七年級數(shù)學上冊專題21 環(huán)形跑道問題（解析版）

/專題21環(huán)形跑道問題1．操場環(huán)形跑道周長為，東東和樂樂一起去跑步，樂樂的速度為，東東的速度是．（1）若他們倆同時同地背向跑，則多少秒后兩人第一次相遇？（2）若他們倆同地同向跑，東東先跑，則經(jīng)過多少秒后兩人第一次相遇？（3）若他們倆同時同向跑，樂樂在東東前面，經(jīng)過多少秒后兩人第一次相遇？【解答】解：（1）設(shè)秒后兩人第一次相遇，由題意得，，解得：，答：40秒后兩人第一次相遇；（2）設(shè)秒后兩人第一次相遇，由題意得，，解得：，答：10秒后兩人第一次相遇；（3）設(shè)秒后兩人第一次相遇，由題意得，，解得：，答：190秒后兩人第一次相遇．2．甲、乙兩人在一條的環(huán)形跑道上跑步．已知甲的速度是，乙的速度是．（1）若兩人同時同地反向跑，何時兩人第一次相遇？（2）若兩人同時同地同向跑，多長時間兩人第一次相遇．此時兩人一共跑了幾圈？（3）若兩人同地同向跑，甲先跑，經(jīng)過多長時間兩人第一次相遇？【解答】解：（1），，設(shè)兩人同時同地反向跑后兩人第一次相遇，由題意得出：，解得；，答：兩人同時同地反向跑第一次相遇；（2）設(shè)兩人同時同地同向跑后兩人第一次相遇，由題意得出：，解得：，，（圈，答：兩人同時同地同向跑第一次相遇，此時兩人一共跑了5圈；（3）設(shè)兩人同地同向跑，甲先跑，經(jīng)過時間兩人第一次相遇，根據(jù)題意得出：，解得：，答：后兩人第一次相遇．3．甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習長跑，兩人速度分別是200米分和160米分．（1）若兩人從同一地點同時向相反方向跑，多少分鐘后兩人第一次相遇？（2）若兩人從同一地點同時同向起跑，多少分鐘后兩人第一次相遇？【解答】解：（1）設(shè)兩人從同一地點同時向相反方向跑，分鐘后兩人第一次相遇，根據(jù)題意得出：，解得：．答：設(shè)兩人從同一地點同時向相反方向跑，分鐘后兩人第一次相遇；（2）設(shè)兩人從同一地點同時同向起跑，經(jīng)過分鐘兩人第一次相遇，根據(jù)題意得：，解得：．答：兩人從同一地點同時同向起跑，10分鐘后兩人第一次相遇．4．甲乙兩人在一長800米的環(huán)形跑道上練習長跑，甲的速度是120米分，乙的速度是100米分．（1）若甲乙兩人從相距140米的兩地背向而行，問幾分鐘后兩人首次相遇？（2）若甲乙兩人同時同地同向出發(fā)，問幾分鐘兩人首次相遇？【解答】解：（1）設(shè)分鐘后兩人第一次相遇，由題意得，，解得：，答：3分鐘后兩人第一次相遇；（2）設(shè)甲乙兩人同時同地同向出發(fā)，分鐘兩人第一次相遇，由題意得，，解得：，答：兩人從同一地點同時同向起跑，40分鐘后兩人第一次相遇．5．甲、乙兩人在300米的環(huán)形跑道上練習長跑，甲的速度是6米秒，乙的速度是7米秒．（1）如果甲、乙兩人同地背向跑，乙先跑2秒，那么再經(jīng)過多少秒兩人相遇？（2）如果甲、乙兩人同時同地同向跑，乙跑幾圈后能首次追上甲？（3）如果甲、乙兩人同時同向跑，乙在甲前面6米，經(jīng)過多少秒后兩人第二次相遇？【解答】解：（1）設(shè)再經(jīng)過秒甲、乙兩人相遇．根據(jù)題意，得解得答：再經(jīng)過22秒甲、乙兩人相遇；（2）設(shè)經(jīng)過秒，乙能首次追上甲．根據(jù)題意，得解得因為乙跑一圈需秒，所以300秒乙跑了圈，答：乙跑7圈后能首次追上甲；（3）設(shè)經(jīng)過秒后兩人第二次相遇，根據(jù)題意，得解得，答：經(jīng)過594秒后兩人第二次相遇．6．小明與哥哥在環(huán)形跑道上練習長跑，他們從同一起點沿相反方向同時出發(fā)，每隔25秒相遇一次．現(xiàn)在他們從同一起跑點沿相同方向同時出發(fā)，經(jīng)過25分鐘哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈．求（1）若哥哥的速度為8米秒，小明的速度為4米秒，環(huán)形跑道的長度為多少米？（2）若哥哥的速度為6米秒，則小明的速度為多少？（3）哥哥的速度是小明的多少倍？（4）哥哥追上小明時，小明跑了20圈（直接寫出答案）【解答】解：（1）（米；（2）設(shè)小明的速度為米秒，由題意得，，解得：，答：小明的速度為3米秒；（3）設(shè)哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒．環(huán)形跑道的周長為米．由題意得，，整理得，，即．答：哥哥速度是小明速度的2倍；（4）設(shè)小明跑了圈，那么哥哥跑了圈．根據(jù)題意，得，解得，．故經(jīng)過了25分鐘小明跑了20圈．7．甲、乙兩人在周長400米的環(huán)形跑道上競走，已知乙的速度是平均每分鐘80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，現(xiàn)在兩人同時同向出發(fā)，問多少分鐘后，甲可以追上乙？【解答】解：設(shè)分鐘后，甲可以追上乙，依題意，得：，解得：，答：15分鐘后，甲可以追上乙．8．甲、乙兩人參加環(huán)形跑道競走比賽，跑道一周長400米，乙的速度是80米分鐘，甲的速度是乙的速度的倍．若甲現(xiàn)在在乙的前面100米處，多少分鐘后，兩人第一次相遇？【解答】解：設(shè)經(jīng)過分鐘兩人第一次相遇，由題意得：，解得：，答：15分鐘后，兩人第一次相遇．9．一條環(huán)形跑道長400米，甲練習自行車平均每分鐘行駛550米，乙練習賽跑，平均每分鐘跑250米．兩人同時同地相背出發(fā)，經(jīng)過多長時間，兩人首次相遇？【解答】解：設(shè)兩人同時同地相背出發(fā)，經(jīng)過分鐘，兩人首次相遇，由題意得：，解得：，答：兩人同時同地相背出發(fā)，經(jīng)過分鐘，兩人首次相遇．10．甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習跑步，已知甲的速度為每分鐘200米，乙的速度為每分鐘120米，且兩人都是同時出發(fā)，同向而行的，（1）如果甲、乙兩人從同一個地點出發(fā)，那么幾分鐘后兩人第一次相遇？（2）如果甲在乙前方80米處，那么幾分鐘后兩人第一次相遇？【解答】解：（1）（分鐘）答：5分鐘后兩人第一次相遇．（2）設(shè)經(jīng)過秒，甲乙兩人首次相遇，根據(jù)題意，得：，．答：經(jīng)過4分鐘后兩人首次相遇．11．甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習長跑，同時從同一起點同向出發(fā)，甲的速度為6米秒，乙的速度為4米秒．試問乙跑幾圈后，甲可以超過乙一圈？【解答】解：設(shè)乙跑了秒后，甲超過乙一圈，由題意得，，解得：，則乙跑的圈數(shù)為圈．答：乙跑2圈后，甲可以超過乙一圈．12．甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習跑步，甲每秒鐘跑6米，乙每秒鐘跑4米，現(xiàn)甲乙同時、同地、同向出發(fā)，問幾分幾秒后甲比乙多跑一圈？【解答】解：設(shè)秒鐘后甲比乙多跑一圈，則，解得，（秒，即3分20秒后甲比乙多跑一圈．答：3分20秒后甲比乙多跑一圈．13．正方形的軌道上有兩個點甲與乙，開始時甲在處，乙在處，它們沿著正方形軌道順時針同時出發(fā)，甲的速度為每秒，乙的速度為每秒．已知正方形軌道的邊長為，求乙在第5次追上甲時在哪條線段上？【解答】解：設(shè)乙走秒第一次追上甲．根據(jù)題意，得．解得．乙走1秒第一次追上甲，則乙在第1次追上甲時的位置是上；設(shè)乙再走秒第二次追上甲．根據(jù)題意，得，解得．乙再走2秒第二次追上甲，則乙在第2次追上甲時的位置是上；同理：乙再走2秒第三次次追上甲，則乙在第3次追上甲時的位置是上；乙再走2秒第四次追上甲，則乙在第4次追上甲時的位置是上；乙在第5次追上甲時的位置又回到線段上．14．甲、乙兩人在一環(huán)形場地上鍛煉，甲騎自行車，乙跑步，甲每分鐘比乙多行200米，兩人同時從起點同向出發(fā)，經(jīng)過3分鐘，兩人首次相遇，此時乙還需跑150米才能跑完第一圈．（1）求甲的速度為多少米分鐘？乙的速度為多少米分鐘？（應(yīng)用一元一次方程解決）（2）跑道一圈長600米；（3）若兩人相遇后，甲立即以300米分鐘的速度掉頭按反方向騎車，乙仍按原方向提速繼續(xù)跑，經(jīng)過1.2分鐘兩人再次相遇，則乙的速度每分鐘提高了米．【解答】解：（1）設(shè)乙的速度是米分鐘，則甲的速度是米分鐘，依題意有，解得，則．答：甲的速度是350米分鐘，乙的速度是150米分鐘．（2）由（1）知，乙的速度是150米分鐘，所以跑道一圈長為：（米．故答案是：600；（3）（米，（米．即：乙的速度每分鐘提高了50米．故答案是：50．15．一天早晨，小華和爸爸在1000米的環(huán)形跑道上跑步，他們8點整時在同一地點沿著同一方向同時出發(fā)，小華跑了半圈時，看到爸爸剛好跑完一圈，8點零8分時爸爸第一次追上小華．（1）求小華和爸爸的跑步速度；（2）爸爸第一次追上小華后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分，小華和爸爸相距150米？【解答】解：（1）設(shè)小華的跑步速度為米分，則爸爸的跑步速度為米分，由題意得，解得，（米分），答：小華的跑步速度為125米分，爸爸的跑步速度為250米分；（2）設(shè)再經(jīng)過分，小華和爸爸相距150米，由題意得，或，解得或，答：再經(jīng)過或分，小華和爸爸相距150米．16．已知甲乙兩人在一個200米的環(huán)形跑道上練習跑步，現(xiàn)在把跑道分成相等的4段，即兩條直道和兩條彎道的長度相同．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙兩人分別從、兩處同時相向出發(fā)（如圖），則：（1）幾秒后兩人首次相遇？請說出此時他們在跑道上的具體位置；（2）首次相遇后，又經(jīng)過多少時間他們再次相遇？（3）他們第100次相遇時，在哪一條段跑道上？【解答】解：（1）設(shè)秒后兩人首次相遇，依題意得到方程．解得．甲跑的路程米，答：10秒后兩人首次相遇，此時他們在直道上，且離點10米的位置；（2）設(shè)秒后兩人再次相遇，依題意得到方程．解得．答：20秒后兩人再次相遇；（3）第1次相遇，總用時10秒，第2次相遇，總用時，即30秒，第3次相遇，總用時，即50秒，第100次相遇，總用時，即1990秒，則此時甲跑的圈數(shù)為，米，此時甲在彎道上．17．學校運動場環(huán)形跑道周長，李老師的跑步速度是小明的，他們從同一起點沿跑道的同一方向出發(fā)，5分鐘后小明第一次與李老師相遇．求：（1）小明和李老師跑步的速度各是多少？（2）如果李老師與小明第一次相遇后立即轉(zhuǎn)身沿相反方向跑，那么再過幾分鐘后小明第二次與李老師相遇？【解答】解：（1）設(shè)小明的跑步速度是，則李老師跑步的速度是．則依題意，得，解得，則．答：小明和李老師跑步的速度各是、；（2）設(shè)分鐘后他們再次相遇．由題意得：，解得：．答：分鐘后兩人再次相遇．18．如圖，是400米的環(huán)形跑道，現(xiàn)在把跑道分成相等的4段，即兩條直道和兩條彎道長度都相同．甲、乙二人沿著環(huán)形跑道練習跑步（勻速），甲從點出發(fā)，乙從點出發(fā)，甲比乙每秒多跑1米．（1）如果甲按照順時針方向跑，同時乙按照逆時針方向跑，經(jīng)過25秒兩人第一次相遇，求甲、乙兩人的速度．（2）如果兩人按照原來（1）中的速度，沿相同的方向同時起跑，當?shù)谝淮蜗嘤鰰r，甲在環(huán)形跑道的哪一條直道或彎道上？說明理由．【解答】（1）設(shè)乙的速度為米秒，則甲的速度為米秒，由題意，得依題意可得：解得：．甲的速度為：米秒．答：甲的速度為6.5米秒，乙的速度為5.5米秒；（2）當甲乙兩人都按順時針方向跑，設(shè)第一次相遇時用了秒．由題意，得，解得：．此時甲跑的路程為：米，甲跑到彎道上；當甲乙兩人都按逆時針方向跑，設(shè)第一次相遇時走了秒，由題意，得，解得：，此時甲跑的路程為：．甲跑到彎道上．19．已知甲乙兩人在一個400米的環(huán)形跑道上練習跑步，現(xiàn)在把跑道分成相等的4段，即兩條直道和兩條彎道的長度相同．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙兩人分別從、兩處同時相向出發(fā)（如圖），則：（1）幾秒后兩人首次相遇？請說出此時他們在跑道上的具體位置；（2）首次相遇后，又經(jīng)過多少時間他們再次相遇？（3）他們第100次相遇時，在哪一條段跑道上？【解答】解：（1）設(shè)秒后兩人首次相遇，依題意得到方程．解得．甲跑的路程米，答：20秒后兩人首次相遇，此時他們在直道上，且離點20米的位置；（2）設(shè)秒后兩人再次相遇，依題意得到方程．解得．答：40秒后兩人再次相遇；（3）第1次相遇，總用時20秒，第2次相遇，總用時，即60秒，第3次相遇，總用時，即100秒，第1