高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)《6 4 平面向量的應(yīng)用》提升訓(xùn)練（含解析）

人教A版（2019）必修第二冊(cè)《6.4平面向量的應(yīng)用》提升訓(xùn)練一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）在ΔABC中，，則ΔABC的形狀一定是(????A.等邊三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.（5分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且asinAA.3 B.33 C.63 3.（5分）在ΔABC中，a=3，A=30°，B=15°，則c等于A.1????? B.2 C.32 4.（5分）數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S=p(p?a)(p?b)(p?c)求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12，a=4，則此三角形面積的最大值為A.4 B.42 C.43 5.（5分）在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若asinA+bsinB?cA.π6 B.π4 C.π36.（5分）如圖，在等腰RtΔABC中，斜邊AB=2，D為直角邊BC上的一點(diǎn)，將ΔACD沿直線AD折疊至ΔAC1D的位置，使得點(diǎn)C1在平面ABD外，且點(diǎn)C1在平面ABD?

A.(1,2) B.(22,1) 7.（5分）設(shè)ΔABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，若a+c=2b，3sinBA.π3 B.2π3 C.3π48.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若角A、B、C成等差數(shù)列，且2asinA+2csinC=A.33 B.43 C.23二、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是()A.若A>B，則sinA>sinB

B.若acosB?bcosA=c，則△ABC為直角三角形

C.若acosA=b10.（5分）已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則由下列條件可以得出ΔABCA.a=b=4，c=3 B.a=3，b=5，sinA+sinC=2sinB

C.ΔABC中的最小角為11.（5分）在ΔABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列條件中，三角形有解的是A.a=6，b=63，C=105° B.a=5，b=6，c=8

C.a=23，b=5，A=60° D.A=45°，B=60°12.（5分）在ΔABC中，下列等式成立的是A.c=a2+b2?2abcosC 13.（5分）對(duì)于ΔABC，有如下命題，其中正確的有(A.若sin2A=sin2B，則ΔABC是等腰三角形

B.若ΔABC是銳角三角形，則不等式sinA>;cosB恒成立

C.若sin2A+sin2三、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）如圖，已知O為ΔABC的重心，且∠BOC=90°，若9|BC15.（5分）如圖，為測(cè)量一座山的高度，某勘測(cè)隊(duì)在水平方向的觀察點(diǎn)A，B測(cè)得山頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，且該兩點(diǎn)間的距離是l米，則此山的豎直高度?為_(kāi)_______米(用含α，β，l的式子表達(dá))．16.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，cosC=19，且17.（5分）在銳角ΔABC中，D為BC的中點(diǎn)，AB=3，AC=7，且18.（5分）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若sin(A+B)=13，a=3，c=4四、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）在ΔABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，S為ΔABC的面積，且4S=3(a2+b2?c2)?

(1)20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a、b、c，且(2c?b)cosA?acosB=0．?

(1)求角A的大?。?

(2)若b=321.（12分）如圖所示，銳角ΔABC中AC=52，點(diǎn)D在線段BC上，且CD=32，ΔACD的面積為62，延長(zhǎng)BA至E，使得EC⊥BC．?

(Ⅰ)求AD的值；?

(22.（12分）在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S，已知2a(1)求證：2(a+c)=3b；

(2)若cosB=23.（12分）在ΔABC中，設(shè)A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，?

(1)若a=2且(2+b)?(sinA?sinB)=(c?b)sinC，求ΔABC面積S的最大值?

(2)ΔABC

答案和解析1.【答案】C;【解析】該題考查向量模的性質(zhì)；向量的運(yùn)算法則；向量垂直的充要條件．利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的運(yùn)算法則得到AC→.2BA解：由(BC得AC→.(BC→+BA?AC→)=0，?

即AC→.(BC2.【答案】B;【解析】解：因?yàn)閍sinA=b33，?

所以由正弦定理可得sinAsinA=sinB333.【答案】C;【解析】解：因?yàn)樵讦BC中，a=3，A=30°，B=15°，所以C=135°，?

由正弦定理asinA=csinC，∴c=asinCsinA=3×4.【答案】C;【解析】解：由題意，p=6，?

S=6(6?a)(6?b)(6?c)?

=6(6?4)(6?b)(6?c)?

=12(6?b)(6?c)?

=23?36?6(b+c)+bc?

=23?bc?12?23?(b+c2)25.【答案】A;【解析】?

此題主要考查正余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.由正弦定理得a2+b2?c2=3ab，再由余弦定理即可得解.?

解：asinA+bsinB?csinC=3asinB，?6.【答案】B;【解析】?

此題主要考查立體幾何中的折疊問(wèn)題及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題，要分清折疊前后量的變化情況，設(shè)CD=t，t∈(0,1)，用t表示x是關(guān)鍵.?

解：因?yàn)槿切蜛BC為等腰直角三角形，斜邊AB=2，所以AC=BC=1，?

設(shè)CD=t，C1H=1?x2，?

有題意知，C1H⊥面ABC，C1H⊥HD，C1D=t，?

C1D2=C1H7.【答案】B;【解析】解：∵3sinB=5sinA，?

∴由正弦定理，可得3b=5a，?

∴a=35b，?

∵a+c=2b，?

∴c=7b5，?

∴cosC=a2+b2?c22ab8.【答案】B;【解析】解：∵角A、B、C成等差數(shù)列，?

∴2B=A+C，?

又∵A+B+C=π，?

∴B=π3，sinB=32，?

∵2asinA+2csinC=34ac+3b=12acsinB+2bsinB，?

∴由正弦定理可得2sin2A+2sin2C=12csinAsinB+2sin2B，可得a2+c9.【答案】ABD;【解析】解：在△ABC中，正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，?

對(duì)于A，A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，A正確；?

對(duì)于B，由射影定理得acosB+bcosA=c，又acosB?bcosA=c，即bcosA=0，?

而b≠0，則cosA=0,A=π2,△ABC為直角三角形，B正確；?

對(duì)于C，由正弦定理可得2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，?

而2A+2B∈(0,2π)，則有2A=2B或2A+2B=π，?

10.【答案】AD;【解析】解：對(duì)于A：a=b=4，c=3，利用余弦定理：cosA=b2+c2?a22bc>0，同理cosB>0，cosC>0，故ΔABC為銳角三角形，故A正確；?

對(duì)于B：a=3，b=5，sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理：a+c=2b，解得c=7，由于cosC=a2+b2?c22ab<0，故C為鈍角，故ΔABC為鈍角三角形，故B錯(cuò)誤；?

對(duì)于C：ΔABC的最小角為11.【答案】ABD;【解析】解：對(duì)于A，a=6，b=63，C=105°，?

利用余弦定理求出c2=a2+b2?2abcosC=36+108?2×6×63×(?6?24)=144+542?186>0，?

所以ΔABC有唯一解；?

對(duì)于B，a=5，b=6，c=8，滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，?

所以ΔABC有唯一解；?

對(duì)于C，a=23，b=5，A=60°，?

利用正弦定理asinA=bsinB求出sinB=5×3223=54>1，B不存在，?

所以ΔABC無(wú)解；?

對(duì)于D，A=45°，B=60°，c=2，所以C=75°，?

利用正弦定理asinA=bsin12.【答案】AC;【解析】?

此題主要考查正弦定理和余弦定理公式及其變形，熟練掌握公式是解答該題的關(guān)鍵，是容易題.?

根據(jù)正弦定理和余弦定理逐一判斷.?

解：A.是余弦定理的變化形式，正確；?

B.不符合正弦定理，不正確；?

C.是正弦定理的變形，正確；?

D.分母多一個(gè)b，不正確.?

故選AC.13.【答案】BD;【解析】此題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了在三角形中正弦相等角的關(guān)系，屬于中檔題.?

對(duì)于A，在三角形中，正弦值相等，則角相等或互補(bǔ)；對(duì)于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式即可判斷證明；?

對(duì)于C，利用正余弦定理即可得解；對(duì)于D，利用向量數(shù)量積得到B為鈍角，即可判定，解：對(duì)于A：∵sin2A=sin2B，?

∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，?

即?ABC是等腰三角形或直角三角形．故A不對(duì)；?

對(duì)于B：若?ABC是銳角三角形，A+B>;π2，?

得π2>;A>;π2?B>;0，?

所以sinA>;sinπ2?B=cosB，?

則不等式sinA>;cosB恒成立，故B正確；?

對(duì)于C：，若sin2?A+sin2?B<;1?cos2C=sin2C?

∴a2+14.【答案】179【解析】解：如圖所示：?

連接AO并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)D，設(shè)AD=m，∠ADB=α，?

利用余弦定理：AB2=m2+BC24?2.BC2.mcosα①，?

同理：AC2=m2+BC24?2.BC2.mcos(π?α)②15.【答案】?=sinαsinβ【解析】解：如圖所示，在ΔABC中，∠ACB=β?α，?

由正弦定理得，BCsinα=ABsin∠ACB，?

∴BC=lsinαsin(β?α)；?

在ΔBCD中，16.【答案】52【解析】?

利用余弦定理分別表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化簡(jiǎn)后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2?2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把a(bǔ)b的最大值及sinC的值代入即可求出面積的最大值．?

該題考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．?

解：∵acosB+bcosA=2，?

∴a×a2+c2?b22ac+b×c2+b2?a22bc=2，?

∴c=2，?17.【答案】7;【解析】解：因?yàn)锽CsinBcosC+ABsinBcosA=32AC，即asinBcosC+csinBcosA=32b，?

由正弦定理得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=32sinB，?

因?yàn)閟inB>0，?

所以sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=32，?

所以sinB=318.【答案】14【解析】?

此題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．?

由已知，利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求sinC，進(jìn)而利用正弦定理即可計(jì)算得解．?

解：∵sin(A+B)=13，A+B+C=π?

∴sinC=sin(A+B)=119.【答案】解：（1）∵S=12absinC，∴4S=2absinC=3（a2+b2-c2），?

即sinC=a2+b2?c22ab?3=3cosC，?

∴tanC=3，?

則C=π3；?

（2）f（x）=4sinx（32cosx-12sinx）+1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），?

當(dāng)2x+π6=2kπ+π2（k∈Z），即x=kπ+π6【解析】?

(1)利用三角形的面積公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化簡(jiǎn)，求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；?

(2)f(x)解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域確定出f(x)取得最大值時(shí)A與b的值，再利用銳角三角函數(shù)定義求出a與c的值，即可確定出S．?

該題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：（1）∵（2c-b）cosA-acosB=0．?

由正弦定理可得，2sinCcosA-sinBcosA-sinAcosB=0．?

即2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，?

因?yàn)閟inC≠0，?

故cosA=12，?

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，則A=π3，?

（2）因?yàn)閎=3，S△ABC=12bcsinA=32c×32=33，?

故c=4，?【解析】?

(1)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosA，進(jìn)而可求A；?

(2)由已知結(jié)合三角形的面積公式可求c，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解．?

這道題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．

21.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，S△ACD=12AC?CD?sin∠ACD?

=12×52×32×sin∠ACD=62，?

所以sin∠ACD=225，?

因?yàn)?°＜∠ACD＜90°，?

所以cos∠ACD=1?(225)2=175，?

由余弦定理可得：AD2=CD2+CA2-2CD?CA?cos∠ACD=48-1217，?

可得：AD=48?1217．?

（Ⅱ）因?yàn)镋C⊥BC，?

所以sin∠ACE=sin（90°-∠ACD）=cos∠ACD=-【解析】?

(Ⅰ)在ΔACD中，由已知利用三角形的面積公式可求sin∠ACD，結(jié)合范圍0°<∠ACD<90°，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos∠ACD，由余弦定理可得AD的值．