2021高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)答案

2021高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)答案2020年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一次作業(yè)點(diǎn)評(píng)1第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)一、單項(xiàng)選擇題1.下列各函數(shù)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等。A.x^2，g(x)=x/(x^2-1)B.f(x)=lnx，g(x)=3lnxC.f(x)=3lnx，g(x)=lnxD.f(x)=x+1，g(x)=(x-1)/(x+1)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，則函數(shù)f(x)+f(-x)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱(chēng)。A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸C.y軸D.y=x3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B)。A.y=ln(1+x)B.y=xcosx^2C.y=ax+a^-xD.y=ln(1+x^2)4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C)。A.y=x+1B.y=-xC.y=x^2D.y={-1,x<0;1,x≥0}5.下列極限計(jì)算不正確的是(D)。A.lim(x^2/(x+2x))=1B.limln(1+x)/(2x)=0C.limxsinx/x=1D.limxsin(1/x)不存在6.當(dāng)x→0時(shí)，變量(C)是無(wú)窮小量。A.sinx/xB.x/x^2C.xD.ln(x+2)7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x滿(mǎn)足(A)，則f(x)在點(diǎn)x連續(xù)。A.limf(x)=f(x)B.f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義C.lim[f(x+Δx)-f(x-Δx)]=0D.lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx存在二、填空題1.函數(shù)f(x)=(x^2-9)/(x-3)+ln(1+x)的定義域是{x|x≤-3或x>3}。2.已知函數(shù)f(x+1)=x+x，則f(x)=x-x^2。3.lim(1+x^2)/(2x)=1/2。4.若函數(shù)f(x)={(1+x),x<1;(x+k),x≥1}在x=1處連續(xù)，則k=e-2。5.函數(shù)y={x+1,x>0;sinx,x≤0}的間斷點(diǎn)是x=0。6.若limf(x)=A，則當(dāng)x→x時(shí)，f(x)-A稱(chēng)為無(wú)窮小量。三、計(jì)算題1.設(shè)函數(shù)f(x)={ex,x>0;x,x≤0}，求f(-2)，f(0)，f(1)。解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e。2.求函數(shù)y=2x-1的定義域。解：欲使函數(shù)有意義，必使lg(x/(2x-1))>0，即x/(2x-1)>1，解得函數(shù)的定義域是x>1/2。3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)。解：設(shè)梯形的高為x，則DM=R-x，由勾股定理可得CM=sqrt(R^2-x^2)。則梯形的面積為：s=(上底+下底)×高/2=[2R^2-x^2+2R]×x/2=(R^2-x^2+R)×x。4.求函數(shù)y=log[lg(sin3x)/lg(3x)]的極限。解：原式=log[lg(sin3x)]-log[lg(3x)]=log[ln(sin3x)/ln10]/log[ln(3x)/ln10]。當(dāng)x→0+時(shí)，sin3x/3x→1，ln(sin3x)/ln10→0，ln(3x)/ln10→0，因此原式的極限為log1/log1=1。5.求極限lim(x→-1)sin(x+1)/(x+1)^2。解：原式=lim[sin(x+1)/(x+1)]/(x+1)=lim[sin(x+1)/(x+1)]×lim1/(x+1)=-1。6.求極限lim(x→0)tan3x/sin3x。解：原式=lim[sin3x/cos3x]/sin3x=lim1/cos3x=1。7.求極限lim(x→∞)sinx/x。解：原式=lim[sin(x+2πk)/x]，其中k為任意整數(shù)。由夾逼定理可知，-1≤sinx/x≤1，因此原式的極限為0。9.求極限lim(x→4)(x-1)/(x+3)。解：原式=lim[(x-4+3)/(x+3)]=lim[(x-4)/(x+3)]+lim3/(x+3)=-1/7。10.設(shè)函數(shù)f(x)如下：f(x)={(x-2)^2,x>1;x,-1≤x≤1;x+1,x<-1}討論f(x)的連續(xù)性，并寫(xiě)出其連續(xù)區(qū)間。解：當(dāng)x=1時(shí)，左極限為1，右極限為0，不連續(xù)。當(dāng)x=-1時(shí)，左極限為0，右極限為-1，連續(xù)。當(dāng)x>1時(shí)，f(x)為二次函數(shù)，連續(xù)。當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f(x)為一次函數(shù)，連續(xù)。當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)為一次函數(shù)，連續(xù)。因此，f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞,-1]∪[-1,1]∪(1,+∞)。討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，只需要研究函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的左右極限情況，然后再由函數(shù)連續(xù)性的定義判斷。先看函數(shù)在分段點(diǎn)x=-1處的情況，f(x)=(x+1)；因?yàn)閘im(x->-1-)f(x)=lim(x->-1+)f(x)=-1，所以lim(x->-1)f(x)不存在，故x=-1為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。再看函數(shù)在分段點(diǎn)x=1處的情況，f(x)=x；因?yàn)閘im(x->1-)f(x)=lim(x->1+)f(x)=1，所以lim(x->1)f(x)=1，又因?yàn)閒(1)=1，所以lim(x->1)f(x)=f(1)，故x=1是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)。因此，函數(shù)f(x)在連續(xù)區(qū)間為：(-∞,-1)∪(-1,∞)。1.對(duì)于第一段話，將公式中的“sinx”和“cosnx”用括號(hào)括起來(lái)，使其更加清晰易懂。改寫(xiě)為：y'=(sinx)'cosnx+sinx(cosnx)'=ncosxsin(xn)=nxsinnxcosnx2.第二段話中，刪除了明顯有問(wèn)題的段落。重新改寫(xiě)為：設(shè)y=5sinx，u=sinx則y'=yu'/u=5cosx3.第三段話中，將公式中的“e”和“cosx”用括號(hào)括起來(lái)，使其更加清晰易懂。改寫(xiě)為：設(shè)y=ecosx，u=cosx則y'=yu'/u=-esinx4.對(duì)于第四段話，刪除了問(wèn)題段落。重新改寫(xiě)為：在下列方程中，y是由方程確定的函數(shù)，求y'：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：y'cosx-ysinx=2e移項(xiàng)得：y'(cosx-2e/y)=sinx因此：y'=ysinx/(cosx-2e/y)5.對(duì)于第五段話，將公式中的“cosy”和“l(fā)nx”用括號(hào)括起來(lái)，使其更加清晰易懂。改寫(xiě)為：設(shè)y=cosylnx，u=cosy則y'=yu'/u+cosx(lnx)'=sinxlnx+cosx/u移項(xiàng)得：y'(1+sinxlnx/u)=cosx因此：y'=x(1+lnxsiny)/x^26.對(duì)于第七段話，將公式中的“y”和“y'”用括號(hào)括起來(lái)，使其更加清晰易懂。改寫(xiě)為：設(shè)y=ln(x)+e，則y'=1/x設(shè)y=ln(x)+e-1，則y'=1/(x(y-1))7.對(duì)于最后一段話，將公式中的“5”和“2”用括號(hào)括起來(lái)，使其更加清晰易懂。改寫(xiě)為：設(shè)y=5+2^x，則y'=5ln5+2yln2/x1.求下列函數(shù)的微分dy：⑴$y=\cotx+\cscx$解：因?yàn)?y'=-\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{\sinx}\cotx=-\frac{2\cosx}{\sin^2x}$，所以$dy=-\frac{2\cosx}{\sin^2x}dx$。⑵$y=\frac{\sinx}{1-\cosx\lnx}$解：因?yàn)?y'=\frac{\cosx(1-\lnx)-\sinx}{(1-\cosx\lnx)^2}$，所以$dy=\frac{\cosx(1-\lnx)-\sinx}{(1-\cosx\lnx)^2}dx$。⑶$y=\sinx$解：設(shè)$y=u$，$u=\sinx$，則$y'=u'\cosx=2\cosx\sinx=\sin2x$，所以$dy=\sin2xdx$。⑷$y=\tane^x$解：設(shè)$y=\tanu$，$u=e^x$，則$y'=\sec^2uu'=e^{2x}\sec^2e^x$，所以$dy=e^{2x}\sec^2e^xdx$。2.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：⑴$y=x^3$解：$y'=3x^2$，$y''=6x$。⑵$y=3^x$解：$y'=3^x\ln3$，$y''=3^x(\ln3)^2$。⑶$y=\lnx$解：$y'=\frac{1}{x}$，$y''=-\frac{1}{x^2}$。⑷$y=x\sinx$解：$y'=x\cosx+\sinx$，$y''=2\cosx-x\sinx$。3.證明題設(shè)$f(x)$是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證$f'(x)$是偶函數(shù)。證明：因?yàn)?f(x)$是奇函數(shù)，所以$f(-x)=-f(x)$。又因?yàn)?f(x)$可導(dǎo)，函數(shù)$f(-x)$為復(fù)合函數(shù)。對(duì)$f(-x)=-f(x)$兩端對(duì)$x$求導(dǎo)，得：$f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x)$即$f'(-x)=f'(x)$。根據(jù)偶函數(shù)的定義，$f'(x)$是偶函數(shù)。（一）單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足條件（D），則存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\underline{\hspace{1cm}}$。A.在$(a,b)$內(nèi)連續(xù)B.在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)C.在$(a,b)$內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在$[a,b]$內(nèi)連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)2.函數(shù)$f(x)=x+4x^{-1}$的單調(diào)增加區(qū)間是（D）。A.$(-\infty,2)$B.$(-1,1)$C.$(2,+\infty)$D.$(-2,+\infty)$1.內(nèi)單調(diào)上升，在5內(nèi)單調(diào)下降。14的極小值是f(5)=1，極大值是f(7)=2401。2.求函數(shù)y=3(x-2)^2在區(qū)間[0,3]內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值。解：y=3(x-2)^2，y'=6(x-2)，得駐點(diǎn)x=1。又當(dāng)x=0和x=2時(shí)y無(wú)意義，但原函數(shù)連續(xù)。因此f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f(3)=39。最小值為f(0)=f(2)=0，最大值為f(3)=39，極大值為f(1)=1，極小值為f(2)=0。3.試確定函數(shù)y=ax^3+bx^2+cx+d中的a,b,c,d，使函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10)，且x=-2是駐點(diǎn)，x=1是拐點(diǎn)。解：y=ax^3+bx^2+cx+d的圖形過(guò)點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10)，且x=-2是駐點(diǎn)，x=1是拐點(diǎn)。因此，-8a+4b-2c+d=44，a+b+c+d=-10，12a-4b+c=-24，6a+2b=d=16。解得a=1，b=-3，c=-24，d=16。4.求曲線y=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。解：設(shè)曲線y=2x上的點(diǎn)為(x,2x)，即x,2x到A(2,0)的距離記為d。則d=sqrt((x-2)^2+(2x-0)^2)=sqrt(5x^2-8x+4)。d'=(10x-8)/(2sqrt(5x^2-8x+4))=0，解得x=4/5。因此，點(diǎn)(4/5,8/5)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。5.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng)，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解：設(shè)圓柱體的底面半徑為x，高為h，則h=sqrt(L^2-x^2)。圓柱體的體積為v=πx^2h=πx^2sqrt(L^2-x^2)。v'=(2πx^2sqrt(L^2-x^2)-πx^4/sqrt(L^2-x^2))/(L^2-x^2)=0，解得x=L/sqrt(2)，h=L/sqrt(2)。因此，當(dāng)?shù)装霃胶透呔鶠長(zhǎng)/sqrt(2)時(shí)，圓柱體的體積最大。6.一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最?。拷猓涸O(shè)圓柱體的底面半徑為x，高為h，則體積為v=πx^2h=V，即h=V/(πx^2)。圓柱體的表面積為s=2πxh+2πx^2=2πx(V/(πx^2))+2πx^2=2V/x+2πx^2。s'=-2V/x^2+4πx=0，解得x=sqrt(2V/π)，h=sqrt(2V/π)。因此，當(dāng)?shù)装霃胶透呔鶠閟qrt(2V/π)時(shí)，圓柱體的表面積最小。sinx+CB.sinx+常數(shù)C.cosx+CD.cosx+常數(shù)⒋若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是lnx，則f(2x)的一個(gè)原函數(shù)是（A）．A.ln(2x)+CB.ln(x)+CC.2lnx+CD.2ln(2x)+C⒌若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是x2，則f(x3)的一個(gè)原函數(shù)是（C）．A.x3+CB.3x5+CC.x6/3+CD.3x2+C（二）計(jì)算題⒈計(jì)算不定積分x2cosxdx解：分部積分法udv=uv-vdu取u=x2,dv=cosxdx,則du=2xdx,v=sinxx2cosxdx=x2sinx-2xsinxdx再取u=x,dv=sinxdx,則du=dx,v=-cosxx2cosxdx=x2sinx-2(xcosx--cosxdx)=-2xcosx+2sinx+C⒉計(jì)算不定積分(x3-1)2xdx解：展開(kāi)并分部積分法(x3-1)2xdx=x8-2x6+x4-x2dx=1/9x9-2/7x7+1/5x5-1/3x3+C⒊計(jì)算不定積分xexdx解：分部積分法udv=uv-vdu取u=x,dv=exdx,則du=dx,v=exxexdx=xex-xexdx=xex-ex+C=ex(x-1)+C（三）應(yīng)用題⒈求曲線y=2x-x2與x軸所圍成的面積．解：由題目得知，所求面積為S=02x(2x-x2)dx=02x2-x3dx=1/2x2-1/4x4|02=2⒉求曲線y=cosx與x軸所圍成的面積．解：由題目得知，所求面積為S=0/2cosxdx=sinx|0/2=1⒊求曲線y=x2與y=2x的交點(diǎn)處，曲線y=x2與y=2x-x2所圍成的面積．解：令x2=2x，即x=0或x=2當(dāng)x=0時(shí)，y=0，當(dāng)x=2時(shí)，y=4所以曲線y=x2與y=2x的交點(diǎn)為(2,4)曲線y=x2與y=2x-x2的交點(diǎn)為(0,0),(2,4)所求面積為S=02x(2x-x2-x2)dx+24(x2-2x+x2)dx=-2/3x3+2/3x3|02+1/3x3-2/3x2|24=32/3A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+cD.-cosx+c23xf(x)dx=(B)∫233A.f(x)B.xf(x)+3C.f(x)D.f(x)∫f(x)dx=(B)∫If∫f(x)dx=F(x)+c,then∫xdx=A.F(x)+cB.2F(x)+cC.F(2x)+cD.F(x/2)+cTheconvergentinfiniteintegralis(D).∫1/(x^2)dxA.∫1/xdxB.e^x∫1/xdxC.∫dxD.∫1/(x^2+x)dx(II)FillintheblanksTheindefiniteintegralofthefunctionf(x)isG(x)=F(x)+c.d(e^x)/dx=e^x(tanx)'dx=sec^2x+cIf∫f(x)dx=F(x)+cand∫f(x)dx=G(x)+c,thenF(x)andG(x)arerelatedbyF(x)=G(x)+C,whereCisaconstant.If∫f(x)dx=cos(3x)+c,thenf'(x)=-9cos(3x)∫5(sin(x)+3)/2dx=-3/2Iftheinfiniteintegral∫1/x^pdxconverges,thenp>1.(III)Calculationproblems∫cos(x)/xdxAnalysis:Useintegrationbypartstosolve.Solution:∫cos(x)/xdx=∫cos(x)d(ln|x|)=cos(x)ln|x|-∫-sin(x)ln|x|dx=-cos(x)ln|x|-∫sin(x)d(ln|x|)=-cos(x)ln|x|-sin(x)+C∫e^x/xdxAnalysis:Useintegrationbypartstomaketheintegralvariableintox,thenusethebasicformulaofintegration.Solution:∫e^x/xdx=∫1/xd(e^x)=ln|x|e^x-∫ln|x|e^xdx=ln|x|e^x-xln|x|+∫x(1/x)ln|x|dx=ln|x|e^x-xln|x|+xln|x|-∫dx=ln|x|e^x-xln|x|+x+C∫xlnxdxAnalysis:Useintegrationbypartstomaketheintegralvariableintoln(x),thenu