triangle