七年級數(shù)學(xué)上冊專題12 線段中的四種動點問題與四種數(shù)學(xué)思想 專項講練（原卷版）

/專題12線段中的四種動點問題與四種數(shù)學(xué)思想專項講練線段有關(guān)的動點問題（數(shù)軸動點題）是人教版七年級上學(xué)期壓軸題，而四種數(shù)學(xué)思想則一直貫穿我們整個中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習，站在中考的角度看數(shù)學(xué)思想的重要性甚至超過線段的動點問題。本本專題主要介紹線段相關(guān)的動點問題（與中點、和差倍分結(jié)合的動點問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）和四種數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想）。【知識儲備】1.在與線段長度有關(guān)的問題中，常常會涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)列方程；2.線段等量代換模型：若，則，即3.定和型中點模型：若，分別是，的中點，則線段的動點問題解題步驟：1.設(shè)入未知量t表示動點運動的距離；2.利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3.根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4.觀察運動位置可能的情況去計算其他結(jié)果?！緞狱c問題】題型1：線段中點有關(guān)的動點問題例1．（2022·廣東·七年級期中）如圖，已知數(shù)軸上點表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點，且，動點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒：（1）寫出數(shù)軸上點表示的數(shù)為______，點表示的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；（2）動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)，問點運動多少秒時追上點？（3）若為的中點，為的中點，點在運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長．變式1．（2022·河南·七年級期中）如圖①，已知線段，點C為線段AB上的一點，點D，E分別是AC和BC的中點．（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，相向而行，點P以每秒3個單位長度的速度沿線段AB向右勻速運動，點Q以點P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，問當t為多少時，P，Q之間的距離為6？題型2：線段和差倍分關(guān)系中的動點問題例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當為中點時，求的長；(2)點（異于，，點）在線段上，，，求的長．變式2．（2022·陜西岐山縣·七年級期中）如圖，點，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點，，兩點分別從點，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上），運動的時間為．（1）______．（2）若點，運動到任一時刻時，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點，且，求的長．題型3：線段上動點問題中的存在性（探究性）問題例3．（2022·廣西桂林·七年級期末）如圖，在直線AB上，線段，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運動．M為AP的中點，N為BP的中點，設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)若點P在線段AB上的運動，當時，；(2)若點P在射線AB上的運動，當時，求點P的運動時間t的值；(3)當點P在線段AB的反向延長線上運動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．變式2．（2022·湖北青山區(qū)·七年級期中）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運動．①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；②P是直線AB上A點左側(cè)一點，線段CD運動的同時，點F從點P出發(fā)以3個單位/秒的向右運動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．題型4：閱讀理解型（新定義）問題例5．（2022·河南宛城七年級期中）如圖一，點在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．（1）填空：線段的中點這條線段的巧點（填“是”或“不是”或“不確定是”）（問題解決）（2）如圖二，點和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點是線段的巧點，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)。（應(yīng)用拓展）（3）在（2）的條件下，動點從點處，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，當其中一點到達中點時，兩個點運動同時停止，當、、三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點時，直接寫出運動時間的所有可能值．變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.（1）①一條線段的中點這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，當點到達點時停止運動，運動的時間為秒.（2）問為何值時，點是線段的“二倍點”；（3）同時點從點的位置開始，以每秒1的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.【數(shù)學(xué)思想】1.分類討論思想分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標準劃分為若干個不同的情形，然后逐類進行研究和求解的一種解題思想。在線段計算中，由于線段及端點的不確定性往往需要分類討論。常見分類依據(jù)：①無圖常需分類討論；②在不清楚點的具體位置的情況下，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，即分點在線段上還是在線段的延長線上，在左側(cè)還是右側(cè)等情況。例1．（2022·重慶初一期中）已知，點C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點M是線段AB的中點，則線段MC的長為（）A． B． C．或 D．或變式1．（2022·江蘇·七年級期中）把根繩子對折成一條線段，在線段取一點，使，從處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為，則繩子的原長為（）A． B． C．或 D．或變式2．（2022·沙坪壩區(qū)·七年級月考）如圖，數(shù)軸上有兩點，點C從原點O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．2.數(shù)形結(jié)合思想

以圖形的認識為主，這是幾何研究的主要特點。同時我們也要聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達到數(shù)與形的完美結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

在解題時，必須注意把數(shù)和形結(jié)合起來，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，或者把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。利用數(shù)研究形，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，使幾何圖形數(shù)量化；運用數(shù)形結(jié)合思想求最值和定值是?？键c。例2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）（1）如圖1，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)，連接，在線段上求作線段，使；（2）如圖2，點是的中點，、分別是線段、上的點，且，．若，求線段的長．變式1．（2022·福建·福州華倫中學(xué)七年級期末）如圖直線l上有AB兩點，，點O是線段AB上的一點，，若點C是射線AB上一點，且滿足，則OC＝______cm．變式2.（2022·山東·七年級期末）如圖1，將一段長為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點O處，MN＝cm；②如圖3，若點A'落在點B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長度；③若A'B'＝ncm，求MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點折疊后，點B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長度．3.整體思想整體思想就是通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法。運用整體思想計算線段的長或求定值，注意設(shè)字母參數(shù)x，并用x表示有關(guān)線段。在線段計算中，求一條線段上的兩個中點之間的距離時常用到整體的思想。例3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點．(1)如圖1，當AC＝4時，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點．點C，D在線段AB上移動的過程中，線段EF的長度是否會發(fā)生變化，若會，請說明理由；若不會，請求出EF的長．變式1．（2022·遼寧撫順·九年級）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點，且AB＝BC＝CD，點P沿直線l從左向右移動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線l上會發(fā)出警報的點P有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）如圖，點B在線段AC的延長線上，M、N分別是線段AC、CB的中點．(1)若，，求線段MN的長；(2)若，，求線段MN的長．4.方程思想方程思想是指把數(shù)學(xué)問題通過適當?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的思想方法，運用方程思想計算線段的長，巧設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)和其它多數(shù)線段相關(guān)的線段為x.有關(guān)線段比的問題（或倍分關(guān)系）常用方程思想求解。例4．（2022·山東煙臺·期中）如圖線段，點在射線上從點開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運動，則時，運動時間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點A表示的數(shù)是______；(2)若點P從點B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．變式2．（2022·河南·鄭州中學(xué)七年級期末）如圖，點C是線段AB上的一點，線段AC＝8m，．機器狗P從點A出發(fā)，以6m/s的速度向右運動，到達點B后立即以原來的速度返回；機械貓Q從點C出發(fā)，以2m/s的速度向右運動，設(shè)它們同時出發(fā)，運動時間為xs．當機器狗P與機械貓Q第二次相遇時，機器狗和機械貓同時停止運動．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當x為何值時，機器狗P在點A與機械貓Q的中點處？(3)當x為何值時，機器狗和機械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．課后專項訓(xùn)練1．（2022·山西·右玉縣七年級期末）一條直線上有，，三點，，，點，分別是，的中點，則______．2．（2022·江蘇·七年級期末）如圖，已知，C為線段AB上一點，D為AC的中點，E為BC的中點，F(xiàn)為DE的中點（1）如圖1，若AC＝4，BC＝6，求CF的長；（2）若AB＝16CF，求的值；（3）若AC＞BC，AC﹣BC＝a，取DC的中點G，CE的中點H，GH的中點P，求CP的長（用含a的式子表示）．3.（2022·河南七年級期末）如圖，已知B、C在線段AD上．（1）圖中共有條線段；（2）若AB＝CD．①比較線段的大?。篈CBD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中點，N是CD的中點，求MN的長度．4.（2022·廣西·七年級期末）已知線段AB上有兩點C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是線段AC的中點，點N是線段AB上的點，且滿足DN=14DB，AB＝24．求5.（2022·浙江·七年級期末）已知直線l依次三點A、B、C，AB＝6，BC＝m，點M是AC點中點（1）如圖，當m＝4，求線段BM的長度（寫清線段關(guān)系）．（2）在直線l上一點D，CD＝n＜m，用m、n表示線段DM的長度．6.（2022·山東·七年級期末）如圖，點C在線段AB上，M、N分別是線段AC、BC的中點，（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求線段MN的長；（2）若AB＝a，點C為線段AB上任意一點，你能用含a的代數(shù)式表示MN的長度嗎？若能，請寫出結(jié)果與過程，若不能，請說明理由．（3）若將（2）中“點C為線段AB上任意一點”改為“點C為直線AB上任意一點”，其余條件不變，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請畫圖并寫出說明過程．7．（2022·江蘇·七年級專題練習）已知線段，點在線段上，且．(1)求線段，的長；(2)點是線段上的動點且不與點，，重合，線段的中點為，設(shè)①請用含有的代數(shù)式表示線段，的長；②若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，則稱，，三點為“共諧點”，請直接寫出使得，，三點為“共諧點”的的值．8．（2022·山東菏澤·七年級期末）如圖，已知點C在線段上，M是的中點，點N在線段上，且．(1)若，求線段的長；(2)若，則________（直接寫出結(jié)果）；(3)若已點知C在線段的延長線上，M是的中點，點N在線段上，，求的長．9．（2022·福建泉州·七年級期末）已知A，B，C，D四點在同一條直線上，點C是線段AB的中點．(1)點D在線段AB上，且AB=6，，求線段CD的長度；(2)若點E是線段AB上一點，且AE=2BE，當時，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．10．（2022·北京海淀區(qū)·北大附中七年級期末）點O為數(shù)軸的原點，點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A表示的數(shù)為5，線段AB的長為線段OA長的1.2倍．點C在數(shù)軸上，M為線段OC的中點．（1）點B表示的數(shù)為________；（2）若線段，則線段OM的長為________；（3）若線段（），求線段BM的長（用含a的式子表示）．11．（2022·河南義馬市·七年級期末）如圖，B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段BD的中點，，設(shè)點B運動時間為t秒（）．（1）當時，①________cm，②此時線段CD的長度=_______cm；（2）用含有t的代數(shù)式表示運動過程中AB的長；（3）在運動過程中，若AB中點為E，則EC的長度是否變化？若不變，求出EC的長；若變化，請說明理由．12．（2022·重慶一中）如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，是最大的負整數(shù)，且，滿足．點從點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向左運動，到達點后立刻返回到點，到達點后再返回到點并停止．（1）________，________，________．（2）點從點離開后，在點第二次到達點的過程中，經(jīng)過秒鐘，，求的值．（3）點從點出發(fā)的同時，數(shù)軸上的動點，分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設(shè)秒鐘時，、、三點中恰好有一個點是另外兩個點的中點，請直接寫出所有滿足條件的的值．13．（2022·昌圖縣十八家子中學(xué)）如圖，數(shù)軸上的點，表示的數(shù)分別為-10和20，動點從點出發(fā)，以2個單位秒的速度沿數(shù)軸的正方向運動，點為的中點．（1）點出發(fā)多少秒時，；（2）當點在線段上運動時，求的值；（3）若點為的中點，請直接寫出的長．14．（2022·江西東湖區(qū)·）已知：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB＝12cm，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當點C、D運動了2s，此時AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當點C、D運動了2s，求AC+MD的值．（3）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．15．（2022·深圳市高級中學(xué)初一期末）如圖，P是線段AB上一點，AB=12cm，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上），運動的時間為t.（1）當t=1時，PD=2AC，請求出AP的長；（2）當t=2時，PD=2AC，請求出AP的長；（3）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC，請求出AP的長；（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的長.16．（2022·綿陽市七年級期末）已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD的中點，點N為CD的中點，求